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【摘 要】 塔式起重机在建筑领域得到了广泛应用，双吊点普通塔式起重机作为其中最重要一员，其设计和分析也相应地得到越来越多的重视。但就目前的分析方法和方式而言，双吊点起重臂的拉杆未得到充分重视和准确分析，其解析方程和分析模型均未考虑垂度影响。本文基于悬链线理论和基本假定，建立了等效弹性模量法和直杆单元法来解决拉杆变形的非线性问题，并利用ANSYS有限元分析软件针对一算例分别进行线性和非线性分析，通过比较分析结果，说明拉杆的垂度问题对起重臂的计算和分析有一定的影响，其影响效果因结构和工况的变化而不同，因而，在实际计算分析中，是否需要考虑非线性因素应区别对待。
【关键词】 拉杆 非线性 等效弹性模量 直杆单元 ANSYS
1 引言
随着国内建筑市场的快速发展，塔式起重机的数量急剧增加，应用范围也越来越广，特别是双吊点普通塔式起重机凭借其价格低、安装操作简便快捷、适用范围广等特点，占据着大部分市场份额。但是，双吊点起重臂为超静定结构，计算较为复杂，在一定程度上制约了其创新设计和改型发展。
双吊点起重臂结构是由起重臂架及前后拉杆（又称长拉杆和短拉杆）组成的，存在一个多余约束，为一次超静定结构。超静定结构求解需综合考虑三个方面的条件，即平衡条件、几何条件和物理条件。目前，双吊点起重臂分析一般通过手工计算和软件计算两种途径，无论哪种分析手段都未曾考虑拉杆的垂度影响，因而其建立的几何条件方程或模型都与实际情况有一定差异，其准确性和合理性值得质疑，特别是软件计算中，用link8或link10这两种杆单元来模拟拉杆的静力特性时，还可能出现拉杆受压状态，这更是与实际工况和状态严重不符。
双吊点起重臂结构的拉杆长度较大，自重垂度不容忽略，是大变形柔性结构，其静力分析属于几何非线性问题。本文基于悬链线理论和基本假定，提供了两种解析算法，一是引入等效弹性模量，将非线性问题转换为线性问题处理，另一种是建立拉杆的非线性模型，该模型能较真实和准确地反映拉杆变形受外力影响的非线性变化。最后通过一个算例，使用成熟的有限元分析软件进行线性和非线性分析，并比较二者结果差异。
2 非线性解析算法
目前，悬索结构的建模和分析方法已经成熟，本文拟参照悬索结构分析的方法和思想，对拉杆变形的非线性问题进行研究和分析。悬索和拉杆结构有相似之处，但并非完全相同，拉杆结构有着自身的特点，因此拉杆非线性问题不能简单等效成悬索结构非线性问题，而需要探索和建立独特的方法和模型。为实现方法的研究和模型的创建，首先提出了一些基本假定。
2.1基本假定
（1）假设拉杆连接铰点相当光滑，无摩擦力，不能承受弯矩；
（2）假设各段拉杆均无弯曲挠度；
（3）假设拉杆自重载荷沿拉杆长度方向均匀分布；
（4）忽略拉杆整体转动角度；
（5）忽略拉杆横截面在变形前后的变化。
2.2等效弹性模量法
拉杆在轴向力作用下，若不计垂度影响时，材料的弹性模量是线性的，可以表示为：
[Ee=σεe] （1）
式中，[σ]为拉杆内应力，[εe]为拉杆线性弹性应变。
如图1所示拉杆模型，拉杆无外力作用的初始长度为L[′]，与水平线倾斜呈α角，A端铰支，B端滚支，工作状态下，拉杆因自身重力和轴向力作用会产生非线性垂度，从而使拉杆的长度减少为L。
图1 拉杆等效弹性模量法模型
假设拉杆滚支端B受到沿拉杆方向由B背离A的方向力F作用时，拉杆B端将沿着拉杆方向向外移动，如果F力足够大，则拉杆将被拉成一直线，B端返回原来B[′]点，其伸长量为：
[δ=L-L] （2）
拉杆在自重作用下的垂度曲线近似按抛物线计算，再略去高阶微量，伸长量可表示为：
[δ=A2q2L3cos2α24F2] （3）
式中，[A]为拉杆截面积，[q]为拉杆重度。
拉杆垂度变化引起的应变变化为：
[d（εf）=d（δ）L=-A2q2L2cos2α12F3dF]（4）
