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【摘 要】本文以“三角函数”专题为例，阐述概念复习的三个策略——概念图、导学案和变式教学，并提出相关复习的建议。
【关键词】高三概念复习 概念图 导学案 变式教学
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）06B-0153-03
数学概念是高中数学教学的重要部分。纵观整个高中数学教材，大部分问题都是可以通过回归概念来解决。但课堂教学中教師往往忽视概念教学，在高三复习课中最为突出。那么，在高三数学复习中，如何培养学生的能力，发展学生的思维，让学生最高效地深刻理解概念，做到在有限时间内复习成效最大化呢？本文将结合教学实践经验和案例，以高考热点内容——“三角函数”为例谈谈高中数学概念复习教学。
一、概念复习教学的现状
从教师教学实践层面看，很多教师把概念复习教学的重点放在研究考纲考题、题海战术的复习策略上，且课堂教学模式比较单一、固定，给学生思考的时间和思维的空间较少，甚至灌输给学生只需把公式记牢就可以的错误的学习思想。
从学生的学习过程层面看，他们学习积极性不高，觉得概念复习枯燥无味，公式很多，不容易记住，甚至记错。其实很大程度归因于教师的教学策略低效，导致没能充分调动学生的学习积极性，没能够引导学生正确理解相关概念，没能够培养和提升学生自我归纳总结的能力。
二、概念复习教学的策略探讨
数学思想方法是以数学概念作为载体，但在数学概念教学过程中又渗透着数学思想方法，两者相辅相成。纵观整个高中数学教材，大部分问题都是可以通过剖析概念、理解概念、运用概念来解决，最后举一反三。下面我们可以从几个方面来谈一谈有效提高概念复习课效率的办法。
（一）利用思维导图（或概念地图）带动概念教学
概念图是由英文 Concept Maps 翻译而来的，又称为思维导图或概念地图，是用来组织和表征知识的工具。高三数学总复习的基本原则是总结所学知识，夯实基础知识，使知识系统化，在此基础上不断提升解决问题能力。引入概念图，可以向学生呈现一张完整的知识脉络图，帮助学生深刻理解课本，系统掌握知识，形成知识网络，进而快速比较各个概念间的区别和联系，并通过查漏补缺优化知识框架，为解题找到突破点，提高构建动态知识网络的能力，从而提高复习效率。概念图作为一种元认知工具超越了有关陈述性知识与程序性知识的分类，将机械学习转变为有意义的学习建构。
例如，2016年课标全国Ⅰ卷（理）第17题：△ABC 的内角A，B，C 及其对边 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）=c，（1）求角 C 的大小；（2）若，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长。
教师适时提出让学生思考：本题涉及哪些知识？难点在哪里？从哪里入手解决问题？学生通过审题看到 △ABC 可以很快判断出考察的应该是三角函数这个专题的内容，可以让学生尝试着先用概念图重温旧知。
通过上面知识结构图，我们可以很快定位解题的知识分支为已知函数值求角和解三角形。第一问是利用正弦定理先进行边角代换，再利用余弦定理求角 C；第二问根据第一问的角确定选用面积公式，求出 ab=6，最后由余弦定理可得（a+b）2=25，从而求出 △ABC 的周长是。这样就使数学问题的解决成为一个包含丰富数学思想与方法，并有计划有步骤地去实现智力创造的活动过程。学生自行利用概念图去整合知识点之间的联系，在头脑中构建框架，从中找出解题的思路。
（二）采用“学案导学”推动概念复习
