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摘 要：本文试图分析数学史上许多重大科研成果，着重从数学科研中的创新思维入手对其含义特点、推理公式和重要作用进行了探讨，并阐述了数学科学工作者理解创新思维的意义．
关键词：数学科研；创新；研究
数学科研中创新思维的含义
创新思维是指具有突破性的一种思想活动，包括开辟新领域的人类认识及思想活动创造的科学成果． 科学研究是人类探索未知事物的过程，是人类实践认知世界的过程，是以创新为主要目的的． 数学科研中的创新思维是指在新的数学理念、模式与结构形成过程中，首先推出新的数学理念和方法，探求数学科研中认识未知领域的思想活动． 关于在具有独特思维的数学命题方面的阐述与证明时，体现新增数学知识的思想活动，而不是模仿复制现有的数学成果，也是创新思维，诸如突破传统的数学方法、推翻不正确的数学理论、发展新的数学研究对象等． 例如古希腊数学家欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ）的著作《几何原本》十三卷，成功地演绎了数学体系，是最初的典范．这部用公理法建立的数学专著内容详尽、结构清晰、推理严谨、判断精准，这部著作的创新思维影响着世界数学，任何一部数学著作都无法超越它．
创新思维的特点是具有创造性、突破性，在数学科研中主要表现为以下几方面：
1. 选择新颖的思路
数学史上著名的非欧几何就是一个典型的例子． 非欧几何中的“第五公设”延续至今，很多数学家都想证明这个定理，结果一系列的等价命题被引申出来． 到了19世纪中期，又有一些数学家通过其他思路，研究了第五公设的反命题，创建了新的理论，有了新的创新．
2. 创新思考技巧
代数中求四次以上方程的根，在很长一段时期内，数学家们只考虑怎样用公式表示其结果，都无可行性进展． 而后法国年轻数学家伽罗华运用了置换群的概念和办法，将这个长期困扰数学家的难题解决了，并开辟了全新数学领域——群论． 方程可以研究其解是否存在，同时可以不用计算就能直接辨别是否可解．
3. 开拓思维见解
集合论因长期牵涉关于无穷集合的众多问题而令数学家们争论不休． 19世纪后期，德国的数学家康托尔指出，假如一个集合和它的真子集能够构成相互对应，就是无穷集合．他发现了可数集后，证明了超越数的非结构性存在，使直线、平面、空间的点都存在相互对应等等．
创新思维的多种形式
数学科研中创新思维是若干思维逻辑模式的整体运用，其中包括直观的洞察力和假设的探测，想象的发挥和模式的设想，灵感的迸发和结论的感悟等形式． 数学科学研究中创造性思维较多的表现为如下几种形式：
1. 直觉与假设
普通的自然科学研究需要分析、总结、设想、观察实验中所获取的抽象材料，使认识产生质的飞跃，促使新的科学假说产生，再检验它的实践性真理．但在数学科研中，创新的逻辑思维形式要在发现问题的基础上建立科学假设． 在数学科研中，科学家直觉敏锐地提出问题，采用全新方式突破目标，从而解决问题时得到最优方案． 科学假说能够引导科学家掌握事态的发展方向，找出问题解决的方法．主要表现在:
（1）根据普通的数学原理，推理出假设条件下的某种特殊推论；
（2）通过许多特别的数学命题，归纳出通性的数学结论；
（3）比较不同数学对象的相同点，提出新的数学假设，推理新的结论．
2． 联想与想象
对于自然科学研究，人们将自然界发展过程与科研领域的跨越过程进行类比、说明，引导人们理解研究对象的规律以及更深层次的本质属性． 数学科研是由一种前提得出的结论，通过改变其前提而得出新的结论． 想象是数学科研中数学模式间相互联系的一种思维活动，它能使人们思维创新，提出可行性意见． 17世纪初法国哲学家笛卡儿（ＲｅｎｅＤｅｓｅａｒ）创立了解析几何． 1637年发表的《几何学》，意味着解析几何学的诞生，它为代数和几何的沟通创造了条件，将数与形两大数学基本要素统一起来，既可用代数解析几何，也能用几何研究代数． 法国的创新科学家蒙日（Gaspard Monge1746—1818）在18世纪中叶几何学遭遇瓶颈时，给几何学增添了新的活力，真正的几何学不但得以恢复，还创建了“画法几何学”，同时奠定了射影几何学的基础． 这是通过创新思路创建的几何学，直观性强，既与空间的认识相维系，又有分析学提供的方法相协助，在微分几何方面也有巨大的贡献．
