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【摘要】《倍的认识》是一节概念学习课。如何引导学生深入理解并掌握“倍”这个概念是教学的重点和难点。本文提出，要重视概念的本原，紧紧抓住“倍”概念中的“方法”“关系”“对应”和“基础”这几个关键部分，让学生对概念有一个整体的感知，从而加深对概念的理解。
【关键词】《倍的认识》 概念学习 教学实践
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）07A-0093-02
在小学数学教学中，让学生理解并掌握数学概念的核心，是要求学生能够把握数学概念的本质，而不仅仅只是背诵课本上的定义。如何才能实现这一点呢？笔者认为，教师应重视学生对概念本原的认知和把握，引入概念本原策略，将其应用在课堂教学中。所谓概念本原策略，指的是抓住概念中最根本、最重要的部分进行引导，带领学生突破概念的本质属性，深入理解概念的内涵。
苏教版数学三年级上册《倍的认识》是一节概念学习课，笔者为学生提供了通往本原的路径：从数量比较的方法描述两个数量间的关系，寻找两个数量间的对应规律这三个关键部分入手，引导学生从整体感知上理解和把握概念的本原。
一、紧扣“倍”的核心方法，拓展学生的知识结构
众所周知，数学学科是研究数量关系与空间形式的学科。数量关系的研究是从两个量的比较展开的，在小学阶段，主要有差比和倍比，换言之就是有两种运算模式，即加（减）法结构和乘（除）法结构。对于三年级的小学生来说，在学习倍之前具有的知识结构主要是以加（减）法结构为主。也就是说，在比较两个量的方法上，主要是运用“差比”方法。而《倍的认识》这一课能够进一步帮助学生构建乘（除）法的结构，学习另外一种关于两个量的比较方法，即“倍比”方法。从表达形式上来说，“差比”和“倍比”看起来虽然只是一字之差，但实际上却有本质上的差别。因为在学习了倍的认识之后，学生不但多了一个解决问题的方法或途径，而且在解决问题时，学生也多了另外一个方法的判断和选择的机会，并且在学习过程中，学生的认知结构也会由此发生质的变化，学生将会经历从单一的加（减）法结构转化为多种结构的认知过程。因此，教师要在倍的概念的核心方法上进行引导，带领学生突破已有的认知结构，从而把握倍的概念的核心方法。
为此，笔者在教学初始阶段设计了如下教学环节：先出示2个红气球和6个蓝气球的图片，提出问题：想一想，蓝气球和红气球相比，在数量上有什么關系？你是怎么比的？
教学时，笔者将学生分为A、B两个小组，看看这两个小组比较方法有什么不一样，并根据不同的比较方法进行计算。
A组学生观察比较后得出：蓝气球比红气球多4个，红气球比蓝气球少4个，列出算式6-2=4。
B组学生得出：蓝气球的数量是红气球的3倍，列出算式6÷2=3。
笔者追问：这两种比较法的最大差别是什么？请概括其中的特点。学生认为，第一种比较法是用减法，第二种比较法是用除法。由此引出两种对比方法：前一种是用差来比，后一种是用倍来比。
事实上，前一种比较法，是用一一对应的关系来比较数量的多少；而后一种比较方法是一份对多份的对应关系，也就是说是从一个标准量引出的几份与一份相比，这个标准量一份可以是一个，也可以是多个。但对于三年级的学生而言，并不清楚这两种不同的比较方法是如何描述两个数量的关系，于是笔者让他们通过对比去发现、感受和体会这两种方法的异同，从而帮助学生初步建立比较两个数量关系的知识结构，为下一步深入探究“倍”的概念本质打下基础（如图1）。
二、强化倍的数量关系，凸显概念的本质属性