我国学者高变英提出，导学案教学模式的基本特征是，在教学实践过程中充分体现“先学后导”思想，促进“学与教”双主动，照顾差异等。学案是教与学之间沟通的桥梁，可以使用适当的学案去实现在课前预习、课中听课、课后复习中培养学生自主学习能力的目标。下面我们结合“三角函数”概念复习的导学案进行分析。
“三角函数”概念复习的导学案
课 题 三角函数的基本概念 课 型 复习
教学目标
1.任意角、弧度：①理解任意角的概念；②理解终边相同的角的意义；③了解弧度的意义，并能进行互化。
2.任意角的三角函数：①理解任意角三角函数的定义；②会判断三角函数值的符号。
重点：三角函数值的计算、角的范围的表示。
难点：三角函数值的计算。
课堂导学
1.象限角：
2.与角终边相同的角的集合：
3.弧度：
4.弧度制与角度制的换算公式： 1弧度：
5.若扇形的圆心角为α（α为弧度制），半径为γ，弧长为 l，周长为 C，面积为 S。
则弧长公式： 扇形周长公式： 扇形的面积公式：
6.设α是一个任意大小的角α的终边上任意一点P（x，y），它与原点的距离是 ，则sinα= cosα= tanα=
考点自测
1.给出下列命题
（1）小于的角是锐角；（2）第二象限的角是钝角；（3）若α是第一象限，则必为第一象限的角；（4）第三象限的角必大于第一象限的角；（5）相等的角必是终边相同的角；（6）终边相同的角不一定相等；其中正确的命题序号是
2.设点P（x，1）是角α终边上一点，且满足，则 x 的值是
3.一个扇形 AOB 的面积 S=1cm2，它的周长 C=4cm，则该扇形的中心角|α|= ，弦AB=
4.若，则角α的终边在 象限
合作探讨
例1 若α是第二象限角，则-α， ，2α的终边落在何处？
例2 已知角α的终边上一点P（-4α，3α）（α∈R，且α<0），求sinα，cosα，tanα的值。 探讨1 已知角α的终边上一点P（-4α，3α）（α∈R，且α≠0），求sinα，cosα，tanα的值。
探讨2 已知角α的终边上有一点A（-4t，3t）（t≠0），求2sinα+cosα的值。
探讨3 已知角α的终边在直线上，求sinα，tanα的值。
例3 扇形OAB的圆心角α为120°，半径为6cm，求扇形的弧长及所含弓形的面积。
〖思维拓展〗若一扇形的周长c=20cm，则当扇形圆心角α为多少弧度时，扇形面积最大？最大面积是多少？
走进高考
1.若α是第二象限角，则sin2α，cos2α，中能确定为正值的有 个
2.“”是“”的 条件
3.已知角θ的终边经过点P（-4cosα，3sinα），则sinθ+cosθ=
4.已知角α的终边落在直线y=-3x（x<0），则
5.已知角θ的终边上一点，且，求cosθ，tanθ的值。
学习体验分享
1.知识结构（用思维导图总结）：
2.学习方法：
3.问题困惑：
上这一内容时，教师提前发放导学案给学生，让他们先完成“课堂导学”和“考点自测”这两个环节，并在课前检查。上课时先对典型错误进行分析讲解，让学生更加牢固地掌握知识。课堂的重心放在合作探究重难点这个环节。在这个环节中，例题的设置要有不同变式，难度要逐渐加大，以满足不同层次学生的需求。特别是如例3要有“思维拓展”项目，这样这个例题就可以设置成一题多解的题，以发挥学生自主探究的能力。在探究的過程中，如果学生遇到障碍，那么教师可给予适当引导。然后让小组将成果与大家一起分享，再由教师进行针对性的点评和完善；之后配上高考题以巩固所学知识；最后再进行学习体验分享——开放式小结反思。在高三复习中，时间较紧，导学案可以较好地引导学生提前去归纳和梳理知识点，进行小组合作探究等。教师在此过程中充当导师的角色，使复习的效率得到大幅度提高。
（三）通过“变式教学”提高学生整合能力
对于操作型概念性数学问题，虽有规律，但学生经常会把问题搞混，如果由教师直接讲解的话，那么学生只能被动地接受。这时候教师如采用变式教学去激发学生进行自主探究，那么就能较好地培养学生发现问题的能力，并可取得举一反三的效果。