2． 灵感与感悟
在自然科学的研究实验条件下，偶尔缘于一些意外的变化，或别的因素的突然出现致使新的结果产生． 数学科研的创新思维是以知识积累为前提进行的长期潜心研究，它使认识产生了质的飞跃，通过整合分析、总结演绎，从而作出正确的决断． 数学科研中常因观察敏锐突发奇想而产生某种灵感，随即抓住了关键问题的解决方法，得到所需的结论． 这种思维方法明显不是由冥思苦想而产生的，它是在拥有了丰富的专业知识及灵活的逻辑思维后才得以迸发，是对问题反复思考、不断探索后产生的感悟． 19世纪法国一位才识渊博的科学家和物理学家通过福克斯函数的发展经历而对这方面的问题进行过论述．正如彭加勒（Poincaro1854—1912）所说，在数学领域的无限集合中选择有益的集合，丢弃无益的集合，进而形成新的集合，才能产生新的理念、新的构想． 人的大脑拥有一种关于数学和谐性的直觉，这种直觉能够对集合关系进行鉴别，从而有所发明和创造． 另一位法国数学家阿达玛（Hadamard1865一1963）沿用了彭加勒的观点，针对数学发明的心理要素进行了论述，讨论了数学直觉致使顿悟的N种最佳选择． 数学科研的创新性思维所产生的联想、模仿只为获得合理构想的过程称为分散思维过程，而被验证合理的构想所产生的思维分析及证明推理过程称为内敛思维过程． 通常建立新的数学含义、原理和方法，都来自于分散思维能力，数学家的创新能力和它有着直接影响（该能力随着数学家知识的累积量及想象力的增多而增大）．
数学科研中创新思维的作用
创新思维活动主要表现为四个阶段．
（1）准备阶段：包括获取信息、活跃思维、进行多方面的想象；
（2）培育阶段：循环显现主干的思路，最终确定问题的解决方案；
（3）感悟阶段：明确思维方式，理清推理次序，出现思维转折；
（4）检验阶段：用逻辑证明发现所有的必然关联，并检验其假设的存在性．
针对数学科研中的创新思维，在经过以上四个阶段的演绎后，可以显示出其重要作用．
（1）引导作用：由于数学科研中的创新思维形式是认知过程中的转变和飞跃，它需要具有丰富的专业知识和全面思考问题、不断探索的能力；它需要加以应用或反对现有的数学思维模式，引导人们在数学科研中发展和拓宽全新的科学领域． 比如一些现有的数学含义、原理被数学家们整合成一个周密的科学体系时，会应用一种高端的思维方法——公理化方法． 通过这种方法的启发，在建立近代力学、物理学、天文学的过程中，该思维方式所起的作用是显而易见的．
（2）纽带作用：在人们的主观意识和客观现实之间出现的认识短路时，这种思维方式能起连接作用． 要想驾轻就熟地运用此方法，必须具备全面、丰富的科学知识；必须在某种思想激励下善于引出各种想象． 例如数学家建立了坐标概念（即坐标法），通过运用这种思维方式，将运动和辩证法延伸到数学领域中，促使数学变革的产生，即迎来了变量数学的新时代．
掌握创新思维规律的意义
（1）关于数学的研究对象，恩格斯在19世纪时就曾指出，现实世界的空间形态和数量关系构成了纯数学的对象范围，它们通过极其抽象的形式体现出来，我们必须在完全脱离其内容的基础上去研究这些真实情况下的形式和关系． 他还道出，数学是一门抽象的思想研究的学科，随着数学科学的深入研究，在数学中对有关“量”的科学有了更深入的了解，不断有新鲜的血液来注入“量”的范畴，使之含义更加广泛． “空间形态”也是从抽象结构之间的具体关系对象的相对位置成为一个理想化数学研究的“量化模型”． 创新思维规律的应用在数学模式的不断发现和探索中显得尤为重要．
（2）关于数学的研究方法，人们将概念、理论、技巧应用到数学科研中，对事物进行客观的定量阐述，并具体分析该模式的数学构造． 由于数学模型反映一定程度的抽象结构和性能之间的关系，因此人们怎样通过运用思维巧技和特定的逻辑工具去发掘和构想各种合理而有用的关系构造，在数学科研中已成为创新思维的主要方法，许多功成名就的数学家都能说明这一点． 在数学科研中，某些人通过发表论文而进行更改翻阅的各类文献资料中的漏洞，采用这种科研方法顶多是进行章节、局部的轻微改动，只有将创新思维的规律把握好，才能为数学科学的发展作出较大的贡献． 18世纪大数学家欧拉（LeonhardEuler1707—1787）的许多重大的研究成果涉及数学、物理学、天文学等众多学术领域，其研究范围广、内容深、理论精辟，思维创新显著，对今后数学科研的创新思维研究及人才的培养是值得借鉴的．
