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[摘要]相对于中国内地的期权期货市场，香港交易市场已趋于成熟。随着科技的发展，交易数据量的增加，传统的数理统计分析已经不能满足金融衍生品研究的需求。函数型数据分析（FDA）是将观测数据看成一个整体，从函数的角度对其进行分析，可以提高准确度并减少计算复杂度。本文以香港恒生指数期权为例进行分析。
首先，本文利用Black-Scholes-Merton期权定价模型，对恒生指数期权进行定价研究，发现模型计算的理论价格低于实际价格，并对这一现象给出分析。由于期权交易的频繁性，本文将期权的日收益率看成函数型数据，用B-样条基函数进行拟合，并结合惩罚函数法对拟合函数的光滑度进行控制。之后对拟合好的函数进行函数型主成分分析（FPCA），并通过Matlab及相关软件包进行实现。最后提出函数型主成分预测模型及模型的改进之处。
[关键词]Black-Scholes-Merton模型；函数型数据；惩罚函数法；主成分分析
一、Black-Scholes-Merton期权定价模型
在之前的期权定价模型中，投资者风险态度及期权预期收益率的确定是难点，而1976年Black-Scholes-Merton的期权定价模型很好的解决了这一问题。
该模型假设【1】：股票价格S（t）服从几何布朗运动；证券交易连续进行，无摩擦；短期无风险利率r为常数；不存在无风险套利机会；在期权期限内，股票不支付股息。在上述假设下，设股票s的期权价格为f，到期期限为T-t，构造一份期权空头和△数量股票的交易组合。在△t时间内，资产组合价值变化为，由Ito公式有：
为消除随即项，令，根据无套利原理，，即
此即Black-Scholes-Merton微分方程，由此可见该方程中无期望收益率μ，因此该方程与风险选择无关。该方程的解不唯一，与边界条件有关。以看涨期权为例，当执行价格为k时，边界条件为：
对于上述微分方程，利用Feynman-Kac公式可得解
其中为标准正态累计概率分布函数，
二、函数型数据分析
2.1函数型数据分析的基本概念
函数型数据分析（Function Data Analysis，简称FDA）最早由加拿大学者Ramsay提出，当观测的时间点十分密集时，这些数据表现出一些的函数特征。函数型数据分析的基本出发点是把数据看成一个单独的函数项。当数据量非常大时，如果再采取之前传统的数据分析方法，可能会造成信息量的丢失或者模型估计失真等问题。
在进行函数型数据分析时，首先将收集到的离散数据进行预处理，选择合适的基函数对其进行拟合，并采用光滑函数来控制拟合函数的平滑度，可以有效避免传统拟合方法中过拟合现象的发生。之后通过对函数型数据进行主成分分析，探求数据的整体性质。
2.2函数型数据的光滑性处理
本文采用B-样条基函数对数据进行拟合。基函数平滑法【2】是用k个已知的基函数的线性组合来给出函数x（t）的估计，即：
对于B-样条基函数平滑法，首先将观测点所在的区间用断点序列 为定义区间两端点）分成L个子区间，在每个子区间上，定义一个m阶的多项式，相邻多项式在内断点处取值相同，并且在定义域上存在m-2次导数，B-样条基函数定义为：
在有了基函数之后，我们只需确定基函数个数K和其系数ck即可。其中K决定了观测数据yi的平滑度，K越小，拟合的函数越平滑，但拟合度越差。为权衡拟合度和光滑度，我们用惩罚函数法来确定系数与基函数个数。
定义带惩罚项的残差平方和：
上式中第一项衡量了曲线的拟合效果，第二项衡量了曲线的光滑度。通过求解最小化以获得估计函数，其中惩罚项越大，曲线越粗糙，且正常数表示拟合度和光滑度之间的权衡。
三、函数型主成分分析
当我们想对数据进行降维分析时，如果观测数据相当大，此时样本的协方差矩阵维数将会很大，如果对这样的协方差矩阵直接进行主成分分析，得到的结果将并不会理想。
此时，我们将数据看称作函数的形式，在对数据进行主成分分析。设观测矩阵【3】为 ，每次观测得到的数据构成一个函数型数据xi（t）。