在小学数学概念中，“倍”是用来描述两个数量比较后产生的一种关系。这种数量关系来自于乘法的意义，是“几个几”抽象以后形成的概念。但这个抽象的概念淡化了对于两个量的“比”的关系，淡化了以一个数为标准，另一个数里有几个这样的标准的转化过程。学生虽然在乘法中已经有了一份一份叠加的数学经验，但是却缺少除法中“份”与“份数”的关系，也就是缺少了一份一份数量均分的过程。因此，在实际学习中，学生容易产生选择性困难，对两种比较方法混淆不清，再加上难以理顺的数量关系，导致学习上产生了困扰。有基于此，笔者设计了这样的教学环节：你是怎么看出蓝气球的个数是红气球的3倍的？学生认为，把2个红气球看成一份，蓝气球有这样的3份，所以蓝气球的个数是红气球的3倍。笔者继续追问：你能让蓝气球不是红气球的3倍吗？是什么办法？学生讨论后得出两种办法：一是改变蓝气球的个数，二是改变红气球的个数。紧接着，笔者用图形和线段图表示倍数关系，让学生观察后指出这三种表达方式有什么不同？学生经过直观的观察体验之后，笔者再次引导学生进行归纳整理：想一想，我们是怎么比较两个量之间的关系的？
通过以上环节的设计，学生对已有经验进行提取和整理，发现可以将一个量看成一份，另一个量有几个这样的一份就是几倍，逐步构建了倍的数学模型。在此基础上，再对这两个数量间的3倍关系进行“破坏”，让学生通过一份数或者是几份数的改变，重新构建新的倍数关系。最后又通过实物图、图形图和线段图等多种表征来对两个量之间的抽象的关系进行直观地呈现，促进学生深刻感知和理解倍的本质属性。
三、渗透倍的对应原则，深化数量的变化规律
在中小学阶段，函数思想的本质是建立和研究变量之间的对应关系，就是把握并刻画变化中的不变，其中变化的是过程，不变的是规律，也就是数学的数量关系。这是中小学阶段数学学习的一条主线，而在小学阶段，让小学生能够感知变量和不变量之间的关系，由此形成函数的雏形，能够帮助学生丰富函数的感受，有利于下一步学习函数的知识。有基于此，笔者在教学中设计了如下的练习题：
1.红气球2个不变，蓝气球的数量是2个2个地增加。问蓝气球的个数和红气球个数的倍数关系是如何变化的？如果蓝气球2个2个地减少呢？（如图2）
2.蓝气球的个数是12个，数量不变，红气球是（ ）个时，蓝气球的个数是红气球的（ ）倍。（如图3）
3.蓝气球的个数是红气球的3倍不变。蓝气球和红气球会有怎么样的变化呢？（如图4）
对比图2、图3和图4，你发现了什么？小组展开观察讨论，并进行汇报。
在以上教学设计中，笔者为学生提供了“1倍数不变”“几倍数不变”和“倍数不变”三种情境，让学生直观感知数量之间的函数变化，通过动态的数据变化，直观呈现数据一一对应的关系，感受一个数据随着另一个数据的变化而变化的过程，有助于学生形成函数思想。在教学中渗透倍的对应原则，引导学生发现规律，并将规律表述出来，就是在课堂中渗透函数思想，帮助学生深化理解数量关系之间的变化规律。
总之，在小学数学概念教学中，理解概念的本质，是把握概念的关键所在，也是教学的核心所在。教师要重视概念的本原，以概念本原为教学策略，紧紧抓住概念的关键部分展开有序引导，带领学生对整体概念有所建构和认知。“倍的认识”是小学数学教学中一个重要的概念，学生对这个概念理解与否，将会影响其后续的学习。笔者牢牢把握核心方法、数量关系、对应原则这三个概念本原，展开课堂设计和教学，收到了良好的效果。笔者相信，将概念本原策略引入数学概念教学，将会大大提升学生的思维能力，拓展学生的知识结构，完整架构概念体系，进而让学生对概念本质有更加深刻的理解。
【参考文献】
[1]郭立军，刘凤伟.从概念同化到概念形成的教学实践研究——以“倍的认识”为例进行的教学实践探索[ J ].课程·教材·教法，2016（8）