〖原题〗要得到函数的图象，需将 y=sinx的图象向 平移 个单位。
〖变式1〗要得到函数的图象，需将y=sin2x 的图象向 平移 个单位。
〖变式2〗要得到函数的图象，需将 y=sin2x 的图象向 平移 个单位。
〖变式3〗要得到函数 y=cos2x 的图象，需将的图象向 平移 个单位。
通过不断进行变式训练，学生很快就会发现图象平移的本质，因此可以让学生试着归纳出同一类问题的解题的方法。如：
（1）原题中的函数 y=f（x）向左（右）平移 a 个单位得 y=f（x+a）（y=f（x-a））。
（2）相对于原题，变式 1 平移时要注意 x 前面的系数是否为 1。
（3）变式 2 是变式 1 的深化，结合辅助角可以快速解答。
（4）变式 3，函数名不同，应先化为同名三角函数再进行比较。
教师通过变式训练并进行适当引导，帮助学生深化、巩固知识，让他们自主探究和掌握解题的规律，从而减少做题的盲目性，有利于培养学生的学习兴趣。
三、高三数学概念复习的一些建议
高中数学各专题内容常相互交汇，公式多，习题变换灵活，如果没有进行必要的概念复习，而让学生直接记忆和应用这些知识，那么就是舍本逐末的做法。一般来说，应从数学概念的本源出发，返璞归真，认识本质，做到知其源、会其神、懂其用，通过数学概念的理解、联结、探索、深化，从而加深对数学知识的掌握与应用程度。建议高三复习时应注意以下几点。
（一）寻找知识框架——找“点”、连“线”、构“面”、成“体”
近几年高考往往考查知识网络交汇处的知识，故学习本章时应注意采用概念图将本章知识与其他章节的知识联系起来，找点成线、连线成面、构面成体，完善知识结构，形成知识框架。下面以“三角函数”为例。
1.找“点”：抓住核心知识点——三角函数的变换和求值问题（包括恒等式和化简）。
2.连“线”：寻找知识的主线，一是三角函数图象和性质与变换的联系，二是正弦余弦定理与三角形间的联系。
3.构“面”：连线成面，横纵对比，让知识网络化。三角函数涉及三角形、单位圆、函数等方面的知识，要全面复习，做到不重不漏。形成知识网络后，还要对注意事项、考察范围等进行梳理。
4.成“体”：反思归纳，建成知识体系。将三角函数与各专题内容进行交汇来考查，如结合向量、数列、解析几何等相关内容进行复习，使各知识面形成一个完整的体系。
可见，只要抓住核心知识点，就能连成线，从而拓展到面，进而延伸成体，再利用“导学案”形式让学生自主探究，把所有问题一网打尽。
（二）掌握题目的通法与技巧，注重公式定理的积累
复习课应在学生原有知识的基础上寻求新知的生长点，弄清知识点的来龙去脉，也就是概念的形成过程。通性通法是数学思想方法在解题中的集中体现，高考考查基本保持了“四稳”——内容、难度、题量、题型的稳定，因此，在训练过程中要重视通性通法的运用。但是对选择题、填空题来说，除了通用通法还要灵活运用一些特殊的解题技巧，如特值法、排除法、数形结合法、代入法等，不要拘泥于通性通法。同时要注意对公式定理的积累，对一些比较复杂的公式，可以运用一些顺口溜进行记忆，如诱导公式的记忆可以采用“奇变偶不变，符号看象限”这一口诀来进行理解记忆。
（三）注意归类，凸显变式教学的功效
数学知识的考查是源于课本却高于课本，关键在于“变”。学生要针对各种变式进行探究，提高综合运用知识的能力、捕捉有用信息的能力、数学逻辑思维的能力，领略突破层层关卡的乐趣，感受数学的迷力。同时注意把课本中的习题进行归类，学会一题多变，一题多解，对涉及同一知识点、同种方法、同类错误的问题，要进行比较分析，寻求解题规律，做到“做一题、归一类、通一片”。
【参考文献】
[1]韦春花.基于概念图的高三数学复习教学研究[D].桂林：广西师范大学，2013
