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【摘 要】传统课堂教学模式是以课本为基础，以教师讲授为主要手段，是一种被动的、单向的教学方式和学习方式。这种模式不能很好地培养学生认识事物的能力、创新能力和解决实际问题的能力。但是，有时在真实世界里进行实验又不切实际，所以，理想的教学模式应在信息技术环境下将数学实验引入，将被动接受式学习真正转变为自主探究学习。随着现代信息技术的发展，我们建议构筑数字化学习资源，采用数学虚拟实验教学模式，为学生提供主体参与、积极探索、大胆实践、勇于创新的学习环境，提高数学教学实效。
【关键词】信息技术；数学实验；教学模式
【中图分类号】G712 【文献标识码】A
【论文编号】1671-7384（2016）10-0094-03
传统的数学教学主要以教师讲授为主要手段，对数学概念、定义、定理、公式通过讲解、举例引导学生学习。这是一种被动的、单向的教学方式和学习方式，与认知发生原理相违背。1880年，法国数学家埃尔本特曾说：“数学像所有其他科学一样，是一门实验科学。”学生应重走人类掌握数学的历程，从直观具体的实验阶段走入抽象理论阶段。在学习数学的过程中，应促使学生尽量亲自去发现尽可能多的东西。荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾指出：“数学常被当作已经完成了的形式理论来教……教师的任务是举例、讲解，学生的任务是模仿，唯一留给学生活动的机会是解题……真正的数学家从来不是以这样的方式来学习数学的，他们常常凭借数学的直觉思维，做出各种猜想，然后加以证实。”
随着信息技术的发展，由学生自己动手，用他们熟悉的、喜欢“玩”的计算机来经历数学建构过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方法已经变成现实。计算机软件已成为数学教育不可分割的一部分[1]。
数学虚拟实验的含义
在教学中提起实验，无论是中学生还是大学生，都会本能地想到物理实验、化学实验和生物实验，但是一说到数学虚拟实验，他们都会表现出茫然和困惑。那么，什么是数学虚拟实验？数学虚拟实验是一种新的数学教学和数学学习模式，是一种思维实验和操作实验相结合的实验。以数学虚拟实验活动为核心的数学教学不是直接将现成的结论教给学生，而是根据数学思想发展的脉络，充分利用实验手段，设计系列问题增加辅助环节，从直观、想象到发现、猜想，然后给予验证及理论证明，使学生在数学实验与操作的过程中亲身体验数学、理解数学的一种教学模式，实现从“教师—学生”二元教学，发展为“教师—计算机—学生”三元教学（如图1）。
实行数学虚拟实验的意义
数学虚拟实验教学能体现教学过程中教师、学生、内容、媒体四要素功能的转变。从学生角度看，突出了教学过程中的主体参与感，突出了他们作为计算机的“主人”的地位，他们的学习兴趣被空前地激发，创造力得到了充分发挥，从而使其走向自主创新性学习的转变和进步，并能使新知识迅速同化于学生原有的认知结构中。从教师角度看，数学虚拟实验有利于拓宽教师教学艺术的创新空间[2]。
数学虚拟实验教学使课程设计的指导思想和教学内容发生了很大的变化，死记硬背的知识被贬为认识领域的最底层，教学的重点放在高层次的思维及解决问题上。教师可充分利用计算机超文本功能的优势，积极创设适宜学生主动学习的环境。例如，在对有关函数的实际问题进行研究时，教师可让学生自己观察、探索数据变化对函数图像的影响，让学生积极寻找满足条件的数据，由学生自己设计解决问题的方案，并在实际操作、同学间相互交流协作中以及教师的点拨指导下，不断修正自己的方案。这样，将学生置于一项真实的任务中，学生在学习过程中感到一种挑战，实现在人机对话和群体协作中真实的“做数学”的教学目标。
数学虚拟实验的模式
根据数学实验课程的特点及其在教学中的使用情况，可以把数学虚拟实验模式大体分为演示讲授模式、个别学习模式、操作练习模式和共同讨论模式。
1. 演示讲授模式
在演示讲授模式下，教师使用多媒体CAI课件、数学软件包和其他教学软件资源，以多媒体计算机为核心构建一个数学教学平台，把教学内容以各种媒体的形式呈现在大屏幕上，或同步呈现在学生机的屏幕上，在教师的控制下边演示边讲授。
