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【摘 要】 数学上的最优化设计模型应用到测量控制网中，用数学语言可以描述如下其中，P、R、E分别为精度、可靠性、经济性指标，A、P分别为图形矩阵和权矩阵，m、n分别为未知数个数和观测值个数，H（x）为限制条件函数，a、b为常数。所以上式即为顾及精度、可靠性、经济性等综合指标的大地控制网优化设计的数学模型。具体到GPS控制网优化设计时，其数学模型和经典网的数学模型一样采用该式。
【关键词】 GPS；控制网；优化
一、矿区GPS网优化的估算指标
优化设计的目的就是要使所设计的问题达到一种最佳的状态。这种最佳状态指的是某种指标的最佳状态，这个指标就是优化设计要追求的目标。控制网的优化设计依具体情况的不同有三种目标即精度、可靠性和经费。
精度分析精度指标主要考虑各待定点的坐标中误差、点位中误差。现推导解释如下：
首先确定各基线向量的权阵。
GPS网测边误差可表示为，其中，a，b分别为GPS接受机测量固定误差和比例误差因子；s为基线长度.
因为cosa，?y =Ssina
则有微分关系式，即
根据协方差传播率，可求出基线向量观测值的协方差阵为
其中a为基线近似坐标方位角。当单位权方差为时，则该基线的权为
1、可靠性分析
设心为基线向量平差定权时的单位权方差，为估值。当系统中含有粗差时，的值可能与相差较大，两者一致性的检验采用自由度为f（f为网中的多余观测个数）的检验。
统计量：
取原假设：备选假设：。选置信水平1-a，如果：即成立，则接受原假设。否则，拒绝原假设，认为平差系统中可能存在粗差[2]。
2、经费分析
布设任何控制网都不可一味追求精度和可靠性而不考虑费用问题，尤其是讲究经济效益的今天更是如此。控制网的优化设计，就是在费用最小或不超过某一限度情况下使其它质量指标能满足要求的布网方案。具体来说就是采用下列某一原则最大原则即在费用一定的条件下，使控制网的精度和可靠性最大或者可靠性能满足一定限度下使精度最高。最小原则即在使精度和可靠性指标达到一定
限度的条件下，使费用支出最少。目前很多文献都采用观测值权代数和的大小来代替经济指标，这是比较合理，因为精度越高，一般所花费的经费就越多，为此确定经费的模型为。一般来说，布网费用可表达
式中表示经费，下标表示经费使用的项目。优化设计中，主要考虑的是观测费用。由于各种不同的观测量采用不同的仪器，其计算均不一样，所以很难有一个完整的表达式表达出来，只能视具体情况，采用不同的计算公式[5]。
二、矿区GPS控制网优化的基本方法
目前，控制网的优化设计所采用的方法主要有解析法和机助模拟法。解析法设计的原理为在各阶段设计中根据固定参数及有关的约束条件，对待定参数求最优解，求待定参数的方法主要是线性规划法，解析法虽然能够较具体的描述一个事物的实质，但由于实际的控制网约束条件复杂，不确定因素很多，构造数学模型困难，有时甚至不可能，因此解析法主要用于小范围的精密工程控制网。模拟法是指对于初步确定的网形与观测精度，利用平差模型和控制网的分析模型，模拟一组起始数据与观测值，输入计算机，然后根据平差原理计算出未知参数及其函数的精度，估算成本，并进一步计算观测值的可靠性等信息，与预定的精度要求、成本约束、可靠性约束等相比较，根据计算机所提供的信息与设计者的经验，对控制网的基准、网形、观测精度等进行修正，然后重复计算，直至获得符合各项设计要求的较理想的设计方案。
1、矿区GPS控制网设计步骤
总结前面叙述，控制网的优化设计，一般分为如下几个步骤进行根据布网的目的，在图上进行选点，然后到野外踏勘，以保证所选点位满足布网的要求和野外观测具备的条件，最后得到要施测的概略点位按照每个点发出三条独立基线且边长分布较为均匀的原则并依据接收机的台数和布网原则，设计网的观测图形、并选定可能要追加施测的基线给定所需的精度、可靠性指标进行计算，直到达到设计标准为止，最后得到增加独立观测基线后的最终施测方案。
（1）建立优化设计的数学模型
（1）以费用为目标函数.当控制网已提出建网的精度要求时，应以建网的费用作为目标函数.若观测一条基线的费用为ci，则以费用作为目标函数应是总费用为最小，即在具体的优化模型中，应将上式进行适当转换，将其用优化变量来表示.
（2）以未知函数作为目标函数.在工程控制网中，通常对网中某些量提出精度要求，它们是未知数的函数.设未知数函数F=X则未知数函数的协因数为设所设计的准则矩阵为，则以权为优化变量的未知数函数协因数的目标函数为，一般在构网中要求未知数函数协因数≤，为给定的未知数函数精度约束.当用未知数协因数作为目标函数时，用下式来计算，.
（3）以特征值作为目标函数.平差参数法方程的系数矩阵的特征值作为数字指标反映了控制网的整体性质.设特征值大小排列为λ1≥λ2≥…≥λt≥0.