[2]高变英.学案导学教学模式的构建与实践[D].济南：山东师范大学，2006
（责编 卢建龙）
【关键词】高三概念复习 概念图 导学案 变式教学
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）06B-0153-03
数学概念是高中数学教学的重要部分。纵观整个高中数学教材，大部分问题都是可以通过回归概念来解决。但课堂教学中教師往往忽视概念教学，在高三复习课中最为突出。那么，在高三数学复习中，如何培养学生的能力，发展学生的思维，让学生最高效地深刻理解概念，做到在有限时间内复习成效最大化呢？本文将结合教学实践经验和案例，以高考热点内容——“三角函数”为例谈谈高中数学概念复习教学。
一、概念复习教学的现状
从教师教学实践层面看，很多教师把概念复习教学的重点放在研究考纲考题、题海战术的复习策略上，且课堂教学模式比较单一、固定，给学生思考的时间和思维的空间较少，甚至灌输给学生只需把公式记牢就可以的错误的学习思想。
从学生的学习过程层面看，他们学习积极性不高，觉得概念复习枯燥无味，公式很多，不容易记住，甚至记错。其实很大程度归因于教师的教学策略低效，导致没能充分调动学生的学习积极性，没能够引导学生正确理解相关概念，没能够培养和提升学生自我归纳总结的能力。
二、概念复习教学的策略探讨
数学思想方法是以数学概念作为载体，但在数学概念教学过程中又渗透着数学思想方法，两者相辅相成。纵观整个高中数学教材，大部分问题都是可以通过剖析概念、理解概念、运用概念来解决，最后举一反三。下面我们可以从几个方面来谈一谈有效提高概念复习课效率的办法。
（一）利用思维导图（或概念地图）带动概念教学
概念图是由英文 Concept Maps 翻译而来的，又称为思维导图或概念地图，是用来组织和表征知识的工具。高三数学总复习的基本原则是总结所学知识，夯实基础知识，使知识系统化，在此基础上不断提升解决问题能力。引入概念图，可以向学生呈现一张完整的知识脉络图，帮助学生深刻理解课本，系统掌握知识，形成知识网络，进而快速比较各个概念间的区别和联系，并通过查漏补缺优化知识框架，为解题找到突破点，提高构建动态知识网络的能力，从而提高复习效率。概念图作为一种元认知工具超越了有关陈述性知识与程序性知识的分类，将机械学习转变为有意义的学习建构。
例如，2016年课标全国Ⅰ卷（理）第17题：△ABC 的内角A，B，C 及其对边 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）=c，（1）求角 C 的大小；（2）若，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长。
教师适时提出让学生思考：本题涉及哪些知识？难点在哪里？从哪里入手解决问题？学生通过审题看到 △ABC 可以很快判断出考察的应该是三角函数这个专题的内容，可以让学生尝试着先用概念图重温旧知。
通过上面知识结构图，我们可以很快定位解题的知识分支为已知函数值求角和解三角形。第一问是利用正弦定理先进行边角代换，再利用余弦定理求角 C；第二问根据第一问的角确定选用面积公式，求出 ab=6，最后由余弦定理可得（a+b）2=25，从而求出 △ABC 的周长是。这样就使数学问题的解决成为一个包含丰富数学思想与方法，并有计划有步骤地去实现智力创造的活动过程。学生自行利用概念图去整合知识点之间的联系，在头脑中构建框架，从中找出解题的思路。
（二）采用“学案导学”推动概念复习
我国学者高变英提出，导学案教学模式的基本特征是，在教学实践过程中充分体现“先学后导”思想，促进“学与教”双主动，照顾差异等。学案是教与学之间沟通的桥梁，可以使用适当的学案去实现在课前预习、课中听课、课后复习中培养学生自主学习能力的目标。下面我们结合“三角函数”概念复习的导学案进行分析。