2. 个别学习模式
学生可以自主选择网络服务器上的共享CAI课件、数学软件包进行自学，也可以通过各种方式查看或调用网络上的教学资源进行交互式学习。在服务器上实时记录学生自学的有关信息，通过软件监视就能够了解学生的学习情况。
3. 操作练习模式
操作练习的主要目的是让学生通过大量的练习巩固所学的知识，同时对练习的情况进行实时记录，使教师能及时了解学生学习课程的状况，对教学进行及时的调整，操作练习可在网络上进行[3]。操作练习模式可分为自由练习和指导练习两种方式。前者利用网络服务器中的题库资源，自动组题或自主选题。指导练习则由教师选题或命题，学生参与练习，并将解答写回服务器，教师随时可以查询这些信息，以便及时掌握学生学习情况。
4. 共同讨论模式
讨论是教师与学生之间、学生与学生之间的信息交流方式之一，基本可分为全体讨论、分组讨论和留言讨论等。可以以电子白板为基础进行讨论，电子白板不仅具备文字交流的功能，同时也能引入绘制图形的功能，以弥补文字交流的不足。
开展数学虚拟实验教学的具体措施
近几年来，我们进行了“数学虚拟实验”教学模式的探索，将数学虚拟实验教学模式概括为五个环节：创设问题、虚拟实验、提出猜想、验证猜想、课堂小结。其教学流程图如图2所示。 1. 创设问题
好的问题是学生学习兴趣被激发起来的前提，也是进行数学实验的前提。问题怎样创设出来呢？一是教师根据教学需要提出，再由学生实验；或是由学生自己提出问题，教师顺势让学生进行实验。在授课过程中，教师要在一个大的主题之中创设情境。如教师在讲授双曲线一课时可提出：
①已知双曲线x2-y2=4，直线L过定点P（0，2），问直线L何时与双曲线只有一个公共点？（代数上解决）
②在计算机上观察四条所求出的直线的位置特征。
③若点P在平面内的其他位置时，过该点且与双曲线只有一个公共点的直线有几条？
2. 虚拟实验
提出问题后，学生可按照教师提出的实验要求，亲自用电脑完成相应的实验，努力去发现与所研究问题相关的一些数据反映出的规律，对实验结果做出清楚的描述。它是整个数学实验过程中的核心环节。学生在教师指导下，应用一种或几种软件工具（如几何画板、Mathematica、Maple、MATLAB、MathCAD等开放型系统）制作成一个课件（或积件），能构成和表现该数学问题的各种层面的元素，并进行自主探究或协作探究实验。如探索点P在各种不同位置时只有一个公共点的直线条数。
3. 提出猜想
学生在理解了学习课题后，通过实物模型、虚拟模型、直观观察、实验分析、数学灵感等各种途径和方式，根据已有的信息或新得到的信息，提出解决课题的假说。本环节是整个数学实验过程中的关键环节，是数学实验的高潮阶段，它是学生在虚拟实验环节中产生的，是学生根据实验现象和规律提出的，是数学实验教学的教学目标实现程度的体现，同时也是培养学生合情推理能力的过程。
学生在教师引导下，通过自主探究或协作学习，对在实验过程中发现的问题做进一步的研究。如提出问题：若点P在平面内的其他位置时，过该点且与双曲线只有一个公共点的直线有几条？
4. 验证猜想
验证猜想是指在提出猜想之后，通过传统实验、虚拟实验、演绎推理等方法来验证猜想的正确性或通过举出反例的方法来否定猜想。这是数学实验不可缺少的环节，是我们获得正确结论的关键步骤，是对实验成功与否的判断。验证猜想的过程实际上是培养学生求实的学习态度和严谨的逻辑推理能力的过程。
5. 课堂小结
小结时，展示实验结果，优化学生认知结构，并肯定学生的创新成果[4]。对以上问题来说，学生开始实验探究时，点P的选取是无章法的，其结论也是不完全的。但这些结论毕竟是学生自己探究和发现的，他们的体验是深刻的，尤其是当小组协商和交流后，同学们互相补充，形成全面的结论，而且会逐渐发现：利用对称性，只需探求点P在第一象限时的情形即可。另外学生还会对问题产生拓展：①给定双曲线和定点，过定点与双曲线有两个交点的直线有几条？②对于上面讨论的问题，其他圆锥曲线又如何？
开展数学虚拟实验教学应注意的问题
数学虚拟实验的载体是问题，做实验是从问题出发进行探索研究的，故选准、选好实验课题就显得十分重要，选择实验课题一般应遵循以下原则：
