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圆是初中几何的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题都需要添加辅助线来解答.只要添上合适的辅助线，就可以化繁为简、化难为易. 下面举例说明有关圆的几种辅助线的作法.
一、有关直径问题，常作直径上的圆周角
例1 如图1，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N.
（1）求证：BA·BM=BC·BN;
（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值.
图1 图2
（1）证明：如图2，连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB，
∴△ACB∽△NMB，
∴ = ，
∴AB·BM=BC·BN;
（2）解：如图2，联结OM，则∠OMC=90°，
∵N为OC中点，
∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，
∵OM=OB，∴∠B= ∠MON=30°，
∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6.
说明：若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”，从而得到90°的角或直角三角形来证明问题.
二、有关弦的问题，常作其弦心距
例2 如图3，AB是⊙O的直径，PO⊥AB交⊙O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：PM·PN=2PO2.
图3 图4
证明：如图4，过O作OC⊥NP于点C，则PC= PN，∵OC⊥NP，PO⊥AB，
∴∠POM=∠PCO= 90°，
又∵∠OPM=∠CPO，∴△OPM∽△CPO，
∴ = ，
∴PO2=PM·PC=PM·（ PN），
即PM·PN= 2PO2.
说明：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距，其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来将弦、弧、弦心距联系起来.
三、对于直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径
例3 如图5，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P.
（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED.
（2）点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？
图 5 图6
证明：（1）如图6，连接OC.
∵PC=PF，∴∠4=∠5，
∵∠4=∠3，∴∠3=∠5.
∵OA=OC，∴∠1=∠2，
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，
∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°.
∴∠AHF=90°，即AB⊥DE.
（2）当D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE·DF.
如图6，连接AE，∵ = ，
∴∠DAF=∠AED，
∵∠ADF=∠ADE，
∴△ADF∽△EDA，
∴ = .即AD2=DE·DF.
说明：命题的条件中含有圆的切线，解题时往往连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题.
四、对于相切两圆，常添公切线作辅助线
例4 如图7，已知⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C，交⊙O1一点B，直线AP交⊙O2于点D .
（1）求证：PC平分∠BPD;
（2）将“⊙O1与⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变，①中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论.
图7
证明：（1）如图8，过P点作两圆公切线PQ，
∵∠QPC=∠PCQ，∠QPB=∠A，
∠CPD=∠A+∠QCP，
∴∠CPD=∠CPB，即PC平分∠BPD.
图8 图9
（2）上述结论仍然成立.
如图9，过点P作两圆公切线PM，则∠MPB=∠A，
∴∠BPC=∠MPC-∠MPB
=∠BCP-∠A=∠CPA，
∴PC平分∠BPD.
说明：在解答有关两圆相切的问题时，作辅助线的方法是作两圆的公切线.公切线是连接两圆的桥梁，可使两圆的圆周角产生联系，运用弦切角定理. 五、两圆相交，常连结公共弦或连心线
例5 已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连结EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D.
（1）如图10，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立，证明你的结论.
（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径.
图10 图11
（1）EA=ED成立.
证明：如图11，联结AB，在EA延长线上取点F，
∵AE是⊙O1的切线，切点为A，
∴∠FAC=∠ABC，
∵∠FAC=∠DAE， ∴∠ABC=∠DAE，
而∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角
∴∠ABC=∠D，
∴∠DAE=∠D，
∴EA=ED;
（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以直线CA与⊙O2相切.
解：如图12，由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，
∠MAE=∠ABE，
∵∠PAC=∠MAE
∴∠ABC=∠ABE=90°，
∴AC与AE分别为⊙O1和O2的直径， 图12
∴由切割线定理知：AC2=CB·CE，
而CB=2，CE=8 ∴AC2=2×8=16，AC=4，
故⊙O1直径为4.
说明：在解两圆相交问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形，再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系.
六、圆中有相交弦，常作线段构造相似三角形
例5 如图13，已知⊙O的两条弦AB、CD交于P点，求证：AP·BP=CP·DP.
图13 图14
证明：如图14，连结AC，BD，
∵∠C和∠B都是⊙O中弧 所对的圆周角，
∴∠C=∠B，同理可得∠A=∠D，
∴△ACP∽△DBP，
∴ = ，即AP·BP=CP·DP.