[2]袁予湘.追求操作活动有效的新尝试——以《倍的认识》教学为例[ J ].学周刊，2017（28）
[3]李颖.“倍的认识”教学与思考[ J ].教育科研论坛（教师版），2005（Z1）
（责编 林 剑）
【关键词】《倍的认识》 概念学习 教学实践
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）07A-0093-02
在小学数学教学中，让学生理解并掌握数学概念的核心，是要求学生能够把握数学概念的本质，而不仅仅只是背诵课本上的定义。如何才能实现这一点呢？笔者认为，教师应重视学生对概念本原的认知和把握，引入概念本原策略，将其应用在课堂教学中。所谓概念本原策略，指的是抓住概念中最根本、最重要的部分进行引导，带领学生突破概念的本质属性，深入理解概念的内涵。
苏教版数学三年级上册《倍的认识》是一节概念学习课，笔者为学生提供了通往本原的路径：从数量比较的方法描述两个数量间的关系，寻找两个数量间的对应规律这三个关键部分入手，引导学生从整体感知上理解和把握概念的本原。
一、紧扣“倍”的核心方法，拓展学生的知识结构
众所周知，数学学科是研究数量关系与空间形式的学科。数量关系的研究是从两个量的比较展开的，在小学阶段，主要有差比和倍比，换言之就是有两种运算模式，即加（减）法结构和乘（除）法结构。对于三年级的小学生来说，在学习倍之前具有的知识结构主要是以加（减）法结构为主。也就是说，在比较两个量的方法上，主要是运用“差比”方法。而《倍的认识》这一课能够进一步帮助学生构建乘（除）法的结构，学习另外一种关于两个量的比较方法，即“倍比”方法。从表达形式上来说，“差比”和“倍比”看起来虽然只是一字之差，但实际上却有本质上的差别。因为在学习了倍的认识之后，学生不但多了一个解决问题的方法或途径，而且在解决问题时，学生也多了另外一个方法的判断和选择的机会，并且在学习过程中，学生的认知结构也会由此发生质的变化，学生将会经历从单一的加（减）法结构转化为多种结构的认知过程。因此，教师要在倍的概念的核心方法上进行引导，带领学生突破已有的认知结构，从而把握倍的概念的核心方法。
为此，笔者在教学初始阶段设计了如下教学环节：先出示2个红气球和6个蓝气球的图片，提出问题：想一想，蓝气球和红气球相比，在数量上有什么關系？你是怎么比的？
教学时，笔者将学生分为A、B两个小组，看看这两个小组比较方法有什么不一样，并根据不同的比较方法进行计算。
A组学生观察比较后得出：蓝气球比红气球多4个，红气球比蓝气球少4个，列出算式6-2=4。
B组学生得出：蓝气球的数量是红气球的3倍，列出算式6÷2=3。
笔者追问：这两种比较法的最大差别是什么？请概括其中的特点。学生认为，第一种比较法是用减法，第二种比较法是用除法。由此引出两种对比方法：前一种是用差来比，后一种是用倍来比。
事实上，前一种比较法，是用一一对应的关系来比较数量的多少；而后一种比较方法是一份对多份的对应关系，也就是说是从一个标准量引出的几份与一份相比，这个标准量一份可以是一个，也可以是多个。但对于三年级的学生而言，并不清楚这两种不同的比较方法是如何描述两个数量的关系，于是笔者让他们通过对比去发现、感受和体会这两种方法的异同，从而帮助学生初步建立比较两个数量关系的知识结构，为下一步深入探究“倍”的概念本质打下基础（如图1）。
二、强化倍的数量关系，凸显概念的本质属性
