论文部分内容阅读
【摘 要】 理解题意绝不仅仅是分清已知条件和要求的结论，而是有丰富的内涵。本文在揭示其内涵的同时，笔者根据多年的教学经验，还就如何培养学生理解题意方面谈几点建议：习惯的养成决非朝夕之功，需要的是耐心与有计划。先易后难，层层推进。注重典型例题的解剖。
【关键词】 理解题意； 内涵；建议
【中图分类号】G632 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2012）23-0221-02
理解题意，就是人们常说的审题，它是正确合理解答习题的前提。经常听到教师要求自己的学生接到数学题后要仔细阅读，确切理解题意。然而具体该怎么办？却往往没有下文。似乎分清了已知条件和要求的结论，就是理解题意了。笔者认为数学解题中的理解题意绝不仅仅如此，而是有其丰富的内涵，只有明白了其内涵，并在日常教学中刻意加以培养，才能高效地提高学生的数学素养。
1 理解题意的内涵
理解题意除了上文言及的分清已知条件和要求的结论外，一般的，还包括以下几个方面。
1.1 弄清题意中关键词语和术语的含义
例1. 一个点到圆的最小距离为2，最大距离为7，求此圆的半径。
审题时，先要明了什么叫做点到圆的距离，在注意到“最小距离”、“最大距离”及其几何意义外，还要考虑到这一点可在圆内，也可在圆外，因而正确的答案是2.5或4.5。
例2. 已知BD是等腰三角形ABC一腰AC上的高，∠DBA=600，求此三角形三内角的度数。
审题时不仅要注意“高” 的概念 ，还要注意是“一腰AC”上的高。因此答案是300，750，750（图一）；1500，150，150（图二）；300，300，1200（图三）而不能是600，600，600（图四）。
在审题时，我们常常遇到“不大于”，“不可能有”，“至少有”，“当且仅当”，“确定”等等词语，对它们涵意的确切理解，往往是解题的关键。
2 注意挖掘题中的隐含条件
例3. 若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，求m的值。
我们在令m2-3m+2=0时，就要注意m≠1，因为题目已指明是关于x的一元二次方程。
例4.（2010嵊州）已知m、n是方程x2-2x-1=0的两根，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值为（ ） 。 A -5 ， B 5 ， C -9 ， D 9。
此题如果展开用根与系数的关系去解，则相当繁杂，如果挖掘题中隐含条件：m2-2m-1=0 ，n2-2n-1=0则容易得：
[7（m2-2m-1）+7+a][3（n2-2n-1）+3-7]=（a+7）（-4）=8
∴=-9，从而选C。
隐含条件是多种多样的，不同的题意有不同的隐含条件。在理解题意时，根据需要挖掘这些隐含条件将大大有利于问题的解决，有时甚至起到事半功倍的作用。
3 把语言信息翻译成符号信息
例5. 3个实数a、b、c满足1a+1b+1c=1a+b+c，求证这3个数中必有两个互为相反数。
若将“3个数中必有两个互为相反数” 翻译成符号语言（a+b）（b+c）（c+a）=0，这就为我们解题指明了方向。
在“翻译”时要注意变换的“等价性”，否则将导致错误。
例6. 方程x2+（k+4）x+2k+8=0的两根都大于2，求实数k的变化范围。
若设定方程两根为x1、x2，千万不能“翻译”成x1+x2>4且x1x2>4，（比如有反例1+5>4，5×1>4 但1<2）而应翻译成（x1-2）+（x2-2）且（x1-2）（x2-2）（x2-2）>0。
4 根据题意和需要画图、列表
根据题意画图或列表，可以加深对题意的理解，使题意更加具体形象，从而有利于我们对题目的分析。比如例2就是。那么为什么说“需要”呢，不同的人有不同的潜质，若阅读题目后对整个问题了然于胸，画图就不必要了，这一点在教学列方程解应用题时，想必大家都有体会。
近年悄然兴起图解法，我们不能不留意。
例7. 甲、乙两名运动员在长为50的游泳池中来回游泳，甲的速度为1/，乙的速度为0.5/，若他们分别从泳池两端出发来回共游了5分钟，如果不计转向时间，那么在这段时间内，他们一共相遇几次？
答案是5次，其中3次相遇在途中，理由请看右图。事实上类似题目在新疆的中考题中出现过。
2 几点教学建议