式中，[A]为拉杆线性弹性应变，负号表示垂度增加导致拉杆在延长方向上的应变减小。
因此，由式（4）可推得拉杆非线性变形模量为：
[Ef=σεf=-12F3A2q2L2cos2α=12σ3q2L2cos2α] （5）
拉杆在外力和自身重力作用下的总应变包括线性弹性应变和非线性弹性应变，即：
[ε=εe+εf] （6）
为了将拉杆变形的非线性问题转变成线性问题，需要修正拉杆的垂度影响，因此引入等效弹性模量，其计算公式为：
[Eeq=EeEfEf-Ee=Eeq2L2cos2α12σ3Ee-1] （7）
2.3直杆单元法
等效弹性模量法是假定拉杆悬垂曲线近似抛物线的情况下而推得的，但拉杆的实际悬垂曲线在大多数情况下应如图2所示，它是由多个直线段连接而成，非光滑曲线，每条直线均为一个直杆单元，拉杆的非线性模型可以通过直杆单元分析来建立。根据图示的拉杆模型，拉杆无外力作用的初始长度L[′]工作状态下，拉杆受自身重力和两端外力作用，悬垂后长度为L，直杆单元数量为n。
图2 拉杆直杆单元模型
图3所示拉杆其中一个直杆单元模型，其初始长度为li[′]（i=1，2…n），两端外力分别为Fi和Fi+1，重力为Gi，合外力作用后，直杆单元长度变为li，外力Fi和Fi+1与水平方向夹角分别为θi和θi+1，直杆单元与水平方向夹角为αi。
图3 单直杆单元模型
由直杆单元的平衡条件建立弯矩和力的平衡方程，可得： [ΣM=0?Ficosθilisinαi+Gi12licosαi=Fisinθilicosαi] （8）
[ΣF=0?Gi+Fi+1sinθi+1=FisinθiFi+1cosθi+1=Ficosθi] （9）
每个直杆单元所受外力而产生的挠度忽略，侧重分析其轴向应变，考虑到这一变化后，直杆单元长度应为：
[li=li′+Ficos（θi-αi）EA] （10）
将式（10）带入到平衡方程（8）和（9）中，该模型中外力[Fi]作为已知量，除此之外还存在四个未知量，因此需要施加边界条件，根据基本假定（4），拉杆的端点B应始终沿着拉杆长度方向产生位移，则可推出模型优化后的结果必需满足如下条件：
[i=1nlisinαii=1nlicosαi=tanα] （11）
因此，经过迭代和优化计算后，就可以确定拉杆的位置和形状，其与外力的非线性模型可以表示为：
[LX=i=1n（li′+Ficos（θi-αi）EAli′）cosαiLY=i=1n（li′+Ficos（θi-αi）EAli′）sinαi] （12）
3 有限元软件计算
通过上节的分析可以明显看出，等效弹性模量法简便易行，但其精确度较差，而直杆单元法建立的模型计算精确，但计算量偏大，并且需要设计相应的软件，其基本思想为有限元思想，所以可以考虑借助通用的有限元软件来进行非线性分析，只需在建模和分析时遵循基本假定和直杆单元法的思想便可实现。目前，ANSYS软件是一款应用较为广泛的通用有限元分析软件，可以求解材料非线性、几何非线性和单元非线性三种非线性问题，本文拟用此软件进行分析。
由于基于ANSYS软件的起重臂线性分析已经非常成熟，本文不予赘述，仅就几个与非线性相关的关键问题做一下补充。ANSYS软件中，LINK10单元因其独一无二的双线性刚度矩阵特性，而成为一个轴向仅受拉或仅受压杆单元。使用只受拉选项时，如果单元受压，刚度就消失，可以模拟缆索的松弛或链条的松弛。这一特性对于模拟拉杆的静力问题非常有用，因此本文用LINK10单元代替以往常用的LINK8单元。迭代采用NEWTON-RAPHSON法，求解控制器中需指定分析类型为“Large Displacement Static”，并打开应力刚度。设置相应的时间载荷步，使载荷能够逐渐地施加，利于模型计算能够收敛，以取得精确解。
4 算例