一是适中性。适合中学生的知识水平和年龄，特别要适合职高教学的要求，在实验时不需要补充大量的知识就可入手。
二是实用性。要有一定的现实背景和意义，选择这种实际问题，可以使学生从实验过程中体会数学的价值，提高学习数学的自觉性。
三是趣味性。选用饶有趣味的问题，能吸引学生思考，启迪学生思维，开阔学生眼界，激发学生学习数学的兴趣。
四是选择合适的数学工具。实验课题的解决需要借助和通过计算机的计算和模拟功能，但要选择合适的数学工具，运用合适的数学软件来正确完成模型的求解[5]。
实践证明，数学实验的引入，尤其是在计算机参与下的数学虚拟实验室的引入，给我们的数学课堂注入了许多活力，更能给予学生一个“完整的数学”。让学生在教师的指导下进行实验，可大大增强学生的好奇心，激发其探索和创造的欲望，使学生的学习过程变为自己动手实验、观察发现、猜想验证、合情推理、动脑设计的亲身经历。因此，数学虚拟实验是让学生在已有的认知结构基础上，去发现、建构新知识的有效途径之一。在数学教学中，应注意充分挖掘虚拟实验环境，特别是利用“几何画板”“Z Z智能知识平台”“图形计算器”等优秀的软件平台为学生创设进行数学虚拟实验的良好环境。
参考文献
Liu CC， Chou CC， Liu BJ， et al.Improving mathematics teaching and learning experiences for hard of hearing students with wireless technology-enhanced classrooms. Am Ann Deaf. 2006，151：345-355.
赵治国，刘丽.利用信息技术深化数学实验教学[J].中国电化教育，2011，288：110-112.
Marschark M1， Richardson JT， Sapere P， et al. Approaches to teaching in mainstream and separate postsecondary classrooms. Am Ann Deaf. 2010， 155：481-487.
岑波.信息技术条件下数学探究式教学的优势及弊端[J].新课程，2014（4）：92-93.
李素琴.实现信息技术条件下数学问题生活化形象化[J].中国教育技术装备，2014（4）： 130-131.
（作者单位：浙江温州市职业中等专业学校）
【关键词】信息技术；数学实验；教学模式
【中图分类号】G712 【文献标识码】A
【论文编号】1671-7384（2016）10-0094-03
传统的数学教学主要以教师讲授为主要手段，对数学概念、定义、定理、公式通过讲解、举例引导学生学习。这是一种被动的、单向的教学方式和学习方式，与认知发生原理相违背。1880年，法国数学家埃尔本特曾说：“数学像所有其他科学一样，是一门实验科学。”学生应重走人类掌握数学的历程，从直观具体的实验阶段走入抽象理论阶段。在学习数学的过程中，应促使学生尽量亲自去发现尽可能多的东西。荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾指出：“数学常被当作已经完成了的形式理论来教……教师的任务是举例、讲解，学生的任务是模仿，唯一留给学生活动的机会是解题……真正的数学家从来不是以这样的方式来学习数学的，他们常常凭借数学的直觉思维，做出各种猜想，然后加以证实。”
随着信息技术的发展，由学生自己动手，用他们熟悉的、喜欢“玩”的计算机来经历数学建构过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方法已经变成现实。计算机软件已成为数学教育不可分割的一部分[1]。
数学虚拟实验的含义
在教学中提起实验，无论是中学生还是大学生，都会本能地想到物理实验、化学实验和生物实验，但是一说到数学虚拟实验，他们都会表现出茫然和困惑。那么，什么是数学虚拟实验？数学虚拟实验是一种新的数学教学和数学学习模式，是一种思维实验和操作实验相结合的实验。以数学虚拟实验活动为核心的数学教学不是直接将现成的结论教给学生，而是根据数学思想发展的脉络，充分利用实验手段，设计系列问题增加辅助环节，从直观、想象到发现、猜想，然后给予验证及理论证明，使学生在数学实验与操作的过程中亲身体验数学、理解数学的一种教学模式，实现从“教师—学生”二元教学，发展为“教师—计算机—学生”三元教学（如图1）。