理解题意是与学生诸多素质联系在一起的，比如阅读理解能力，分析推理能力、观察想象能力……，提高学生的理解题意的水平，用时尚的话来说，这是个系统工程，不过作为一个数学老师来说，至少以下几点教学建议是可以试一试的。
2.1 习惯的养成决非朝夕之功，需要的是耐心与有计划。 仔细阅读，确切理解是认真审题的良好习惯，而习惯的养成不是一蹴而就，决非朝夕之功。现在一些同学将快速阅读迁移到数学解题中，接到一道数学题喜欢快速阅读，跳跃式阅读，只求“大概”，不求甚解，这显然是不利于数学解题的。为此笔者强调，若遇到较简单的习题时，力求第一遍就正确理解，准确翻译。比如试证等腰梯形的对角线相等的逆命题，就要求先明白：求证的是对角线相等的梯形是等腰梯形，然后画图，再将文字语言翻译成数學语言。若遇到冗长的（如今这样的题目越来越常见），则可先快速阅读，了解题意之大概，然后再仔细阅读，找出题中的关键词语或术语，挖掘隐含条件，分析一下有无陷阱及陷阱可能之所在。为此课内抛出题目后，一定要先让学生自己阅读，然后和学生一起分析理解，让学生在尝误中收获，或在教师点拨中顿悟。
例8.（2009潍坊） 一个自然数的算术平方根为，则这个自然数相邻的下一个自然数是 。原是选择题，笔者特意改为填空题，意在减少暗示。让学生先说说自己的答案，然后师生共同分析可能收获更大。 这里说的有计划，除了平常意义之外，还要注意与教材内容，知识传授，能力培养有机结合。比如在学习了一元二次方程根与系数关系之后，抛出：
例9. 如果关于x的一元二次方程x2-2kx=2-k2-x有两个不相等的实数根，并且两根的平方和等于35，求k值。
发现不少同学只注意到x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2k-1）2-2（k2-2）=2k2-4k+5=35k2-2k-15=0，k1=5，k2=-3 为此引导同学们解后反思，讨论解法的正确性，指出应先注意到实数根这一条件，得出正确的答案是-3。进而说明韦达定理的普适性（无论有无实数根均成立），又强调仔细审题及反思之必要。
2.2 先易后难，层层推进。 教育心理学告诉我们：随着学生年龄的增长，理解能力的提高，审题能力随之快速提升。但初中学生终究孩子气还很强，尤其是初一，初二的学生。所以教师切不可掉以轻心，毕其功于一役，而是要先易后难，层层推进。设计题目时，还要尽可能考虑到学生的年龄特征。比如隐含条件隐含之深浅的设计，到初三时可适时作个小结。以下一组习题就是在学了二次根式这一章后复习课中用的。
例10.（1）当x为何值时，下列各式才有意义：（1）2-5xx2-4 ；（2）3-x1-x-2
（2）化简（a-2）8a-2；（希望所有学生都能注意到a-2<0）
（3）已知a+b-2a-1-4b-2=3c-3-12c-5，求a+b+c的值。（希望大多数学生想到配方）
（4）已知x=a-1a，求x+2+4x+x2x+2-4x+x2（本题不仅考虑隐含条件x0，且注意到a-1a>0，∴a1还要考虑在此基础上，如何化简较简便）
（5）已知15+x2-19-x2=2则19-x2+215+x2=
________________________________________
（此为杭州市中考题）。
除了象上例紧密配合课本的习题外，平时还可抛出如下的一些兴趣题：
例11. 同样两个数，在左式中做加法，在右式中做减法，如果每个字母代表不同的数码，你能求出所有的数码吗？（简析：先从加法算式考虑和是四位数，它的首位只能是1，且其前两位只能是10，于是x=9；再在减法算式中分析，b只能是8（9已被x占有）再注意到a>y，且a+y>8，事实上a+y>10，再作一些尝试，可得唯一答案是。
例12. 如图，四边形ABCD的对角线相交于O，∠BAD=∠BCD=600， ∠CBD=550，∠ADB=500， 则∠AOB的度数为
________________________________________
。
简析：易知∠ABD=700，欲求∠AOB，须先求得∠BAO，思路受阻。仔细观察图像，并经缜密心算，可知BC、DC分别是ΔABD的两个外角平分线，C为其交点，因而知AC是∠BAD的平分线，∴∠ BAO=300。从而∠AOB=800。
当然像这样需较强的观察能力、逻辑推理能力的习题切不可多，大概以每周一、二题为妥。
2.3 注重典型例题的解剖。 我们知道化归在解题中的地位举足轻重，因而解剖典型例题，对学生审题能力、解题能力的提高有事半功倍之效。
例13. 已知 （即本文例10（5））。