以某种型号为QTZ40的双吊点普通塔式起重机为例，分别进行起重臂结构的线性和非线性有限元分析，工况一为起重臂臂尖吊载，工况二为长拉杆和短拉杆之间跨中吊载，起重量均按额载要求加载。起重臂架上应力测试点为1、2、4、5、7、8六点，前拉杆（即长拉杆）上应力测试点为3点，后拉杆（即短拉杆）上应力测试点为6点，两种工况下起重臂有限元线性分析和非线性分析结果如表1和表2所示。
表1 工况一起重臂有限元分析应力值
由表1中的计算结果可以看出来，线性分析和非线性分析结果虽然不完全相同，但变化不大，绝对差值最大为1.13MPa，因而，针对本文算例而言，工况一的起重臂拉杆非线性分析是不需要的。
表2 工况二起重臂有限元分析应力值
由表2中的计算结果可以看出来，该工况下的线性分析和非线性分析结果较工况一已经有较大变化，关键分析点的应力值的绝对差值最大为3.3MPa，最大拉应力的应力值绝对差值为8.14MPa，相对差值为9%，并且长短拉杆的应力值均有较大的差别，由此造成起重臂的受力情况和应力分布也有较大变化。因此，工况二的起重臂拉杆非线性分析是很有必要的。
综上所述，不同工况下非线性分析的效果是不一样的，应根据具体的结构和工况区别对待。起重臂结构分析计算时，可以先施加基本的额定载荷，以此校核是否需要进行非线性分析，然后根据载荷组合要求详细计算。非线性影响较大的结构应进行非线性分析，以保证分析结果的准确性和可靠性，影响较小的可以采用线性分析，以节省计算时间，提高计算分析效率。
5 结论
本文针对双吊点塔式起重机起重臂的拉杆结构提出了垂度影响问题，为解决该问题首先引入了等效弹性模量，将非线性问题转化为线性问题加以解决，接下来推出了直杆单元法，建立了拉杆的非线性模型，提供了迭代方程和优化方程。为方便计算和分析，本文使用了ANSYS有限元软件针对算例进行了具体分析，最后得出结论，拉杆的垂度问题对起重臂的计算和分析有一定的影响，其影响效果因结构和工况的变化而不同，因而，在实际计算分析中，是否需要考虑非线性因素应区别对待。
参考文献：
[1]J.H.Ernst.Der E-ModulVon Seilen unter Berucksichtigungdes urchhangers[J].Der Bauingenieur，1965，40（2）：52-55
[2]杨孟刚，陈政清.节点曲线索单元精细分析的非线性有限元法[J].工程力学，2003，20（1）：42～47
【关键词】 拉杆 非线性 等效弹性模量 直杆单元 ANSYS
1 引言
随着国内建筑市场的快速发展，塔式起重机的数量急剧增加，应用范围也越来越广，特别是双吊点普通塔式起重机凭借其价格低、安装操作简便快捷、适用范围广等特点，占据着大部分市场份额。但是，双吊点起重臂为超静定结构，计算较为复杂，在一定程度上制约了其创新设计和改型发展。
双吊点起重臂结构是由起重臂架及前后拉杆（又称长拉杆和短拉杆）组成的，存在一个多余约束，为一次超静定结构。超静定结构求解需综合考虑三个方面的条件，即平衡条件、几何条件和物理条件。目前，双吊点起重臂分析一般通过手工计算和软件计算两种途径，无论哪种分析手段都未曾考虑拉杆的垂度影响，因而其建立的几何条件方程或模型都与实际情况有一定差异，其准确性和合理性值得质疑，特别是软件计算中，用link8或link10这两种杆单元来模拟拉杆的静力特性时，还可能出现拉杆受压状态，这更是与实际工况和状态严重不符。
双吊点起重臂结构的拉杆长度较大，自重垂度不容忽略，是大变形柔性结构，其静力分析属于几何非线性问题。本文基于悬链线理论和基本假定，提供了两种解析算法，一是引入等效弹性模量，将非线性问题转换为线性问题处理，另一种是建立拉杆的非线性模型，该模型能较真实和准确地反映拉杆变形受外力影响的非线性变化。最后通过一个算例，使用成熟的有限元分析软件进行线性和非线性分析，并比较二者结果差异。
2 非线性解析算法
