【摘要】 本文以导数中的两道常见问题为例，探索增根以及少根产生的原因.在解题过程中，如果使用了已知条件的充分不必要条件，则可能导致题目少根，如果使用了已知条件的必要不充分条件，则可能导致题目产生增根.
　　已知含参函数在某区间的单调性，求参数取值范围的问题中，我们多利用导函数的符号来解决.学生们很困惑，如果利用导数大于零，可能因为缺少端点值导致错误，如果利用导数大于等于零，则可能因为多了端点值而导致错误.为什么有时产生了增根，有时又少根，就其根本还是产生增根或少根的原因是什么.先看一道例题.
　　例1 （1）已知函数f（x）=-x3 ax2-x-1在 R 上是减函数，求实数a的取值范围.
　　（2） 函数f（x）= ax 1 x 2 在区间（-2， ∞）上是增函数，求实数a的取值范围.
　　错解 （1）f′（x）=-3x2 2ax-1，
　　∵f（x）在R上是减函数，
　　∴f′（x）<0在R上恒成立，
　　即Δ=4a2-12<0
　　解得- 3 　　（2）f′（x）= 2a-1 （x 2）2 .
　　∵y=f（x）在区间（-2， ∞）上递增，
　　∴f′（x）= 2a-1 （x 2）2 ≥0（x∈（-2， ∞））.
　　∴2a-1≥0，即a∈ 1 2 ， ∞ .
　　错因分析 在函数连续的前提下，若函数y=f（x）的导数满足f′（x）>0（x∈D），则函数y=f（x）在区间D上是单调增函数，但是函数y=f（x）在区间D上是单调增函数，不能得到f′（x）>0（x∈D），因为即便x0∈D，f′（x）=0，只要在x=x0左右导函数符号一致，仍然有函数y=f（x）在区间D上 是单调增函数.即函数y=f（x）的导数满足f′（x）>0（x∈D），是函数y=f（x）在区间D上是 单调增函数的充分不必要条件.在解题过程中，使用了已知条件的充分不必要条件，可能导致题目少根.由前面分析可知，若函数y=f（x）在区间D上是单调增函数，则函数y=f（x）的导数满足f′（x）≥0（x∈D），但是由f′（x）≥0（x∈D），也不能得到函数y=f（x）在区间D上是单调增函数，因为当函数y=f（x）（x∈D）是常函数时，满足f′（x）≥0（x∈D），但是函数y=f（x）不是区间D上的单调增函数.即函数y=f（x）的导数满足f′（x）≥0（x∈D），是函数y=f（x）在区间D上是单调增函数的必要不充分条件，在解题过程中，使用了已知条件的必要不充分条件，可能导致题目增根.
　　事实上，对于（1），当a= 3 时，f′（x）=- 3 x-1 2，则：当x∈ -∞， 3 3 时，f′（x）<0； 当x∈ 3 3 ， ∞ 时，f′（x）<0.而函数f（x）在x= 3 3 处连续，因此f（x）在R上是减函数.同理可知当a=- 3 时，f（x）在R上是减函数，所以a的取值范围为[- 3 ， 3 ].对于（2），当a= 1 2 时，f（x）= 1 2 x 1 x 2 = 1 2 ，是常函数，即y=f（x）在区间（-2， ∞）上不是单调增函数，故a的取值范围为（ 1 2 ， ∞）.
　　总之，在区间（a，b）上，f′（x）>0f（x）为增函数f′（x）≥0，这三者之间不存在充要关系，因此不能认为使f′（x）≥0或f′（x）>0恒成立的参数范围为最终答案，需要对“等号”具体分析.
　　例2 已知函数f（x）=x3 ax2 bx a2在x=1处取极值10，求a，b值.
　　错解 f′（x）=3x2 2ax b，
　　由题意 f（1）=10f′（1）=0 ，即 1 a b a2=103 2a b=0 .
　　解得 a=-3b=3 或 a=4b=-11 .
　　错因分析 在x=1处取极值可以得到f′（1）=0，但是，当f′（1）=0时，如果在x=1左右两侧导函数符号相反，则说明函数y=f（x）在x=1处取极值，如果在x=1左右两侧导函数符号相同，则说明函数y=f（x）不能在x=1处取极值.即f′ x0 =0是可导函数y=f（x）在x=x0处有极值的必要条件而非充分条件.解题过程中，用了已知条件的必要不充分条件使得本题产生了增根c=3.
　　事实上，当a=-3时，f′（x）=3x2-6x 3=3（x-1）2≥0，故不存在极值，经检验只有a=4，b=-11符合题意.
　　总之，可导函数在极值点处导数为零，在极值点两侧导数符号相反，即函数在x=a处取极值f′（a）=0，但是反之不成立.需要利用f′（a）=0求出参数的值之后，再将参数值代入原函数，检验原条件是否成立，即函数是否在x=a处取极值.