显然整体思想等等解题策略在本题面前已无能为力，为简便计，考虑换元法，设15+x2=m，19-x2=m，则m-n=2，求2m+n的值，至此似乎又是山穷水尽。分析一下是否还有隐含条件？仔细观察可以发现：，从而得方程组m-n=2
m2+n2=35，于是本题解法方向已明。
例14（2010杭州） 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1，-m，-1，-m]的函数的一些结论。①当x=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）；②当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m<0时，函数在x>14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点。其中正确的结论有（ ）。
A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
命题老师良心大大的好，④最难，所以在4个选择之中都有④，有些同学就根本不去考虑它的真假，在得出答案B后以为万事大吉。我偏偏抓住不放，请问：函数图象经过同一点的涵义是什么？将它翻译成数学表达式将是什么？你能求出这“同一个点”的坐标吗？只有这样通过讨论解剖，我们的学生才有了比较深刻的理解，从而若去解2011年的杭州中考23题，设函数y=kx2+（2k+1）x+1 （k为实数）（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图像。（2）根据所画的图像，猜想出：对任意实数k，函数的图像都具有的特征，并给予证明；（3）对任意负实数k，当x 当然，理解题意除了上文言及的几个方面，还有各种各样因素。几点教学建议还远远不够。只有在教学中继续摸索探究，才能高效地提高学生的数学素养。
参考文献
[1] 任樟輝：《数学思维论》，广西教育出版社，1990年9月第一版.
[2] 张可法：《初中数学解题研究》湖南师大出版社，1999年5月第一版.
[3] 周继光编：《新课标初中数学解题思维方法》，上海科学普及出版社，2007年第1版
[4] 刘培杰编：《新编中学数学解题方法全书》，哈尔滨工业大学出版社，2010年第1版
[5] 2009年山东省潍坊市中考数学试卷、2010、2011年浙江省各地市中考试题数学卷
【关键词】 理解题意； 内涵；建议
【中图分类号】G632 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2012）23-0221-02
理解题意，就是人们常说的审题，它是正确合理解答习题的前提。经常听到教师要求自己的学生接到数学题后要仔细阅读，确切理解题意。然而具体该怎么办？却往往没有下文。似乎分清了已知条件和要求的结论，就是理解题意了。笔者认为数学解题中的理解题意绝不仅仅如此，而是有其丰富的内涵，只有明白了其内涵，并在日常教学中刻意加以培养，才能高效地提高学生的数学素养。
1 理解题意的内涵
理解题意除了上文言及的分清已知条件和要求的结论外，一般的，还包括以下几个方面。
1.1 弄清题意中关键词语和术语的含义
例1. 一个点到圆的最小距离为2，最大距离为7，求此圆的半径。
审题时，先要明了什么叫做点到圆的距离，在注意到“最小距离”、“最大距离”及其几何意义外，还要考虑到这一点可在圆内，也可在圆外，因而正确的答案是2.5或4.5。
例2. 已知BD是等腰三角形ABC一腰AC上的高，∠DBA=600，求此三角形三内角的度数。
审题时不仅要注意“高” 的概念 ，还要注意是“一腰AC”上的高。因此答案是300，750，750（图一）；1500，150，150（图二）；300，300，1200（图三）而不能是600，600，600（图四）。
在审题时，我们常常遇到“不大于”，“不可能有”，“至少有”，“当且仅当”，“确定”等等词语，对它们涵意的确切理解，往往是解题的关键。
2 注意挖掘题中的隐含条件
例3. 若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，求m的值。
我们在令m2-3m+2=0时，就要注意m≠1，因为题目已指明是关于x的一元二次方程。
