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摘 要本文通过分析一元二次不等式、一元二次函数和一元二次方程三个知识点断层的链接:一元二次函数图像,让学生明白了一元二次不等式、一元二次函数和一元二次方程之间的关系,从而得到一元二次不等式的解题思路,使学生轻松、灵活地掌握了一元二次不等式的求解问题。这样,学生在学知识时真正做到知其然,也知其所以然。
关键词一元二次不等式;一元二次函数;一元二次方程;知识点断层;解题思路
AbstractThis paper analyzes the link of the three separate knowledge points : one-variable quadratic function of the image, so that students understandthe relationship between one-variable quadratic inequality, one-variable quadratic function and one-variable quadratic equation , and thus get one-variable quadratic inequality problem-solving ideas to enable students to easily and flexibly learn a problem solving one-variable quadratic inequalities. Studentstruly know these, but also know why.
Key wordsone-variable quadratic inequality; one-variable quadratic function;one-variable quadratic equation;the separate knowledge points; problem-solving ideas
一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式这三个概念对中专学生来说并不陌生,他们在初中数学中已接触很多。但它们三者之间有没有联系?有怎样的联系?几乎没有学生能够回答,这就是数学中的知识断层。作为教师要善于发现学生学习的症结,起到穿针引线的作用,能将复杂的问题形象化、简单化。换句话说,就是帮助学生寻找知识点断层的链接,将知识融会贯通,使学生知其然,也知其所以然。
在中职数学教学中,解一元二次不等式是学生学习的一个难点,它涉及到一元二次函数和一元二次方程。如何将难变易?关键在于帮助学生寻找一元二次不等式、一元二次函数、一元二次方程三个知识点的链接。
帮助学生回顾函数的概念,让学生知道函数有很多种类型:一元一次函数、一元二次函数等,接着给出一元二次函数的基本形式:y= ax2 + bx + c,大多数学生都知道它的图像是一条抛物线,假设a>0,可以给出y= ax2 + bx + c的一个函数图像为:
这就是所寻找的一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三个知识点的链接!
观察此函数图像,发现:
当y=0时,一元二次函数y= ax2 + bx + c(例:y= x2﹣4x + 3)就变为一元二次方程ax2 + bx + c=0(例:x2﹣4x + 3=0),从图像上可以看到,此方程的解正好就是一元二次函数图像与x轴交点的横坐标值(x1 =1,x2 =3)。
当y>0时,一元二次函数y= ax2 + bx + c(例:y= x2﹣4x + 3)就变为一元二次不等式ax2 + bx + c>0(例:x2﹣4x + 3>0),从图像上可以看到,此不等式的解就是一元二次函数在x轴上方函数图像对应的所有横坐标值(例:(﹣∞,1)∪(1,+∞))。
当y<0时,一元二次函数y= ax2 + bx + c(例:y= x2﹣4x + 3)就变为一元二次不等式ax2 + bx + c<0(例:x2﹣4x + 3<0),从图像上可以看到,此不等式的解就是一元二次函数在x轴下方函数图像对应的所有横坐标值(例:(1,3))。
这样,通过一元二次函数图像这个链接,让学生明白了一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的相互关系。我们的目的是解一元二次不等式,根据上文的分析,通过函数图像我们可以直接表示出不等式的解集,但是必须知道函数图像与x轴交点的横坐标值,而它正好是方程ax2 + bx + c=0的解。对于ax2 + bx + c=0,学生很清楚用求根公式x=可求解,其中Δ=b2﹣4ac。
Δ>0时,方程有两个不同的实数根:x1 =, x3 =,实际上这就是y= ax2 + bx + c函数图像与x轴有两个交点的情况[函数图像模型(1)]。
Δ=0时,方程有两个相同的实数根:x0 = ■,实际上这就是y= ax2 + bx + c函数图像与x轴有一个交点的情况[函数图像模型(2)]。
Δ<0时,方程没有实数根,实际上这就是y= ax2 + bx + c函数图像与x轴没有交点的情况[函数图像模型(3)]。
从而可以得到解一元二次不等式的解题思路:
(1) 首先将一元二次不等式变形为:ax2 + bx + c>0(或ax2 + bx + c<0)(a>0
(2)求出对应一元二次方程ax2 + bx + c=0的解。
(3)根据方程的解建立函数图像模型:Δ>0时,建立函数图像模型(1);Δ=0时,建立函数图像模型(2);Δ<0时,建立函数图像模型(3)。
(4)看函数图像模型直接写出一元二次不等式的解集。(若是ax2 + bx + c≥0或ax2+ bx + c≤0时,解集的开区间变为闭区间即可)
一旦学生弄清一元二次函数图像这个链接,明白一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系,就不用死记硬背一元二次不等式的解集表,按照上述的解题思路灵活、正确地解出各种一元二次不等式。这样,本来看似很难得一元二次不等式的求解问题,就变得简单、容易了。
参考文献
[1] 李广全、李尚志.《数学(基础模块)》.高等教育出版社.2009.
