有些代数或三角问题，若能根据已知式的结构，挖掘出它的几何背景，通过构造圆锥曲线模型，化数为形，利用数学模型的直观性，简捷地求得问题的解．
　　一、构造“椭圆模型”
　　例1解方程[x2+ 4x+8]+[x2-8x+20]=10．
　　解 将原方程配方，得
　　[(x    +    2)2   +     4] +[(x   -   4)2    +     4]=10．
　　令[y2=4]，
　　即有[(x    +    2)2   +   y2] +[(x   -   4)2    + y2]=10．
　　根据椭圆定义，它表示以(－2，0)、(4，0)为焦点，长、短半轴分别为5、4的椭圆[(x   -   1)225]+[y216]=1，
　　将[y2=4]代入椭圆方程中，解得[x=1±532]．
　　经检验，[x=1±532]均是原方程的解．
　　例2已知[cos4α  sin2β]+[sin4α  cos2β    ]=1，求证：[α]+[β]=[π2].
　　证明 由已知点[A(cos2α，sin2α)]、[B(sin2β，][cos2β)]都在椭圆[x2 sin2β]+[y2  cos2β    =1]上，过点[B]的切线方程为[x+y=1]，而点[A]又在此切点上，由切点的唯一性知，点[A]与点[B]重合．
　　∴[cos2α=sin2β]且[sin2α=cos2β]，
　　∴cos[α]=sin[β]=cos([π2]－[β])，
　　又 [α、][π2]－[β]∈(0，[π2])，
　　∴[α]=[π2]－[β]，即[α+β=π2]．
　　二、构造“双曲线模型”
　　例3解不等式 [|x－5|－|x+3|＜6]．
　　解 取[y2=0]，则原不等式可化为[(x   -   5)2+   y2][-(x   +   3)2    + y2]＜6．
　　据双曲线知识，该不等式表示以(－3，0)和(5，0)为焦点，实、虚半轴分别为3、[7]的双曲线[(x   -   1)29]－[y27]=1的左支“外部”．
　　令[y2=0]，得顶点为(－2，0)、(4，0)，取左支外部．
　　∴原不等式的解集为[{x|x＞－2}]．
　　例4已知[sec4α  sec2β]－[tan4α  tan2β    =1]，求证：[sec4β  sec2α]－[tan4β  tan2α    =1]．
　　证明 由已知点[A](sec2[α]， tan2[α])、[B](sec2[β]，tan2[β])都在双曲线[x2 sec2β]-[y2  tan2β    ]=1上，过点[B]的切线方程为[x－y=1]，而点[A]也在此切点上，由切点的唯一性知 ，点[A]与点[B]重合．
　　∴sec2[α]=sec2[β]，且tan2[α]=tan2[β]，
　　∴[sec4β  sec2α]－[tan4β  tan2α    =]sec2[β]－tan2[β=1].