实行数学虚拟实验的意义
数学虚拟实验教学能体现教学过程中教师、学生、内容、媒体四要素功能的转变。从学生角度看，突出了教学过程中的主体参与感，突出了他们作为计算机的“主人”的地位，他们的学习兴趣被空前地激发，创造力得到了充分发挥，从而使其走向自主创新性学习的转变和进步，并能使新知识迅速同化于学生原有的认知结构中。从教师角度看，数学虚拟实验有利于拓宽教师教学艺术的创新空间[2]。
数学虚拟实验教学使课程设计的指导思想和教学内容发生了很大的变化，死记硬背的知识被贬为认识领域的最底层，教学的重点放在高层次的思维及解决问题上。教师可充分利用计算机超文本功能的优势，积极创设适宜学生主动学习的环境。例如，在对有关函数的实际问题进行研究时，教师可让学生自己观察、探索数据变化对函数图像的影响，让学生积极寻找满足条件的数据，由学生自己设计解决问题的方案，并在实际操作、同学间相互交流协作中以及教师的点拨指导下，不断修正自己的方案。这样，将学生置于一项真实的任务中，学生在学习过程中感到一种挑战，实现在人机对话和群体协作中真实的“做数学”的教学目标。
数学虚拟实验的模式
根据数学实验课程的特点及其在教学中的使用情况，可以把数学虚拟实验模式大体分为演示讲授模式、个别学习模式、操作练习模式和共同讨论模式。
1. 演示讲授模式
在演示讲授模式下，教师使用多媒体CAI课件、数学软件包和其他教学软件资源，以多媒体计算机为核心构建一个数学教学平台，把教学内容以各种媒体的形式呈现在大屏幕上，或同步呈现在学生机的屏幕上，在教师的控制下边演示边讲授。
2. 个别学习模式
学生可以自主选择网络服务器上的共享CAI课件、数学软件包进行自学，也可以通过各种方式查看或调用网络上的教学资源进行交互式学习。在服务器上实时记录学生自学的有关信息，通过软件监视就能够了解学生的学习情况。
3. 操作练习模式
操作练习的主要目的是让学生通过大量的练习巩固所学的知识，同时对练习的情况进行实时记录，使教师能及时了解学生学习课程的状况，对教学进行及时的调整，操作练习可在网络上进行[3]。操作练习模式可分为自由练习和指导练习两种方式。前者利用网络服务器中的题库资源，自动组题或自主选题。指导练习则由教师选题或命题，学生参与练习，并将解答写回服务器，教师随时可以查询这些信息，以便及时掌握学生学习情况。
4. 共同讨论模式
讨论是教师与学生之间、学生与学生之间的信息交流方式之一，基本可分为全体讨论、分组讨论和留言讨论等。可以以电子白板为基础进行讨论，电子白板不仅具备文字交流的功能，同时也能引入绘制图形的功能，以弥补文字交流的不足。
开展数学虚拟实验教学的具体措施
近几年来，我们进行了“数学虚拟实验”教学模式的探索，将数学虚拟实验教学模式概括为五个环节：创设问题、虚拟实验、提出猜想、验证猜想、课堂小结。其教学流程图如图2所示。 1. 创设问题
好的问题是学生学习兴趣被激发起来的前提，也是进行数学实验的前提。问题怎样创设出来呢？一是教师根据教学需要提出，再由学生实验；或是由学生自己提出问题，教师顺势让学生进行实验。在授课过程中，教师要在一个大的主题之中创设情境。如教师在讲授双曲线一课时可提出：
①已知双曲线x2-y2=4，直线L过定点P（0，2），问直线L何时与双曲线只有一个公共点？（代数上解决）
②在计算机上观察四条所求出的直线的位置特征。
③若点P在平面内的其他位置时，过该点且与双曲线只有一个公共点的直线有几条？
2. 虚拟实验
提出问题后，学生可按照教师提出的实验要求，亲自用电脑完成相应的实验，努力去发现与所研究问题相关的一些数据反映出的规律，对实验结果做出清楚的描述。它是整个数学实验过程中的核心环节。学生在教师指导下，应用一种或几种软件工具（如几何画板、Mathematica、Maple、MATLAB、MathCAD等开放型系统）制作成一个课件（或积件），能构成和表现该数学问题的各种层面的元素，并进行自主探究或协作探究实验。如探索点P在各种不同位置时只有一个公共点的直线条数。