“三角函数”概念复习的导学案
课 题 三角函数的基本概念 课 型 复习
教学目标
1.任意角、弧度：①理解任意角的概念；②理解终边相同的角的意义；③了解弧度的意义，并能进行互化。
2.任意角的三角函数：①理解任意角三角函数的定义；②会判断三角函数值的符号。
重点：三角函数值的计算、角的范围的表示。
难点：三角函数值的计算。
课堂导学
1.象限角：
2.与角终边相同的角的集合：
3.弧度：
4.弧度制与角度制的换算公式： 1弧度：
5.若扇形的圆心角为α（α为弧度制），半径为γ，弧长为 l，周长为 C，面积为 S。
则弧长公式： 扇形周长公式： 扇形的面积公式：
6.设α是一个任意大小的角α的终边上任意一点P（x，y），它与原点的距离是 ，则sinα= cosα= tanα=
考点自测
1.给出下列命题
（1）小于的角是锐角；（2）第二象限的角是钝角；（3）若α是第一象限，则必为第一象限的角；（4）第三象限的角必大于第一象限的角；（5）相等的角必是终边相同的角；（6）终边相同的角不一定相等；其中正确的命题序号是
2.设点P（x，1）是角α终边上一点，且满足，则 x 的值是
3.一个扇形 AOB 的面积 S=1cm2，它的周长 C=4cm，则该扇形的中心角|α|= ，弦AB=
4.若，则角α的终边在 象限
合作探讨
例1 若α是第二象限角，则-α， ，2α的终边落在何处？
例2 已知角α的终边上一点P（-4α，3α）（α∈R，且α<0），求sinα，cosα，tanα的值。 探讨1 已知角α的终边上一点P（-4α，3α）（α∈R，且α≠0），求sinα，cosα，tanα的值。
探讨2 已知角α的终边上有一点A（-4t，3t）（t≠0），求2sinα+cosα的值。
探讨3 已知角α的终边在直线上，求sinα，tanα的值。
例3 扇形OAB的圆心角α为120°，半径为6cm，求扇形的弧长及所含弓形的面积。
〖思维拓展〗若一扇形的周长c=20cm，则当扇形圆心角α为多少弧度时，扇形面积最大？最大面积是多少？
走进高考
1.若α是第二象限角，则sin2α，cos2α，中能确定为正值的有 个
2.“”是“”的 条件
3.已知角θ的终边经过点P（-4cosα，3sinα），则sinθ+cosθ=
4.已知角α的终边落在直线y=-3x（x<0），则
5.已知角θ的终边上一点，且，求cosθ，tanθ的值。
学习体验分享
1.知识结构（用思维导图总结）：
2.学习方法：
3.问题困惑：
上这一内容时，教师提前发放导学案给学生，让他们先完成“课堂导学”和“考点自测”这两个环节，并在课前检查。上课时先对典型错误进行分析讲解，让学生更加牢固地掌握知识。课堂的重心放在合作探究重难点这个环节。在这个环节中，例题的设置要有不同变式，难度要逐渐加大，以满足不同层次学生的需求。特别是如例3要有“思维拓展”项目，这样这个例题就可以设置成一题多解的题，以发挥学生自主探究的能力。在探究的過程中，如果学生遇到障碍，那么教师可给予适当引导。然后让小组将成果与大家一起分享，再由教师进行针对性的点评和完善；之后配上高考题以巩固所学知识；最后再进行学习体验分享——开放式小结反思。在高三复习中，时间较紧，导学案可以较好地引导学生提前去归纳和梳理知识点，进行小组合作探究等。教师在此过程中充当导师的角色，使复习的效率得到大幅度提高。
（三）通过“变式教学”提高学生整合能力
对于操作型概念性数学问题，虽有规律，但学生经常会把问题搞混，如果由教师直接讲解的话，那么学生只能被动地接受。这时候教师如采用变式教学去激发学生进行自主探究，那么就能较好地培养学生发现问题的能力，并可取得举一反三的效果。