对构造得到的函数型数据其进行主成分分析，设为权重函数，第一主成分的求解即在下述约束条件下的最大化问题：
函数型主成分分析即对在B-样条拟合时得到的矩阵求解特征值和特征函数，求解策略便是将连续的函数型特征分析问题转化为近似矩阵的特征分析问题，这可通过对函数进行离散化或对函数进行基函数展开实现。
四、香港恒生指数期权的实证研究
本文所采用的数据来自香港证券交易所官方网站www.hkex.com衍生品交易数据库，选取交易量较为活跃的前5个看涨期权进行研究（均在存续期）。
4.1Black-Scholes模型理论价格与实际价格比较
由Black-Scholes模型可知，期权的价值与指数St，执行价格K，无风险利率r，到期日时间T-t以及波动率σ有关。本文根据历史数据资料求得的收益率的标准差来估算波动率。同时，无风险利率采用一年期银行利率代替。
根据BS模型给出的计算公式，借用Matlab软件做出实际价格与理论价格的关系图，我们发现理论计算价格要低于实际价格，且对于存续期长的期权来说，BS模型估算较精确。这是因为现实市场中达不到模型假设的完美条件，比如交易不能连续，存在交易费用，投资者的不理性跟风等。同时，参数的估计也会对模型产生一定的扰动。
4.2期权日收益率的主成分分析
计算这5个样本的日收益率，将每一个看涨期权的日收益率数据视为其对应函数产生的一组样本观测值，利用Malab中相关的FDA函数包，采用4阶B-样条基函数对样本观测值进行拟合，得到5个期权的日收益率曲线。
在得到光滑曲线后，我们对5个光滑函数进行主成分分析，画出主成分权重系数，从图中我们可以看出，第一主成分几乎占了全部的方差比例，因此第一主成分系数的效果是显著的。
在函数型主成分分析模型基础上，我们也可以建立函数主成分预测模型，将观测到的真实值，模型估计出的预测值进行比较，从而判定预测模型的效率。
参考文献
[1]John C. Hull； Options， Futures， and Other Derivatives[M].机械工业出版社，2012.
[2]徐佳.函数型数据分析及其在证券投资中的应用[J].2008
[3]曲爱丽.基于函数型数据分析的沪深权证市场研究[J].2009
[4]孙丽荣.基于函数数据的综合平价方法研究.浙江工商大学，2012
首先，本文利用Black-Scholes-Merton期权定价模型，对恒生指数期权进行定价研究，发现模型计算的理论价格低于实际价格，并对这一现象给出分析。由于期权交易的频繁性，本文将期权的日收益率看成函数型数据，用B-样条基函数进行拟合，并结合惩罚函数法对拟合函数的光滑度进行控制。之后对拟合好的函数进行函数型主成分分析（FPCA），并通过Matlab及相关软件包进行实现。最后提出函数型主成分预测模型及模型的改进之处。
[关键词]Black-Scholes-Merton模型；函数型数据；惩罚函数法；主成分分析
一、Black-Scholes-Merton期权定价模型
在之前的期权定价模型中，投资者风险态度及期权预期收益率的确定是难点，而1976年Black-Scholes-Merton的期权定价模型很好的解决了这一问题。
该模型假设【1】：股票价格S（t）服从几何布朗运动；证券交易连续进行，无摩擦；短期无风险利率r为常数；不存在无风险套利机会；在期权期限内，股票不支付股息。在上述假设下，设股票s的期权价格为f，到期期限为T-t，构造一份期权空头和△数量股票的交易组合。在△t时间内，资产组合价值变化为，由Ito公式有：
为消除随即项，令，根据无套利原理，，即
此即Black-Scholes-Merton微分方程，由此可见该方程中无期望收益率μ，因此该方程与风险选择无关。该方程的解不唯一，与边界条件有关。以看涨期权为例，当执行价格为k时，边界条件为：
对于上述微分方程，利用Feynman-Kac公式可得解
其中为标准正态累计概率分布函数，
二、函数型数据分析
2.1函数型数据分析的基本概念