在小学数学概念中，“倍”是用来描述两个数量比较后产生的一种关系。这种数量关系来自于乘法的意义，是“几个几”抽象以后形成的概念。但这个抽象的概念淡化了对于两个量的“比”的关系，淡化了以一个数为标准，另一个数里有几个这样的标准的转化过程。学生虽然在乘法中已经有了一份一份叠加的数学经验，但是却缺少除法中“份”与“份数”的关系，也就是缺少了一份一份数量均分的过程。因此，在实际学习中，学生容易产生选择性困难，对两种比较方法混淆不清，再加上难以理顺的数量关系，导致学习上产生了困扰。有基于此，笔者设计了这样的教学环节：你是怎么看出蓝气球的个数是红气球的3倍的？学生认为，把2个红气球看成一份，蓝气球有这样的3份，所以蓝气球的个数是红气球的3倍。笔者继续追问：你能让蓝气球不是红气球的3倍吗？是什么办法？学生讨论后得出两种办法：一是改变蓝气球的个数，二是改变红气球的个数。紧接着，笔者用图形和线段图表示倍数关系，让学生观察后指出这三种表达方式有什么不同？学生经过直观的观察体验之后，笔者再次引导学生进行归纳整理：想一想，我们是怎么比较两个量之间的关系的？
通过以上环节的设计，学生对已有经验进行提取和整理，发现可以将一个量看成一份，另一个量有几个这样的一份就是几倍，逐步构建了倍的数学模型。在此基础上，再对这两个数量间的3倍关系进行“破坏”，让学生通过一份数或者是几份数的改变，重新构建新的倍数关系。最后又通过实物图、图形图和线段图等多种表征来对两个量之间的抽象的关系进行直观地呈现，促进学生深刻感知和理解倍的本质属性。
三、渗透倍的对应原则，深化数量的变化规律
在中小学阶段，函数思想的本质是建立和研究变量之间的对应关系，就是把握并刻画变化中的不变，其中变化的是过程，不变的是规律，也就是数学的数量关系。这是中小学阶段数学学习的一条主线，而在小学阶段，让小学生能够感知变量和不变量之间的关系，由此形成函数的雏形，能够帮助学生丰富函数的感受，有利于下一步学习函数的知识。有基于此，笔者在教学中设计了如下的练习题：
1.红气球2个不变，蓝气球的数量是2个2个地增加。问蓝气球的个数和红气球个数的倍数关系是如何变化的？如果蓝气球2个2个地减少呢？（如图2）
2.蓝气球的个数是12个，数量不变，红气球是（ ）个时，蓝气球的个数是红气球的（ ）倍。（如图3）
3.蓝气球的个数是红气球的3倍不变。蓝气球和红气球会有怎么样的变化呢？（如图4）
对比图2、图3和图4，你发现了什么？小组展开观察讨论，并进行汇报。
在以上教学设计中，笔者为学生提供了“1倍数不变”“几倍数不变”和“倍数不变”三种情境，让学生直观感知数量之间的函数变化，通过动态的数据变化，直观呈现数据一一对应的关系，感受一个数据随着另一个数据的变化而变化的过程，有助于学生形成函数思想。在教学中渗透倍的对应原则，引导学生发现规律，并将规律表述出来，就是在课堂中渗透函数思想，帮助学生深化理解数量关系之间的变化规律。
总之，在小学数学概念教学中，理解概念的本质，是把握概念的关键所在，也是教学的核心所在。教师要重视概念的本原，以概念本原为教学策略，紧紧抓住概念的关键部分展开有序引导，带领学生对整体概念有所建构和认知。“倍的认识”是小学数学教学中一个重要的概念，学生对这个概念理解与否，将会影响其后续的学习。笔者牢牢把握核心方法、数量关系、对应原则这三个概念本原，展开课堂设计和教学，收到了良好的效果。笔者相信，将概念本原策略引入数学概念教学，将会大大提升学生的思维能力，拓展学生的知识结构，完整架构概念体系，进而让学生对概念本质有更加深刻的理解。
【参考文献】
[1]郭立军，刘凤伟.从概念同化到概念形成的教学实践研究——以“倍的认识”为例进行的教学实践探索[ J ].课程·教材·教法，2016（8）
[2]袁予湘.追求操作活动有效的新尝试——以《倍的认识》教学为例[ J ].学周刊，2017（28）
[3]李颖.“倍的认识”教学与思考[ J ].教育科研论坛（教师版），2005（Z1）
（责编 林 剑）