例4.（2010嵊州）已知m、n是方程x2-2x-1=0的两根，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值为（ ） 。 A -5 ， B 5 ， C -9 ， D 9。
此题如果展开用根与系数的关系去解，则相当繁杂，如果挖掘题中隐含条件：m2-2m-1=0 ，n2-2n-1=0则容易得：
[7（m2-2m-1）+7+a][3（n2-2n-1）+3-7]=（a+7）（-4）=8
∴=-9，从而选C。
隐含条件是多种多样的，不同的题意有不同的隐含条件。在理解题意时，根据需要挖掘这些隐含条件将大大有利于问题的解决，有时甚至起到事半功倍的作用。
3 把语言信息翻译成符号信息
例5. 3个实数a、b、c满足1a+1b+1c=1a+b+c，求证这3个数中必有两个互为相反数。
若将“3个数中必有两个互为相反数” 翻译成符号语言（a+b）（b+c）（c+a）=0，这就为我们解题指明了方向。
在“翻译”时要注意变换的“等价性”，否则将导致错误。
例6. 方程x2+（k+4）x+2k+8=0的两根都大于2，求实数k的变化范围。
若设定方程两根为x1、x2，千万不能“翻译”成x1+x2>4且x1x2>4，（比如有反例1+5>4，5×1>4 但1<2）而应翻译成（x1-2）+（x2-2）且（x1-2）（x2-2）（x2-2）>0。
4 根据题意和需要画图、列表
根据题意画图或列表，可以加深对题意的理解，使题意更加具体形象，从而有利于我们对题目的分析。比如例2就是。那么为什么说“需要”呢，不同的人有不同的潜质，若阅读题目后对整个问题了然于胸，画图就不必要了，这一点在教学列方程解应用题时，想必大家都有体会。
近年悄然兴起图解法，我们不能不留意。
例7. 甲、乙两名运动员在长为50的游泳池中来回游泳，甲的速度为1/，乙的速度为0.5/，若他们分别从泳池两端出发来回共游了5分钟，如果不计转向时间，那么在这段时间内，他们一共相遇几次？
答案是5次，其中3次相遇在途中，理由请看右图。事实上类似题目在新疆的中考题中出现过。
2 几点教学建议
理解题意是与学生诸多素质联系在一起的，比如阅读理解能力，分析推理能力、观察想象能力……，提高学生的理解题意的水平，用时尚的话来说，这是个系统工程，不过作为一个数学老师来说，至少以下几点教学建议是可以试一试的。
2.1 习惯的养成决非朝夕之功，需要的是耐心与有计划。 仔细阅读，确切理解是认真审题的良好习惯，而习惯的养成不是一蹴而就，决非朝夕之功。现在一些同学将快速阅读迁移到数学解题中，接到一道数学题喜欢快速阅读，跳跃式阅读，只求“大概”，不求甚解，这显然是不利于数学解题的。为此笔者强调，若遇到较简单的习题时，力求第一遍就正确理解，准确翻译。比如试证等腰梯形的对角线相等的逆命题，就要求先明白：求证的是对角线相等的梯形是等腰梯形，然后画图，再将文字语言翻译成数學语言。若遇到冗长的（如今这样的题目越来越常见），则可先快速阅读，了解题意之大概，然后再仔细阅读，找出题中的关键词语或术语，挖掘隐含条件，分析一下有无陷阱及陷阱可能之所在。为此课内抛出题目后，一定要先让学生自己阅读，然后和学生一起分析理解，让学生在尝误中收获，或在教师点拨中顿悟。
例8.（2009潍坊） 一个自然数的算术平方根为，则这个自然数相邻的下一个自然数是 。原是选择题，笔者特意改为填空题，意在减少暗示。让学生先说说自己的答案，然后师生共同分析可能收获更大。 这里说的有计划，除了平常意义之外，还要注意与教材内容，知识传授，能力培养有机结合。比如在学习了一元二次方程根与系数关系之后，抛出：
例9. 如果关于x的一元二次方程x2-2kx=2-k2-x有两个不相等的实数根，并且两根的平方和等于35，求k值。
发现不少同学只注意到x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2k-1）2-2（k2-2）=2k2-4k+5=35k2-2k-15=0，k1=5，k2=-3 为此引导同学们解后反思，讨论解法的正确性，指出应先注意到实数根这一条件，得出正确的答案是-3。进而说明韦达定理的普适性（无论有无实数根均成立），又强调仔细审题及反思之必要。
2.2 先易后难，层层推进。 教育心理学告诉我们：随着学生年龄的增长，理解能力的提高，审题能力随之快速提升。但初中学生终究孩子气还很强，尤其是初一，初二的学生。所以教师切不可掉以轻心，毕其功于一役，而是要先易后难，层层推进。设计题目时，还要尽可能考虑到学生的年龄特征。比如隐含条件隐含之深浅的设计，到初三时可适时作个小结。以下一组习题就是在学了二次根式这一章后复习课中用的。