关键词：数学科研；创新；研究
数学科研中创新思维的含义
创新思维是指具有突破性的一种思想活动，包括开辟新领域的人类认识及思想活动创造的科学成果． 科学研究是人类探索未知事物的过程，是人类实践认知世界的过程，是以创新为主要目的的． 数学科研中的创新思维是指在新的数学理念、模式与结构形成过程中，首先推出新的数学理念和方法，探求数学科研中认识未知领域的思想活动． 关于在具有独特思维的数学命题方面的阐述与证明时，体现新增数学知识的思想活动，而不是模仿复制现有的数学成果，也是创新思维，诸如突破传统的数学方法、推翻不正确的数学理论、发展新的数学研究对象等． 例如古希腊数学家欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ）的著作《几何原本》十三卷，成功地演绎了数学体系，是最初的典范．这部用公理法建立的数学专著内容详尽、结构清晰、推理严谨、判断精准，这部著作的创新思维影响着世界数学，任何一部数学著作都无法超越它．
创新思维的特点是具有创造性、突破性，在数学科研中主要表现为以下几方面：
1. 选择新颖的思路
数学史上著名的非欧几何就是一个典型的例子． 非欧几何中的“第五公设”延续至今，很多数学家都想证明这个定理，结果一系列的等价命题被引申出来． 到了19世纪中期，又有一些数学家通过其他思路，研究了第五公设的反命题，创建了新的理论，有了新的创新．
2. 创新思考技巧
代数中求四次以上方程的根，在很长一段时期内，数学家们只考虑怎样用公式表示其结果，都无可行性进展． 而后法国年轻数学家伽罗华运用了置换群的概念和办法，将这个长期困扰数学家的难题解决了，并开辟了全新数学领域——群论． 方程可以研究其解是否存在，同时可以不用计算就能直接辨别是否可解．
3. 开拓思维见解
集合论因长期牵涉关于无穷集合的众多问题而令数学家们争论不休． 19世纪后期，德国的数学家康托尔指出，假如一个集合和它的真子集能够构成相互对应，就是无穷集合．他发现了可数集后，证明了超越数的非结构性存在，使直线、平面、空间的点都存在相互对应等等．
创新思维的多种形式
数学科研中创新思维是若干思维逻辑模式的整体运用，其中包括直观的洞察力和假设的探测，想象的发挥和模式的设想，灵感的迸发和结论的感悟等形式． 数学科学研究中创造性思维较多的表现为如下几种形式：
1. 直觉与假设
普通的自然科学研究需要分析、总结、设想、观察实验中所获取的抽象材料，使认识产生质的飞跃，促使新的科学假说产生，再检验它的实践性真理．但在数学科研中，创新的逻辑思维形式要在发现问题的基础上建立科学假设． 在数学科研中，科学家直觉敏锐地提出问题，采用全新方式突破目标，从而解决问题时得到最优方案． 科学假说能够引导科学家掌握事态的发展方向，找出问题解决的方法．主要表现在:
（1）根据普通的数学原理，推理出假设条件下的某种特殊推论；
（2）通过许多特别的数学命题，归纳出通性的数学结论；
（3）比较不同数学对象的相同点，提出新的数学假设，推理新的结论．
2． 联想与想象
对于自然科学研究，人们将自然界发展过程与科研领域的跨越过程进行类比、说明，引导人们理解研究对象的规律以及更深层次的本质属性． 数学科研是由一种前提得出的结论，通过改变其前提而得出新的结论． 想象是数学科研中数学模式间相互联系的一种思维活动，它能使人们思维创新，提出可行性意见． 17世纪初法国哲学家笛卡儿（ＲｅｎｅＤｅｓｅａｒ）创立了解析几何． 1637年发表的《几何学》，意味着解析几何学的诞生，它为代数和几何的沟通创造了条件，将数与形两大数学基本要素统一起来，既可用代数解析几何，也能用几何研究代数． 法国的创新科学家蒙日（Gaspard Monge1746—1818）在18世纪中叶几何学遭遇瓶颈时，给几何学增添了新的活力，真正的几何学不但得以恢复，还创建了“画法几何学”，同时奠定了射影几何学的基础． 这是通过创新思路创建的几何学，直观性强，既与空间的认识相维系，又有分析学提供的方法相协助，在微分几何方面也有巨大的贡献．
2． 灵感与感悟