目前，悬索结构的建模和分析方法已经成熟，本文拟参照悬索结构分析的方法和思想，对拉杆变形的非线性问题进行研究和分析。悬索和拉杆结构有相似之处，但并非完全相同，拉杆结构有着自身的特点，因此拉杆非线性问题不能简单等效成悬索结构非线性问题，而需要探索和建立独特的方法和模型。为实现方法的研究和模型的创建，首先提出了一些基本假定。
2.1基本假定
（1）假设拉杆连接铰点相当光滑，无摩擦力，不能承受弯矩；
（2）假设各段拉杆均无弯曲挠度；
（3）假设拉杆自重载荷沿拉杆长度方向均匀分布；
（4）忽略拉杆整体转动角度；
（5）忽略拉杆横截面在变形前后的变化。
2.2等效弹性模量法
拉杆在轴向力作用下，若不计垂度影响时，材料的弹性模量是线性的，可以表示为：
[Ee=σεe] （1）
式中，[σ]为拉杆内应力，[εe]为拉杆线性弹性应变。
如图1所示拉杆模型，拉杆无外力作用的初始长度为L[′]，与水平线倾斜呈α角，A端铰支，B端滚支，工作状态下，拉杆因自身重力和轴向力作用会产生非线性垂度，从而使拉杆的长度减少为L。
图1 拉杆等效弹性模量法模型
假设拉杆滚支端B受到沿拉杆方向由B背离A的方向力F作用时，拉杆B端将沿着拉杆方向向外移动，如果F力足够大，则拉杆将被拉成一直线，B端返回原来B[′]点，其伸长量为：
[δ=L-L] （2）
拉杆在自重作用下的垂度曲线近似按抛物线计算，再略去高阶微量，伸长量可表示为：
[δ=A2q2L3cos2α24F2] （3）
式中，[A]为拉杆截面积，[q]为拉杆重度。
拉杆垂度变化引起的应变变化为：
[d（εf）=d（δ）L=-A2q2L2cos2α12F3dF]（4）
式中，[A]为拉杆线性弹性应变，负号表示垂度增加导致拉杆在延长方向上的应变减小。
因此，由式（4）可推得拉杆非线性变形模量为：
[Ef=σεf=-12F3A2q2L2cos2α=12σ3q2L2cos2α] （5）
拉杆在外力和自身重力作用下的总应变包括线性弹性应变和非线性弹性应变，即：
[ε=εe+εf] （6）
为了将拉杆变形的非线性问题转变成线性问题，需要修正拉杆的垂度影响，因此引入等效弹性模量，其计算公式为：
[Eeq=EeEfEf-Ee=Eeq2L2cos2α12σ3Ee-1] （7）
2.3直杆单元法
等效弹性模量法是假定拉杆悬垂曲线近似抛物线的情况下而推得的，但拉杆的实际悬垂曲线在大多数情况下应如图2所示，它是由多个直线段连接而成，非光滑曲线，每条直线均为一个直杆单元，拉杆的非线性模型可以通过直杆单元分析来建立。根据图示的拉杆模型，拉杆无外力作用的初始长度L[′]工作状态下，拉杆受自身重力和两端外力作用，悬垂后长度为L，直杆单元数量为n。
图2 拉杆直杆单元模型
图3所示拉杆其中一个直杆单元模型，其初始长度为li[′]（i=1，2…n），两端外力分别为Fi和Fi+1，重力为Gi，合外力作用后，直杆单元长度变为li，外力Fi和Fi+1与水平方向夹角分别为θi和θi+1，直杆单元与水平方向夹角为αi。
图3 单直杆单元模型
由直杆单元的平衡条件建立弯矩和力的平衡方程，可得： [ΣM=0?Ficosθilisinαi+Gi12licosαi=Fisinθilicosαi] （8）
[ΣF=0?Gi+Fi+1sinθi+1=FisinθiFi+1cosθi+1=Ficosθi] （9）
每个直杆单元所受外力而产生的挠度忽略，侧重分析其轴向应变，考虑到这一变化后，直杆单元长度应为：
[li=li′+Ficos（θi-αi）EA] （10）
将式（10）带入到平衡方程（8）和（9）中，该模型中外力[Fi]作为已知量，除此之外还存在四个未知量，因此需要施加边界条件，根据基本假定（4），拉杆的端点B应始终沿着拉杆长度方向产生位移，则可推出模型优化后的结果必需满足如下条件：
[i=1nlisinαii=1nlicosαi=tanα] （11）
因此，经过迭代和优化计算后，就可以确定拉杆的位置和形状，其与外力的非线性模型可以表示为：