说明：在求解圆中与线段有关的等积式（或比例式）问题时，通常需要连结两条相交弦的两组端点，利用相似三角形的有关性质来帮助求解;若两条相交弦均是直径，则连线后可以构成全等的等腰三角形.
七、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形
例6 如图15，点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°，AB=6，求⊙O半径的长.
图15 图16
解：如图16，作直径AD，连结BD.
∵∠ACB与∠D都是 所对的圆周角，
∴∠D=∠ACB=60°，
又∵AD是直径，∴∠ABD=90°，
∴∠DAB=30°，∴BD= AD，
设BD=x，则AD=2x，
∴AB= = = x，
∴x= = =2 ，
∴r= AD=x=2 .
说明：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30°、45°、60°、90°等特殊角时，通常需要作直径构造直角三角形，以利用特殊三角形的边长关系及勾股定理来帮助求解.
《轴对称》拓展精练参考答案
1.C;2.B;3.B;4.C;5.18;6.108°;7.60°;
8.309087;9.15°;
10.480m2或768 m2
11. 解：（1）图略，∠ABC=90°时，PR=7.
证明如下：连接PB、RB，
∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，
∴PB=OB=3 ，RB=OB=3 ，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=90°，
∴点P、B、R三点共线，
∴PR=2×3 =7;
（2）PR的长度是小于7，
理由如下：∠ABC≠90°，
则点P、B、R三点不在同一直线上，
∴PB+BR>PR，
∵PB+BR=2OB=2×3 =7，
∴PR<7.
图形的平移与旋转强化练习参考答案
1.C;2.A;3.D;4.45;5. ;6.5;
7. +1;
8. （1）△ABC扫过面积即S梯形ABFD=32;
（2）a=5或a=6.
9.（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形.
（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形.
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，
∵∠α=150°，∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD
=360°-150°-110°-60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形.
（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，
∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°，∴α=125°;
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）
=180°-（190°-α+α-60°）=50°，
∴α-60°=50°，∴α=110°;
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD.
∵∠OAD=360°-110°-60°-α=190°-α，
∠AOD= =120°- ，
∴190°-α=120°- ，解得α=140°.
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.
一、有关直径问题，常作直径上的圆周角
例1 如图1，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N.
（1）求证：BA·BM=BC·BN;
（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值.
图1 图2
（1）证明：如图2，连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB，
∴△ACB∽△NMB，
∴ = ，
∴AB·BM=BC·BN;
（2）解：如图2，联结OM，则∠OMC=90°，
∵N为OC中点，
∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，
∵OM=OB，∴∠B= ∠MON=30°，
∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6.
说明：若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”，从而得到90°的角或直角三角形来证明问题.
二、有关弦的问题，常作其弦心距
例2 如图3，AB是⊙O的直径，PO⊥AB交⊙O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：PM·PN=2PO2.
图3 图4
证明：如图4，过O作OC⊥NP于点C，则PC= PN，∵OC⊥NP，PO⊥AB，
∴∠POM=∠PCO= 90°，
又∵∠OPM=∠CPO，∴△OPM∽△CPO，
∴ = ，
∴PO2=PM·PC=PM·（ PN），
即PM·PN= 2PO2.
说明：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距，其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来将弦、弧、弦心距联系起来.
三、对于直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径
例3 如图5，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P.
（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED.
（2）点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？
图 5 图6
证明：（1）如图6，连接OC.
∵PC=PF，∴∠4=∠5，
∵∠4=∠3，∴∠3=∠5.
∵OA=OC，∴∠1=∠2，
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，
∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°.
∴∠AHF=90°，即AB⊥DE.
（2）当D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE·DF.
如图6，连接AE，∵ = ，
∴∠DAF=∠AED，
∵∠ADF=∠ADE，
∴△ADF∽△EDA，
∴ = .即AD2=DE·DF.
说明：命题的条件中含有圆的切线，解题时往往连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题.
四、对于相切两圆，常添公切线作辅助线
例4 如图7，已知⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C，交⊙O1一点B，直线AP交⊙O2于点D .
（1）求证：PC平分∠BPD;
（2）将“⊙O1与⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变，①中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论.