算术平均方差为几何平均方差为本征方差为方差宽为方差比为当或时，网中所有未知参数的精度是绝对均匀的，值越大，或值越小，未知参数的精度就越不均匀.
2、GPS控制网改造矿区的最优设计应用
由于GPS网的精度与网的几何图形结构无关，且与观测权相关甚小，而影响精度的主要因素是网中各点发出基线的数目及基线的权阵。因此，提出了GPS网形结构强度优化设计的概念，讨论增加的基线数目、时段数、点数对GPS网的精度、可靠性、经济效益的影响。同时，经典控制网中的三类优化设计，即网的加密和改进问题，对于GPS网来说，也就意味着网中增加一些点和观测基线，故仍可将其归结为对图形结构强度的优化设计[1]。
加测GPS基线向量位置选择的数学模型
GPS基线向量为空间向量，这里仅考虑平面位置的误差。方程式为
（1）
其中
由史赖伯法则—变换后的误差方程式及式（1）可分别组成法方程式系数阵，并且可以求出协因数阵。优化计算过程如下：（1）输入图形要素及指标要求，由三角网的误差方程式组成法方程式系数矩阵，求逆得。
（2）对每个可加测的GPS基线向量，分别计
算一次逆的增量。
（2）
式中：———加测第k个基线向量前的未知数协因数阵；
———加测第k个基线向量后的未知数协因数阵。
（3）在所有迹增量中选第j条观测，使1kn （3）
（4）检查迹增量最大值（4）若满足则终止计算，否则继续计算.
（5）检查是否满足指标要求，若满足则终止计算，否则使
（6）计算结束后，全面估算网的各项指标
3、优化设计和程序框图
在地面图中加测部分GPS基线向量的优化设计程序框图。在程序设计时，将数据模型进一步数值化，减少不必要运算，化简成最简单形式。以外业观测最少为目标，以精度满足给定要求，可靠性平衡为约束进行迭代，最终取得最优解。
GPS控制网的建立，无需控制点之间通视，不需要建造觇标，定位精度高，且定位精度不受构成网本身的几何条件的制约，可以根据不同的边长来布网，并以相同的精度将网点一次扩展到所需要的密度。另外，相对传统的控制网，GPS控制网还有观测时间短，操作简便，全天候作业等特点。所以我们有必要研究如何应用GPS改造矿区控制网的优化理论和设计方法。
参考文献：
[1]范效斌.GPS技术改造矿区控制网最优设计的应用[J]中国矿业报.2002（3）.
[2]赵长胜编著.GPS控制网设计与数据处理.北京：教育科学出版社，2001年.
[3]郭金运，徐泮林，王国孝.矿区GPS测量控制网实践.勘察科学技术，2000年第3期。
[4]甄育民，谢劭峰.玉林市GPS控制网的设计.西部探矿工程.2005年5月。
【关键词】 GPS；控制网；优化
一、矿区GPS网优化的估算指标
优化设计的目的就是要使所设计的问题达到一种最佳的状态。这种最佳状态指的是某种指标的最佳状态，这个指标就是优化设计要追求的目标。控制网的优化设计依具体情况的不同有三种目标即精度、可靠性和经费。
精度分析精度指标主要考虑各待定点的坐标中误差、点位中误差。现推导解释如下：
首先确定各基线向量的权阵。
GPS网测边误差可表示为，其中，a，b分别为GPS接受机测量固定误差和比例误差因子；s为基线长度.
因为cosa，?y =Ssina
则有微分关系式，即
根据协方差传播率，可求出基线向量观测值的协方差阵为
其中a为基线近似坐标方位角。当单位权方差为时，则该基线的权为
1、可靠性分析
设心为基线向量平差定权时的单位权方差，为估值。当系统中含有粗差时，的值可能与相差较大，两者一致性的检验采用自由度为f（f为网中的多余观测个数）的检验。
统计量：
取原假设：备选假设：。选置信水平1-a，如果：即成立，则接受原假设。否则，拒绝原假设，认为平差系统中可能存在粗差[2]。
2、经费分析
布设任何控制网都不可一味追求精度和可靠性而不考虑费用问题，尤其是讲究经济效益的今天更是如此。控制网的优化设计，就是在费用最小或不超过某一限度情况下使其它质量指标能满足要求的布网方案。具体来说就是采用下列某一原则最大原则即在费用一定的条件下，使控制网的精度和可靠性最大或者可靠性能满足一定限度下使精度最高。最小原则即在使精度和可靠性指标达到一定
限度的条件下，使费用支出最少。目前很多文献都采用观测值权代数和的大小来代替经济指标，这是比较合理，因为精度越高，一般所花费的经费就越多，为此确定经费的模型为。一般来说，布网费用可表达
式中表示经费，下标表示经费使用的项目。优化设计中，主要考虑的是观测费用。由于各种不同的观测量采用不同的仪器，其计算均不一样，所以很难有一个完整的表达式表达出来，只能视具体情况，采用不同的计算公式[5]。
二、矿区GPS控制网优化的基本方法