[LX=i=1n（li′+Ficos（θi-αi）EAli′）cosαiLY=i=1n（li′+Ficos（θi-αi）EAli′）sinαi] （12）
3 有限元软件计算
通过上节的分析可以明显看出，等效弹性模量法简便易行，但其精确度较差，而直杆单元法建立的模型计算精确，但计算量偏大，并且需要设计相应的软件，其基本思想为有限元思想，所以可以考虑借助通用的有限元软件来进行非线性分析，只需在建模和分析时遵循基本假定和直杆单元法的思想便可实现。目前，ANSYS软件是一款应用较为广泛的通用有限元分析软件，可以求解材料非线性、几何非线性和单元非线性三种非线性问题，本文拟用此软件进行分析。
由于基于ANSYS软件的起重臂线性分析已经非常成熟，本文不予赘述，仅就几个与非线性相关的关键问题做一下补充。ANSYS软件中，LINK10单元因其独一无二的双线性刚度矩阵特性，而成为一个轴向仅受拉或仅受压杆单元。使用只受拉选项时，如果单元受压，刚度就消失，可以模拟缆索的松弛或链条的松弛。这一特性对于模拟拉杆的静力问题非常有用，因此本文用LINK10单元代替以往常用的LINK8单元。迭代采用NEWTON-RAPHSON法，求解控制器中需指定分析类型为“Large Displacement Static”，并打开应力刚度。设置相应的时间载荷步，使载荷能够逐渐地施加，利于模型计算能够收敛，以取得精确解。
4 算例
以某种型号为QTZ40的双吊点普通塔式起重机为例，分别进行起重臂结构的线性和非线性有限元分析，工况一为起重臂臂尖吊载，工况二为长拉杆和短拉杆之间跨中吊载，起重量均按额载要求加载。起重臂架上应力测试点为1、2、4、5、7、8六点，前拉杆（即长拉杆）上应力测试点为3点，后拉杆（即短拉杆）上应力测试点为6点，两种工况下起重臂有限元线性分析和非线性分析结果如表1和表2所示。
表1 工况一起重臂有限元分析应力值
由表1中的计算结果可以看出来，线性分析和非线性分析结果虽然不完全相同，但变化不大，绝对差值最大为1.13MPa，因而，针对本文算例而言，工况一的起重臂拉杆非线性分析是不需要的。
表2 工况二起重臂有限元分析应力值
由表2中的计算结果可以看出来，该工况下的线性分析和非线性分析结果较工况一已经有较大变化，关键分析点的应力值的绝对差值最大为3.3MPa，最大拉应力的应力值绝对差值为8.14MPa，相对差值为9%，并且长短拉杆的应力值均有较大的差别，由此造成起重臂的受力情况和应力分布也有较大变化。因此，工况二的起重臂拉杆非线性分析是很有必要的。
综上所述，不同工况下非线性分析的效果是不一样的，应根据具体的结构和工况区别对待。起重臂结构分析计算时，可以先施加基本的额定载荷，以此校核是否需要进行非线性分析，然后根据载荷组合要求详细计算。非线性影响较大的结构应进行非线性分析，以保证分析结果的准确性和可靠性，影响较小的可以采用线性分析，以节省计算时间，提高计算分析效率。
5 结论
本文针对双吊点塔式起重机起重臂的拉杆结构提出了垂度影响问题，为解决该问题首先引入了等效弹性模量，将非线性问题转化为线性问题加以解决，接下来推出了直杆单元法，建立了拉杆的非线性模型，提供了迭代方程和优化方程。为方便计算和分析，本文使用了ANSYS有限元软件针对算例进行了具体分析，最后得出结论，拉杆的垂度问题对起重臂的计算和分析有一定的影响，其影响效果因结构和工况的变化而不同，因而，在实际计算分析中，是否需要考虑非线性因素应区别对待。
参考文献：
[1]J.H.Ernst.Der E-ModulVon Seilen unter Berucksichtigungdes urchhangers[J].Der Bauingenieur，1965，40（2）：52-55
[2]杨孟刚，陈政清.节点曲线索单元精细分析的非线性有限元法[J].工程力学，2003，20（1）：42～47