图7
证明：（1）如图8，过P点作两圆公切线PQ，
∵∠QPC=∠PCQ，∠QPB=∠A，
∠CPD=∠A+∠QCP，
∴∠CPD=∠CPB，即PC平分∠BPD.
图8 图9
（2）上述结论仍然成立.
如图9，过点P作两圆公切线PM，则∠MPB=∠A，
∴∠BPC=∠MPC-∠MPB
=∠BCP-∠A=∠CPA，
∴PC平分∠BPD.
说明：在解答有关两圆相切的问题时，作辅助线的方法是作两圆的公切线.公切线是连接两圆的桥梁，可使两圆的圆周角产生联系，运用弦切角定理. 五、两圆相交，常连结公共弦或连心线
例5 已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连结EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D.
（1）如图10，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立，证明你的结论.
（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径.
图10 图11
（1）EA=ED成立.
证明：如图11，联结AB，在EA延长线上取点F，
∵AE是⊙O1的切线，切点为A，
∴∠FAC=∠ABC，
∵∠FAC=∠DAE， ∴∠ABC=∠DAE，
而∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角
∴∠ABC=∠D，
∴∠DAE=∠D，
∴EA=ED;
（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以直线CA与⊙O2相切.
解：如图12，由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，
∠MAE=∠ABE，
∵∠PAC=∠MAE
∴∠ABC=∠ABE=90°，
∴AC与AE分别为⊙O1和O2的直径， 图12
∴由切割线定理知：AC2=CB·CE，
而CB=2，CE=8 ∴AC2=2×8=16，AC=4，
故⊙O1直径为4.
说明：在解两圆相交问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形，再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系.
六、圆中有相交弦，常作线段构造相似三角形
例5 如图13，已知⊙O的两条弦AB、CD交于P点，求证：AP·BP=CP·DP.
图13 图14
证明：如图14，连结AC，BD，
∵∠C和∠B都是⊙O中弧 所对的圆周角，
∴∠C=∠B，同理可得∠A=∠D，
∴△ACP∽△DBP，
∴ = ，即AP·BP=CP·DP.
说明：在求解圆中与线段有关的等积式（或比例式）问题时，通常需要连结两条相交弦的两组端点，利用相似三角形的有关性质来帮助求解;若两条相交弦均是直径，则连线后可以构成全等的等腰三角形.
七、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形
例6 如图15，点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°，AB=6，求⊙O半径的长.
图15 图16
解：如图16，作直径AD，连结BD.
∵∠ACB与∠D都是 所对的圆周角，
∴∠D=∠ACB=60°，
又∵AD是直径，∴∠ABD=90°，
∴∠DAB=30°，∴BD= AD，
设BD=x，则AD=2x，
∴AB= = = x，
∴x= = =2 ，
∴r= AD=x=2 .
说明：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30°、45°、60°、90°等特殊角时，通常需要作直径构造直角三角形，以利用特殊三角形的边长关系及勾股定理来帮助求解.
《轴对称》拓展精练参考答案
1.C;2.B;3.B;4.C;5.18;6.108°;7.60°;
8.309087;9.15°;
10.480m2或768 m2
11. 解：（1）图略，∠ABC=90°时，PR=7.
证明如下：连接PB、RB，
∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，
∴PB=OB=3 ，RB=OB=3 ，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=90°，
∴点P、B、R三点共线，
∴PR=2×3 =7;
（2）PR的长度是小于7，
理由如下：∠ABC≠90°，
则点P、B、R三点不在同一直线上，
∴PB+BR>PR，
∵PB+BR=2OB=2×3 =7，
∴PR<7.
图形的平移与旋转强化练习参考答案
1.C;2.A;3.D;4.45;5. ;6.5;
7. +1;
8. （1）△ABC扫过面积即S梯形ABFD=32;
（2）a=5或a=6.
9.（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形.
（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形.
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，
∵∠α=150°，∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD
=360°-150°-110°-60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形.
（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，
∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°，∴α=125°;
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）
=180°-（190°-α+α-60°）=50°，
∴α-60°=50°，∴α=110°;
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD.
∵∠OAD=360°-110°-60°-α=190°-α，
∠AOD= =120°- ，
∴190°-α=120°- ，解得α=140°.
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.