3. 提出猜想
学生在理解了学习课题后，通过实物模型、虚拟模型、直观观察、实验分析、数学灵感等各种途径和方式，根据已有的信息或新得到的信息，提出解决课题的假说。本环节是整个数学实验过程中的关键环节，是数学实验的高潮阶段，它是学生在虚拟实验环节中产生的，是学生根据实验现象和规律提出的，是数学实验教学的教学目标实现程度的体现，同时也是培养学生合情推理能力的过程。
学生在教师引导下，通过自主探究或协作学习，对在实验过程中发现的问题做进一步的研究。如提出问题：若点P在平面内的其他位置时，过该点且与双曲线只有一个公共点的直线有几条？
4. 验证猜想
验证猜想是指在提出猜想之后，通过传统实验、虚拟实验、演绎推理等方法来验证猜想的正确性或通过举出反例的方法来否定猜想。这是数学实验不可缺少的环节，是我们获得正确结论的关键步骤，是对实验成功与否的判断。验证猜想的过程实际上是培养学生求实的学习态度和严谨的逻辑推理能力的过程。
5. 课堂小结
小结时，展示实验结果，优化学生认知结构，并肯定学生的创新成果[4]。对以上问题来说，学生开始实验探究时，点P的选取是无章法的，其结论也是不完全的。但这些结论毕竟是学生自己探究和发现的，他们的体验是深刻的，尤其是当小组协商和交流后，同学们互相补充，形成全面的结论，而且会逐渐发现：利用对称性，只需探求点P在第一象限时的情形即可。另外学生还会对问题产生拓展：①给定双曲线和定点，过定点与双曲线有两个交点的直线有几条？②对于上面讨论的问题，其他圆锥曲线又如何？
开展数学虚拟实验教学应注意的问题
数学虚拟实验的载体是问题，做实验是从问题出发进行探索研究的，故选准、选好实验课题就显得十分重要，选择实验课题一般应遵循以下原则：
一是适中性。适合中学生的知识水平和年龄，特别要适合职高教学的要求，在实验时不需要补充大量的知识就可入手。
二是实用性。要有一定的现实背景和意义，选择这种实际问题，可以使学生从实验过程中体会数学的价值，提高学习数学的自觉性。
三是趣味性。选用饶有趣味的问题，能吸引学生思考，启迪学生思维，开阔学生眼界，激发学生学习数学的兴趣。
四是选择合适的数学工具。实验课题的解决需要借助和通过计算机的计算和模拟功能，但要选择合适的数学工具，运用合适的数学软件来正确完成模型的求解[5]。
实践证明，数学实验的引入，尤其是在计算机参与下的数学虚拟实验室的引入，给我们的数学课堂注入了许多活力，更能给予学生一个“完整的数学”。让学生在教师的指导下进行实验，可大大增强学生的好奇心，激发其探索和创造的欲望，使学生的学习过程变为自己动手实验、观察发现、猜想验证、合情推理、动脑设计的亲身经历。因此，数学虚拟实验是让学生在已有的认知结构基础上，去发现、建构新知识的有效途径之一。在数学教学中，应注意充分挖掘虚拟实验环境，特别是利用“几何画板”“Z Z智能知识平台”“图形计算器”等优秀的软件平台为学生创设进行数学虚拟实验的良好环境。
参考文献
Liu CC， Chou CC， Liu BJ， et al.Improving mathematics teaching and learning experiences for hard of hearing students with wireless technology-enhanced classrooms. Am Ann Deaf. 2006，151：345-355.
赵治国，刘丽.利用信息技术深化数学实验教学[J].中国电化教育，2011，288：110-112.
Marschark M1， Richardson JT， Sapere P， et al. Approaches to teaching in mainstream and separate postsecondary classrooms. Am Ann Deaf. 2010， 155：481-487.
岑波.信息技术条件下数学探究式教学的优势及弊端[J].新课程，2014（4）：92-93.
李素琴.实现信息技术条件下数学问题生活化形象化[J].中国教育技术装备，2014（4）： 130-131.
（作者单位：浙江温州市职业中等专业学校）