在自然科学的研究实验条件下，偶尔缘于一些意外的变化，或别的因素的突然出现致使新的结果产生． 数学科研的创新思维是以知识积累为前提进行的长期潜心研究，它使认识产生了质的飞跃，通过整合分析、总结演绎，从而作出正确的决断． 数学科研中常因观察敏锐突发奇想而产生某种灵感，随即抓住了关键问题的解决方法，得到所需的结论． 这种思维方法明显不是由冥思苦想而产生的，它是在拥有了丰富的专业知识及灵活的逻辑思维后才得以迸发，是对问题反复思考、不断探索后产生的感悟． 19世纪法国一位才识渊博的科学家和物理学家通过福克斯函数的发展经历而对这方面的问题进行过论述．正如彭加勒（Poincaro1854—1912）所说，在数学领域的无限集合中选择有益的集合，丢弃无益的集合，进而形成新的集合，才能产生新的理念、新的构想． 人的大脑拥有一种关于数学和谐性的直觉，这种直觉能够对集合关系进行鉴别，从而有所发明和创造． 另一位法国数学家阿达玛（Hadamard1865一1963）沿用了彭加勒的观点，针对数学发明的心理要素进行了论述，讨论了数学直觉致使顿悟的N种最佳选择． 数学科研的创新性思维所产生的联想、模仿只为获得合理构想的过程称为分散思维过程，而被验证合理的构想所产生的思维分析及证明推理过程称为内敛思维过程． 通常建立新的数学含义、原理和方法，都来自于分散思维能力，数学家的创新能力和它有着直接影响（该能力随着数学家知识的累积量及想象力的增多而增大）．
数学科研中创新思维的作用
创新思维活动主要表现为四个阶段．
（1）准备阶段：包括获取信息、活跃思维、进行多方面的想象；
（2）培育阶段：循环显现主干的思路，最终确定问题的解决方案；
（3）感悟阶段：明确思维方式，理清推理次序，出现思维转折；
（4）检验阶段：用逻辑证明发现所有的必然关联，并检验其假设的存在性．
针对数学科研中的创新思维，在经过以上四个阶段的演绎后，可以显示出其重要作用．
（1）引导作用：由于数学科研中的创新思维形式是认知过程中的转变和飞跃，它需要具有丰富的专业知识和全面思考问题、不断探索的能力；它需要加以应用或反对现有的数学思维模式，引导人们在数学科研中发展和拓宽全新的科学领域． 比如一些现有的数学含义、原理被数学家们整合成一个周密的科学体系时，会应用一种高端的思维方法——公理化方法． 通过这种方法的启发，在建立近代力学、物理学、天文学的过程中，该思维方式所起的作用是显而易见的．
（2）纽带作用：在人们的主观意识和客观现实之间出现的认识短路时，这种思维方式能起连接作用． 要想驾轻就熟地运用此方法，必须具备全面、丰富的科学知识；必须在某种思想激励下善于引出各种想象． 例如数学家建立了坐标概念（即坐标法），通过运用这种思维方式，将运动和辩证法延伸到数学领域中，促使数学变革的产生，即迎来了变量数学的新时代．
掌握创新思维规律的意义
（1）关于数学的研究对象，恩格斯在19世纪时就曾指出，现实世界的空间形态和数量关系构成了纯数学的对象范围，它们通过极其抽象的形式体现出来，我们必须在完全脱离其内容的基础上去研究这些真实情况下的形式和关系． 他还道出，数学是一门抽象的思想研究的学科，随着数学科学的深入研究，在数学中对有关“量”的科学有了更深入的了解，不断有新鲜的血液来注入“量”的范畴，使之含义更加广泛． “空间形态”也是从抽象结构之间的具体关系对象的相对位置成为一个理想化数学研究的“量化模型”． 创新思维规律的应用在数学模式的不断发现和探索中显得尤为重要．
（2）关于数学的研究方法，人们将概念、理论、技巧应用到数学科研中，对事物进行客观的定量阐述，并具体分析该模式的数学构造． 由于数学模型反映一定程度的抽象结构和性能之间的关系，因此人们怎样通过运用思维巧技和特定的逻辑工具去发掘和构想各种合理而有用的关系构造，在数学科研中已成为创新思维的主要方法，许多功成名就的数学家都能说明这一点． 在数学科研中，某些人通过发表论文而进行更改翻阅的各类文献资料中的漏洞，采用这种科研方法顶多是进行章节、局部的轻微改动，只有将创新思维的规律把握好，才能为数学科学的发展作出较大的贡献． 18世纪大数学家欧拉（LeonhardEuler1707—1787）的许多重大的研究成果涉及数学、物理学、天文学等众多学术领域，其研究范围广、内容深、理论精辟，思维创新显著，对今后数学科研的创新思维研究及人才的培养是值得借鉴的．