例10.（1）当x为何值时，下列各式才有意义：（1）2-5xx2-4 ；（2）3-x1-x-2
（2）化简（a-2）8a-2；（希望所有学生都能注意到a-2<0）
（3）已知a+b-2a-1-4b-2=3c-3-12c-5，求a+b+c的值。（希望大多数学生想到配方）
（4）已知x=a-1a，求x+2+4x+x2x+2-4x+x2（本题不仅考虑隐含条件x0，且注意到a-1a>0，∴a1还要考虑在此基础上，如何化简较简便）
（5）已知15+x2-19-x2=2则19-x2+215+x2=
________________________________________
（此为杭州市中考题）。
除了象上例紧密配合课本的习题外，平时还可抛出如下的一些兴趣题：
例11. 同样两个数，在左式中做加法，在右式中做减法，如果每个字母代表不同的数码，你能求出所有的数码吗？（简析：先从加法算式考虑和是四位数，它的首位只能是1，且其前两位只能是10，于是x=9；再在减法算式中分析，b只能是8（9已被x占有）再注意到a>y，且a+y>8，事实上a+y>10，再作一些尝试，可得唯一答案是。
例12. 如图，四边形ABCD的对角线相交于O，∠BAD=∠BCD=600， ∠CBD=550，∠ADB=500， 则∠AOB的度数为
________________________________________
。
简析：易知∠ABD=700，欲求∠AOB，须先求得∠BAO，思路受阻。仔细观察图像，并经缜密心算，可知BC、DC分别是ΔABD的两个外角平分线，C为其交点，因而知AC是∠BAD的平分线，∴∠ BAO=300。从而∠AOB=800。
当然像这样需较强的观察能力、逻辑推理能力的习题切不可多，大概以每周一、二题为妥。
2.3 注重典型例题的解剖。 我们知道化归在解题中的地位举足轻重，因而解剖典型例题，对学生审题能力、解题能力的提高有事半功倍之效。
例13. 已知 （即本文例10（5））。
显然整体思想等等解题策略在本题面前已无能为力，为简便计，考虑换元法，设15+x2=m，19-x2=m，则m-n=2，求2m+n的值，至此似乎又是山穷水尽。分析一下是否还有隐含条件？仔细观察可以发现：，从而得方程组m-n=2
m2+n2=35，于是本题解法方向已明。
例14（2010杭州） 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1，-m，-1，-m]的函数的一些结论。①当x=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）；②当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m<0时，函数在x>14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点。其中正确的结论有（ ）。
A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
命题老师良心大大的好，④最难，所以在4个选择之中都有④，有些同学就根本不去考虑它的真假，在得出答案B后以为万事大吉。我偏偏抓住不放，请问：函数图象经过同一点的涵义是什么？将它翻译成数学表达式将是什么？你能求出这“同一个点”的坐标吗？只有这样通过讨论解剖，我们的学生才有了比较深刻的理解，从而若去解2011年的杭州中考23题，设函数y=kx2+（2k+1）x+1 （k为实数）（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图像。（2）根据所画的图像，猜想出：对任意实数k，函数的图像都具有的特征，并给予证明；（3）对任意负实数k，当x
参考文献
[1] 任樟輝：《数学思维论》，广西教育出版社，1990年9月第一版.
[2] 张可法：《初中数学解题研究》湖南师大出版社，1999年5月第一版.
[3] 周继光编：《新课标初中数学解题思维方法》，上海科学普及出版社，2007年第1版
[4] 刘培杰编：《新编中学数学解题方法全书》，哈尔滨工业大学出版社，2010年第1版
[5] 2009年山东省潍坊市中考数学试卷、2010、2011年浙江省各地市中考试题数学卷