作者简介:
杨 睿女(1969-),籍贯:云南,1991年毕业于华东师范大学,现为云南省广播电视学校高级讲师,硕士,研究方向:教育技术、计算机及应用。
关键词一元二次不等式;一元二次函数;一元二次方程;知识点断层;解题思路
AbstractThis paper analyzes the link of the three separate knowledge points : one-variable quadratic function of the image, so that students understandthe relationship between one-variable quadratic inequality, one-variable quadratic function and one-variable quadratic equation , and thus get one-variable quadratic inequality problem-solving ideas to enable students to easily and flexibly learn a problem solving one-variable quadratic inequalities. Studentstruly know these, but also know why.
Key wordsone-variable quadratic inequality; one-variable quadratic function;one-variable quadratic equation;the separate knowledge points; problem-solving ideas
一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式这三个概念对中专学生来说并不陌生,他们在初中数学中已接触很多。但它们三者之间有没有联系?有怎样的联系?几乎没有学生能够回答,这就是数学中的知识断层。作为教师要善于发现学生学习的症结,起到穿针引线的作用,能将复杂的问题形象化、简单化。换句话说,就是帮助学生寻找知识点断层的链接,将知识融会贯通,使学生知其然,也知其所以然。
在中职数学教学中,解一元二次不等式是学生学习的一个难点,它涉及到一元二次函数和一元二次方程。如何将难变易?关键在于帮助学生寻找一元二次不等式、一元二次函数、一元二次方程三个知识点的链接。
帮助学生回顾函数的概念,让学生知道函数有很多种类型:一元一次函数、一元二次函数等,接着给出一元二次函数的基本形式:y= ax2 + bx + c,大多数学生都知道它的图像是一条抛物线,假设a>0,可以给出y= ax2 + bx + c的一个函数图像为:
这就是所寻找的一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三个知识点的链接!
观察此函数图像,发现:
当y=0时,一元二次函数y= ax2 + bx + c(例:y= x2﹣4x + 3)就变为一元二次方程ax2 + bx + c=0(例:x2﹣4x + 3=0),从图像上可以看到,此方程的解正好就是一元二次函数图像与x轴交点的横坐标值(x1 =1,x2 =3)。
当y>0时,一元二次函数y= ax2 + bx + c(例:y= x2﹣4x + 3)就变为一元二次不等式ax2 + bx + c>0(例:x2﹣4x + 3>0),从图像上可以看到,此不等式的解就是一元二次函数在x轴上方函数图像对应的所有横坐标值(例:(﹣∞,1)∪(1,+∞))。
当y<0时,一元二次函数y= ax2 + bx + c(例:y= x2﹣4x + 3)就变为一元二次不等式ax2 + bx + c<0(例:x2﹣4x + 3<0),从图像上可以看到,此不等式的解就是一元二次函数在x轴下方函数图像对应的所有横坐标值(例:(1,3))。
这样,通过一元二次函数图像这个链接,让学生明白了一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的相互关系。我们的目的是解一元二次不等式,根据上文的分析,通过函数图像我们可以直接表示出不等式的解集,但是必须知道函数图像与x轴交点的横坐标值,而它正好是方程ax2 + bx + c=0的解。对于ax2 + bx + c=0,学生很清楚用求根公式x=可求解,其中Δ=b2﹣4ac。
Δ>0时,方程有两个不同的实数根:x1 =, x3 =,实际上这就是y= ax2 + bx + c函数图像与x轴有两个交点的情况[函数图像模型(1)]。
Δ=0时,方程有两个相同的实数根:x0 = ■,实际上这就是y= ax2 + bx + c函数图像与x轴有一个交点的情况[函数图像模型(2)]。
Δ<0时,方程没有实数根,实际上这就是y= ax2 + bx + c函数图像与x轴没有交点的情况[函数图像模型(3)]。
从而可以得到解一元二次不等式的解题思路:
(1) 首先将一元二次不等式变形为:ax2 + bx + c>0(或ax2 + bx + c<0)(a>0
(2)求出对应一元二次方程ax2 + bx + c=0的解。
(3)根据方程的解建立函数图像模型:Δ>0时,建立函数图像模型(1);Δ=0时,建立函数图像模型(2);Δ<0时,建立函数图像模型(3)。
(4)看函数图像模型直接写出一元二次不等式的解集。(若是ax2 + bx + c≥0或ax2+ bx + c≤0时,解集的开区间变为闭区间即可)
一旦学生弄清一元二次函数图像这个链接,明白一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系,就不用死记硬背一元二次不等式的解集表,按照上述的解题思路灵活、正确地解出各种一元二次不等式。这样,本来看似很难得一元二次不等式的求解问题,就变得简单、容易了。
参考文献
[1] 李广全、李尚志.《数学(基础模块)》.高等教育出版社.2009.
作者简介:
杨 睿女(1969-),籍贯:云南,1991年毕业于华东师范大学,现为云南省广播电视学校高级讲师,硕士,研究方向:教育技术、计算机及应用。