摘 要：分离参数法是求参数取值范围的一种常用方法． 本文通过“分离法”解2011年高考题时所历经的一喜一惊，反思数学教学中要致力于克服思维定式的消极作用，发挥思维定式的积极作用．
　　关键词：分离法；思维定势；反思
　　
　　分离参数法是求参数取值范围的一种常用方法． 通过分离参数，用函数的观点讨论主变量的变化情况，由此确定参数的取值范围，这种方法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性等问题中参数的取值范围时经常用到．笔者近日研究2011高考试题时，使用“分离法”解题历经一喜一惊，愿与同仁共勉．
　　
　　“一喜”偏爱有加
　　解2011高考浙江卷理22后对“分离法”偏爱有加．
　　试题：设函数f（x）＝（x－a）2lnx，a∈R．
　　（1）若x＝e为y=f（x）的极值点，求实数a；
　　（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立．
　　注：e为自然对数的底数．
　　解题前，有青年教师认为该参考答案给人一种“云里雾里”的感觉．如何让想法来得自然些，思路清晰些？经过思考讨论，柳暗花明，发现“分离法”解该题很有效（其他解法略）．
　　第2问：注意到x∈（0，1］时，恒有f（x）≤4e2，以下研究x∈（1，3e］的情形．
　　当x∈（1，3e］时，由f（x）≤4e2，
　　得－≤a－x≤，即x－≤a≤x+，
　　一方面，函数y=x－在（1，3e］上单调递增，故a≥3e－；
　　另一方面，函数g（x）=x+，g′（x）=，g′（e）=0，
　　且当10，故g（x）min=g（e）=3e，故a≤3e．
　　所以实数a的取值范围是3e－≤a≤3e．
　　上面的解法方向明确，过程易控，思路清晰． 解题后，一位同事感叹地说，含参问题应优先考虑用分离参数法．
　　
　　“一惊”刷新认识
　　1. 试题
　　已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y－3=0．
　　（1）求a，b的值；
　　（2）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>+，求k的取值范围． （2011高考全国课标卷理21）
　　2． 解法回顾
　　关于问题2，河南童老师和陕西邱老师提供了“分离参数法”的解法，摘录如下（中学数学教学参考2011年第七期（上旬）第41页）：
　　“由（1）f（x）=+，由f（x）>+，得k<1－，对x>0，x≠1恒成立．
　　令g（x）=2xlnx－x2+1，则g′（x）=2lnx+2－2x，g″（x）=－2<0.
　　若x>1，则g″（x）<0，可知g′（x）递减，可得g′（x）0；
　　若00，可知g′（x）递增，可得g′（x）g（1）=0，则<1，1－>0．
　　综上所述，k<1－，对x>0，且x≠1恒成立，只需要k∈（－∞，0］即可．”
　　3． 反例与点评
　　笔者也曾有类似的想法，但总觉得难以令人信服，尝试着举出反例．
　　题目：已知m<1－，对x>0，且x≠1恒成立，求m的取值范围．
　　仿照上面解题的方法步骤，这样解：
　　“令g（x）=xlnx－x2+1，则g′（x）=lnx+1－2x，g″（x）=－2=，
　　 g″=0，当x>0时，g′（x）≤g′= －ln2<0，
　　若x>1，则g′（x）<0，可知g（x）递减，有g（x）0；
　　若0g（1）=0，则<1，1－>0．
　　综上所述，m<1－，对x>0，且x≠1恒成立，只需要m∈（－∞，0］即可．”
　　但这个结论是错误的，“m∈（－∞，0］”是“m<1－，对x>0，且x≠1恒成立”的充分条件，而非必要条件，因而也就不是充要条件．
　　?摇正确解法：令g（x）=1－（x>0，且x≠1）.
　　由洛比达法则可得g（x）=1－=1－=1－=.
　　又g′（x）=lnx－1+，
　　令h（x）=lnx－1+（x>0），则h′（x）=－=.
　　若x>1，则h′（x）>0，h（x）为增函数，h（x）>h（1）=0，故g′（x）>0，g（x）为增函数，所以g（x）>=，故此时有m≤；
　　若00，h（x）为增函数，h（x）=，故此时有m≤．
　　综上可知，若m<1－，对x>0，且x≠1恒成立，则m的取值范围是（－∞，］．
　　对这道高考试题，从数学的角度看，将参数k分离出来，通过函数方法解参数问题，仍然是有效的；从学生的角度看，仅就高中生所学的数学知识和方法，解决起来困难大多了． 对于含参数的问题，分离参数往往是有效的，但在某些情况下对学生来说有局限性．
　　4． 题眼分析：
　　题眼包含两个方面：一是解决问题的突破口，二是解题者的眼光．
　　（2）由（1）知f（x）=+，故f（x）－+=2lnx+．
　　考虑函数h（x）=2lnx+（x>0），则h′（x）=．
　　设k≤0，由h′（x）=知，当x≠1时，h′（x）<0，而h（1）=0，
　　当x∈（0，1）时，h（x）>0，得•h（x）>0；当x∈（1，+∞）时，h（x）<0，可得h（x）>0，
　　从而当x>0，且x≠1时， f（x）－+>0，即f（x）>+.
　　设00，故h′（x）>0，而h（1）=0，故当x∈1，时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾．
　　当k≥1时，h′（x）>0，而h（1）=0，当x∈（1，+∞）时，h（x）>0，得h（x）<0，与题设矛盾．
　　综上可得，k的取值范围为（-∞，0］．
　　点评：该解法关键在于对式子（k－1）（x2+1）+2x有较好的直觉，k=0时该式为－（x－1）2，为分类讨论奠定了基础，这是本题的题眼所在．
　　
　　启示与思考
　　透过这“一喜一惊”，笔者对数学解题教学刷新了认识，要重视思维定式的影响． 定式（即心向）是指重复先前的操作所引起的一种心理准备状态，它影响解决问题时的倾向性． 定式使人们会以某种习惯的方式对刺激情境作出反应，在解决问题时具有一种倾向习性，并影响问题是否顺利解决． 思维定式的作用是：根据面临的问题联想起已经解决的类似的问题，将新问题的特征与旧问题的特征进行比较，抓住新旧问题的共同特征，将已有的知识和经验与当前问题情境建立联系，利用处理过类似的旧问题的知识和经验处理新问题，或把新问题转化成一个已解决的熟悉问题，从而为新问题的解决做好积极的心理准备． 思维定式对于问题解决具有极其重要的意义，可以促进问题的解决，但有时又是消极的，它容易使我们产生思想上的惰性，养成一种呆板、机械、千篇一律的解题习惯，它使问题解决的思维活动变得呆板，使解题步入误区． 因此，数学教学中，一方面要发挥思维定式的积极作用，通过学生在问题解决活动中成功的体验强化已形成的规律性的认识；另一方面要注意克服思维定式对问题解决消极的一面，通过适当的案例，引导思维定式伴随着我们的学习和实践而变化、发展，在否定中前行． 教学中要积极渗透数学思想方法，解题教学应力求自然、合理，最为关键的是提高学生逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力．