〖原题〗要得到函数的图象，需将 y=sinx的图象向 平移 个单位。
〖变式1〗要得到函数的图象，需将y=sin2x 的图象向 平移 个单位。
〖变式2〗要得到函数的图象，需将 y=sin2x 的图象向 平移 个单位。
〖变式3〗要得到函数 y=cos2x 的图象，需将的图象向 平移 个单位。
通过不断进行变式训练，学生很快就会发现图象平移的本质，因此可以让学生试着归纳出同一类问题的解题的方法。如：
（1）原题中的函数 y=f（x）向左（右）平移 a 个单位得 y=f（x+a）（y=f（x-a））。
（2）相对于原题，变式 1 平移时要注意 x 前面的系数是否为 1。
（3）变式 2 是变式 1 的深化，结合辅助角可以快速解答。
（4）变式 3，函数名不同，应先化为同名三角函数再进行比较。
教师通过变式训练并进行适当引导，帮助学生深化、巩固知识，让他们自主探究和掌握解题的规律，从而减少做题的盲目性，有利于培养学生的学习兴趣。
三、高三数学概念复习的一些建议
高中数学各专题内容常相互交汇，公式多，习题变换灵活，如果没有进行必要的概念复习，而让学生直接记忆和应用这些知识，那么就是舍本逐末的做法。一般来说，应从数学概念的本源出发，返璞归真，认识本质，做到知其源、会其神、懂其用，通过数学概念的理解、联结、探索、深化，从而加深对数学知识的掌握与应用程度。建议高三复习时应注意以下几点。
（一）寻找知识框架——找“点”、连“线”、构“面”、成“体”
近几年高考往往考查知识网络交汇处的知识，故学习本章时应注意采用概念图将本章知识与其他章节的知识联系起来，找点成线、连线成面、构面成体，完善知识结构，形成知识框架。下面以“三角函数”为例。
1.找“点”：抓住核心知识点——三角函数的变换和求值问题（包括恒等式和化简）。
2.连“线”：寻找知识的主线，一是三角函数图象和性质与变换的联系，二是正弦余弦定理与三角形间的联系。
3.构“面”：连线成面，横纵对比，让知识网络化。三角函数涉及三角形、单位圆、函数等方面的知识，要全面复习，做到不重不漏。形成知识网络后，还要对注意事项、考察范围等进行梳理。
4.成“体”：反思归纳，建成知识体系。将三角函数与各专题内容进行交汇来考查，如结合向量、数列、解析几何等相关内容进行复习，使各知识面形成一个完整的体系。
可见，只要抓住核心知识点，就能连成线，从而拓展到面，进而延伸成体，再利用“导学案”形式让学生自主探究，把所有问题一网打尽。
（二）掌握题目的通法与技巧，注重公式定理的积累
复习课应在学生原有知识的基础上寻求新知的生长点，弄清知识点的来龙去脉，也就是概念的形成过程。通性通法是数学思想方法在解题中的集中体现，高考考查基本保持了“四稳”——内容、难度、题量、题型的稳定，因此，在训练过程中要重视通性通法的运用。但是对选择题、填空题来说，除了通用通法还要灵活运用一些特殊的解题技巧，如特值法、排除法、数形结合法、代入法等，不要拘泥于通性通法。同时要注意对公式定理的积累，对一些比较复杂的公式，可以运用一些顺口溜进行记忆，如诱导公式的记忆可以采用“奇变偶不变，符号看象限”这一口诀来进行理解记忆。
（三）注意归类，凸显变式教学的功效
数学知识的考查是源于课本却高于课本，关键在于“变”。学生要针对各种变式进行探究，提高综合运用知识的能力、捕捉有用信息的能力、数学逻辑思维的能力，领略突破层层关卡的乐趣，感受数学的迷力。同时注意把课本中的习题进行归类，学会一题多变，一题多解，对涉及同一知识点、同种方法、同类错误的问题，要进行比较分析，寻求解题规律，做到“做一题、归一类、通一片”。
【参考文献】
[1]韦春花.基于概念图的高三数学复习教学研究[D].桂林：广西师范大学，2013
[2]高变英.学案导学教学模式的构建与实践[D].济南：山东师范大学，2006
（责编 卢建龙）