数列中的综合问题，大多与函数交汇，考查利用函数与方程的思想及分类讨论思想解决数列中的问题，有时用不等式的方法研究数列的性质.
　　求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确转化.对于函数的有关性质，主要利用函数的单调性或有界性来求解数列中的最值.但由于数列的通项是一类特殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列中的自变量只能取正整数这一特点.
　　例1（2015年高考安徽，理18）设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标.
　　（1）求数列{xn}的通项公式；
　　（2）记Tn=x21x23…x22n-1，证明Tn≥14n.
　　分析：（1）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2.从而可以写出切线方程为y-2=（2n+2）（x-1）.令y=0.解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-1n+1=nn+1.
　　（2）要证Tn≥14n，需考虑通项x22n-1，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出Tn=x21x23…x22n-1=（12）2（34）2…（2n-12n）2，求出初始条件当n=1时，T1=14.当n≥2时，单独考虑x22n-1，并放缩得x22n-1=（2n-12n）2=（2n-1）2（2n）2>（2n-1）2-1（2n）2=4n2-4n（2n）2=n-1n，所以
　　Tn=（12）2×12×23×…×n-1n=14n，综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥14n.
　　解：（1）解：y′=（x2n+2+1）′=（2n+2）x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2.
　　从而切线方程为y-2=（2n+2）（x-1）.令y=0，解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-1n+1=nn+1.
　　（2）证：由题设和（1）中的计算结果知Tn=x21x23…x22n-1=（12）2（34）2…（2n-12n）2.
　　当n=1时，T1=14.
　　当n≥2时，因为x22n-1=（2n-12n）2=（2n-1）2（2n）2>（2n-1）2-1（2n）2=4n2-4n（2n）2=n-1n，
　　所以Tn>（12）2×12×23×…×n-1n=14n.
　　综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥14n.
　　评注：数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合是近几年高考命题的新热点，且数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中，而不再是以前的递推求通项.对于数列问题中求和类（或求积类）不等式证明，如果是通过放缩的方法进行证明的，一般有两种类型：一种是能够直接求和（或求积），再放缩；一种是不能直接求和（或求积），需要放缩后才能求和（或求积），求和（或求积）后再进行放缩.在后一种类型中，一定要注意放缩的尺度，二是要注意从哪一项开始放缩.
　　例2（2015年高考陕西，理21）设fn（x）是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x>0，n∈N，n≥2.
　　（1）证明：函数Fn（x）=fn（x）-2在（12，1）内有且仅有一个零点（记为xn），且xn=12+12xn+1n；
　　（2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），比较fn（x）与gn（x）的大小，并加以证明.
　　分析：（1）先利用零点定理可证Fn（x）在（12，1）内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证Fn（x）在（12，1）内有且仅有一个零点，进而利用xn是Fn（x）的零点可证xn=12+12xn+1n；（2）先设h（x）=fn（x）-gn（x），再对x的取值范围进行讨论来判断h（x）与0的大小，进而可得fn（x）和gn（x）的大小.
　　解析：（1）Fn（x）=fn（x）-2=1+x+x2+…+xn-2，则Fn（1）=n-1>0，
　　Fn（12）=1+12+（12）2+…+（12）n-2=1-（12）n+11-12-2=-12n<0，
　　所以Fn（x）在（12，1）内至少存在一个零点xn.
　　又F′n（x）=1+2x+…+nxn-1>0，故在（12，1）内单调递增，所以Fn（x）在（12，1）内有且仅有一个零点xn.
　　因为xn是Fn（x）的零点，所以Fn（xn）=0，即1-xn+1n1-xn-2=0，故xn=12+12xn+1n.
　　（2）解法一：由题设，gn（x）=（n+1）（1+xn）2.
　　设h（x）=fn（x）-gn（x）=1+x+x2+…+xn-（n+1）（1+xn）2，x>0，
　　当x=1时，fn（x）=gn（x）；
　　当x≠1时，h′（x）=1+2x+…+nxn-1-n（n+1）xn-12，
　　若0xn-1+2xn-1+…+nxn-1-n（n+1）2xn-1=n（n+1）2xn-1-n（n+1）2xn-1=0；
　　若x>1，h′（x）　　所以h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以h（x）　　综上所述，当x=1时，fn（x）=gn（x）；当x≠1时fn（x）　　解法二：由题设，fn（x）=1+x+x2+…+xn，
　　gn（x）=（n+1）（1+xn）2，x>0. 　　当x=1时，fn（x）=gn（x），
　　当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn（x）　　当n=2时，f2（x）-g2（x）=-12（1-x）2<0，所以f2（x）　　假设n=k（k≥2）时，不等式成立，
　　即fk（x）　　那么，当n=k+1时，
　　fk+1（x）=fk（x）+xk+1　　又gk+1（x）-2xk+1+（k+1）xk+k+12
　　=kxk+1-（k+1）xk+12，
　　令hk（x）=kxk+1-（k+1）xk+1（x>0），
　　则h′k（x）=k（k+1）xk-k（k+1）xk-1
　　=k（k+1）xk-1（x-1）.
　　所以当0　　当x>1，h′k（x）>0，hk（x）在（1，+∞）上递增.
　　所以hk（x）>hk（1）=0，
　　从而gk+1（x）>2xk+1+（k+1）xk+k+12，
　　故fk+1（x）　　所以，对于一切n≥2的整数，都有fn（x）　　解法三：由已知，记等差数列为{ak}，等比数列为{bk}，k=1，2，…，n+1.则a1=b1=1，an+1=bn+1=xn，
　　所以ak=1+（k-1）·xn-1n（2≤k≤n），bk=xk-1（2≤k≤n），
　　令mk（x）=ak-bk=1+（k-1）（xn-1）n-xk-1，x>0（2≤k≤n）.
　　当x=1时，ak=bk，所以fn（x）=gn（x）.
　　当x≠1时，m′k（x）=k-1nnxn-1-（k-1）xk-2=（k-1）xk-2（xn-k+1-1），
　　而2≤k≤n，所以k-1>0，n-k+1≥1.
　　若0　　当x>1，xn-k+1>1，m′k（x）>0，
　　从而mk（x）在（0，1）上递减，mk（x）在（1，+∞）上递增.所以mk（x）>mk（1）=0，
　　所以当x>0且x≠1时，ak>bk（2≤k≤n），又a1=b1，an+1=bn+1，故fn（x）　　综上所述，当x=1时，fn（x）=gn（x）；当x≠1时fn（x）　　评注：数列是考查同学们创新意识与实践精神的最好素材.从近些年的高考试题来看，一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的数列与方程、函数（包括三角函数）、不等式以及导数等的综合性试题不断涌现，这部分试题往往以压轴题的形式出现，考查综合运用知识的能力，突出知识的融会贯通.数列的问题难度大，往往表现在与递推数列有关，递推含义趋广，不仅有数列前后项的递推，更有关联数列的递推，更甚的是数列间的“复制”式递推；从递推形式上看，既有常规的线性递推，还有分式、三角、分段、积（幂）等形式.在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力.