函数型数据分析（Function Data Analysis，简称FDA）最早由加拿大学者Ramsay提出，当观测的时间点十分密集时，这些数据表现出一些的函数特征。函数型数据分析的基本出发点是把数据看成一个单独的函数项。当数据量非常大时，如果再采取之前传统的数据分析方法，可能会造成信息量的丢失或者模型估计失真等问题。
在进行函数型数据分析时，首先将收集到的离散数据进行预处理，选择合适的基函数对其进行拟合，并采用光滑函数来控制拟合函数的平滑度，可以有效避免传统拟合方法中过拟合现象的发生。之后通过对函数型数据进行主成分分析，探求数据的整体性质。
2.2函数型数据的光滑性处理
本文采用B-样条基函数对数据进行拟合。基函数平滑法【2】是用k个已知的基函数的线性组合来给出函数x（t）的估计，即：
对于B-样条基函数平滑法，首先将观测点所在的区间用断点序列 为定义区间两端点）分成L个子区间，在每个子区间上，定义一个m阶的多项式，相邻多项式在内断点处取值相同，并且在定义域上存在m-2次导数，B-样条基函数定义为：
在有了基函数之后，我们只需确定基函数个数K和其系数ck即可。其中K决定了观测数据yi的平滑度，K越小，拟合的函数越平滑，但拟合度越差。为权衡拟合度和光滑度，我们用惩罚函数法来确定系数与基函数个数。
定义带惩罚项的残差平方和：
上式中第一项衡量了曲线的拟合效果，第二项衡量了曲线的光滑度。通过求解最小化以获得估计函数，其中惩罚项越大，曲线越粗糙，且正常数表示拟合度和光滑度之间的权衡。
三、函数型主成分分析
当我们想对数据进行降维分析时，如果观测数据相当大，此时样本的协方差矩阵维数将会很大，如果对这样的协方差矩阵直接进行主成分分析，得到的结果将并不会理想。
此时，我们将数据看称作函数的形式，在对数据进行主成分分析。设观测矩阵【3】为 ，每次观测得到的数据构成一个函数型数据xi（t）。
对构造得到的函数型数据其进行主成分分析，设为权重函数，第一主成分的求解即在下述约束条件下的最大化问题：
函数型主成分分析即对在B-样条拟合时得到的矩阵求解特征值和特征函数，求解策略便是将连续的函数型特征分析问题转化为近似矩阵的特征分析问题，这可通过对函数进行离散化或对函数进行基函数展开实现。
四、香港恒生指数期权的实证研究
本文所采用的数据来自香港证券交易所官方网站www.hkex.com衍生品交易数据库，选取交易量较为活跃的前5个看涨期权进行研究（均在存续期）。
4.1Black-Scholes模型理论价格与实际价格比较
由Black-Scholes模型可知，期权的价值与指数St，执行价格K，无风险利率r，到期日时间T-t以及波动率σ有关。本文根据历史数据资料求得的收益率的标准差来估算波动率。同时，无风险利率采用一年期银行利率代替。
根据BS模型给出的计算公式，借用Matlab软件做出实际价格与理论价格的关系图，我们发现理论计算价格要低于实际价格，且对于存续期长的期权来说，BS模型估算较精确。这是因为现实市场中达不到模型假设的完美条件，比如交易不能连续，存在交易费用，投资者的不理性跟风等。同时，参数的估计也会对模型产生一定的扰动。
4.2期权日收益率的主成分分析
计算这5个样本的日收益率，将每一个看涨期权的日收益率数据视为其对应函数产生的一组样本观测值，利用Malab中相关的FDA函数包，采用4阶B-样条基函数对样本观测值进行拟合，得到5个期权的日收益率曲线。
在得到光滑曲线后，我们对5个光滑函数进行主成分分析，画出主成分权重系数，从图中我们可以看出，第一主成分几乎占了全部的方差比例，因此第一主成分系数的效果是显著的。
在函数型主成分分析模型基础上，我们也可以建立函数主成分预测模型，将观测到的真实值，模型估计出的预测值进行比较，从而判定预测模型的效率。
参考文献
[1]John C. Hull； Options， Futures， and Other Derivatives[M].机械工业出版社，2012.
[2]徐佳.函数型数据分析及其在证券投资中的应用[J].2008
[3]曲爱丽.基于函数型数据分析的沪深权证市场研究[J].2009
[4]孙丽荣.基于函数数据的综合平价方法研究.浙江工商大学，2012