目前，控制网的优化设计所采用的方法主要有解析法和机助模拟法。解析法设计的原理为在各阶段设计中根据固定参数及有关的约束条件，对待定参数求最优解，求待定参数的方法主要是线性规划法，解析法虽然能够较具体的描述一个事物的实质，但由于实际的控制网约束条件复杂，不确定因素很多，构造数学模型困难，有时甚至不可能，因此解析法主要用于小范围的精密工程控制网。模拟法是指对于初步确定的网形与观测精度，利用平差模型和控制网的分析模型，模拟一组起始数据与观测值，输入计算机，然后根据平差原理计算出未知参数及其函数的精度，估算成本，并进一步计算观测值的可靠性等信息，与预定的精度要求、成本约束、可靠性约束等相比较，根据计算机所提供的信息与设计者的经验，对控制网的基准、网形、观测精度等进行修正，然后重复计算，直至获得符合各项设计要求的较理想的设计方案。
1、矿区GPS控制网设计步骤
总结前面叙述，控制网的优化设计，一般分为如下几个步骤进行根据布网的目的，在图上进行选点，然后到野外踏勘，以保证所选点位满足布网的要求和野外观测具备的条件，最后得到要施测的概略点位按照每个点发出三条独立基线且边长分布较为均匀的原则并依据接收机的台数和布网原则，设计网的观测图形、并选定可能要追加施测的基线给定所需的精度、可靠性指标进行计算，直到达到设计标准为止，最后得到增加独立观测基线后的最终施测方案。
（1）建立优化设计的数学模型
（1）以费用为目标函数.当控制网已提出建网的精度要求时，应以建网的费用作为目标函数.若观测一条基线的费用为ci，则以费用作为目标函数应是总费用为最小，即在具体的优化模型中，应将上式进行适当转换，将其用优化变量来表示.
（2）以未知函数作为目标函数.在工程控制网中，通常对网中某些量提出精度要求，它们是未知数的函数.设未知数函数F=X则未知数函数的协因数为设所设计的准则矩阵为，则以权为优化变量的未知数函数协因数的目标函数为，一般在构网中要求未知数函数协因数≤，为给定的未知数函数精度约束.当用未知数协因数作为目标函数时，用下式来计算，.
（3）以特征值作为目标函数.平差参数法方程的系数矩阵的特征值作为数字指标反映了控制网的整体性质.设特征值大小排列为λ1≥λ2≥…≥λt≥0.
算术平均方差为几何平均方差为本征方差为方差宽为方差比为当或时，网中所有未知参数的精度是绝对均匀的，值越大，或值越小，未知参数的精度就越不均匀.
2、GPS控制网改造矿区的最优设计应用
由于GPS网的精度与网的几何图形结构无关，且与观测权相关甚小，而影响精度的主要因素是网中各点发出基线的数目及基线的权阵。因此，提出了GPS网形结构强度优化设计的概念，讨论增加的基线数目、时段数、点数对GPS网的精度、可靠性、经济效益的影响。同时，经典控制网中的三类优化设计，即网的加密和改进问题，对于GPS网来说，也就意味着网中增加一些点和观测基线，故仍可将其归结为对图形结构强度的优化设计[1]。
加测GPS基线向量位置选择的数学模型
GPS基线向量为空间向量，这里仅考虑平面位置的误差。方程式为
（1）
其中
由史赖伯法则—变换后的误差方程式及式（1）可分别组成法方程式系数阵，并且可以求出协因数阵。优化计算过程如下：（1）输入图形要素及指标要求，由三角网的误差方程式组成法方程式系数矩阵，求逆得。
（2）对每个可加测的GPS基线向量，分别计
算一次逆的增量。
（2）
式中：———加测第k个基线向量前的未知数协因数阵；
———加测第k个基线向量后的未知数协因数阵。
（3）在所有迹增量中选第j条观测，使1kn （3）
（4）检查迹增量最大值（4）若满足则终止计算，否则继续计算.
（5）检查是否满足指标要求，若满足则终止计算，否则使
（6）计算结束后，全面估算网的各项指标
3、优化设计和程序框图
在地面图中加测部分GPS基线向量的优化设计程序框图。在程序设计时，将数据模型进一步数值化，减少不必要运算，化简成最简单形式。以外业观测最少为目标，以精度满足给定要求，可靠性平衡为约束进行迭代，最终取得最优解。
GPS控制网的建立，无需控制点之间通视，不需要建造觇标，定位精度高，且定位精度不受构成网本身的几何条件的制约，可以根据不同的边长来布网，并以相同的精度将网点一次扩展到所需要的密度。另外，相对传统的控制网，GPS控制网还有观测时间短，操作简便，全天候作业等特点。所以我们有必要研究如何应用GPS改造矿区控制网的优化理论和设计方法。
参考文献：
[1]范效斌.GPS技术改造矿区控制网最优设计的应用[J]中国矿业报.2002（3）.
[2]赵长胜编著.GPS控制网设计与数据处理.北京：教育科学出版社，2001年.
[3]郭金运，徐泮林，王国孝.矿区GPS测量控制网实践.勘察科学技术，2000年第3期。
[4]甄育民，谢劭峰.玉林市GPS控制网的设计.西部探矿工程.2005年5月。