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一、基础知识
(一)开普勒行星运动三定律
(1)开普勒第一定律(又叫椭圆轨道定律):所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在该椭圆的一个焦点。不同行星绕太阳运行的椭圆轨道是不同的。
(2)开普勒第二定律(又叫面积定律):对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。由此推出一个很有用的结论,即行星在近日点的速度大于在远日点的速度。
(3)开普勒第三定律(又叫周期定律):所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
(二)万有引力定律
(1)内容:
自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小跟这两个物体质量的乘积成正比,跟它们距离的二次方成反比,即 ,G是比例系数,叫引力常量。
(2)适用条件:
①万有引力公式适用于两质点间的引力大小的计算。
②对于可视为质点的物体间的引力也可以利用万有引力公式求解,如两物体间距离远大于物体本身大小时,物体可看作质点;均匀球体可视为质量集中于球心的质点。
③当研究的物体不能看成质点时,可以把物体假想分割成无数个质点,求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力,然后求合力。例如将物体放在地球的球心时,由于物体受到相互对称的万有引力,故合外力为零,即放在地心的物体不受地球的万有引力。
(三)万有引力定律在航空、航天方面的应用
处理该类问题基本思路:把天体(或人造卫星)的运动看成是绕中心天体做匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供。即:
注意:式中的g应为高度为h处的重力加速度。
解题时应根据实际情况灵活选用适当的公式进行计算。
(1)计算中心天体的质量
由万有引力提供向心力,得:。
(2)计算中心天体的密度
若已知中心天体的半径R,则天体的密度 。若天体的卫星环绕天体表面运动,其
轨道半径r等于天体半径R,则天体密度。
(3)判断卫星或行星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系:由
,可得:
① ,即 r越大, 越小;
② ,即r越大, 越小;
③ ,即r越大,T越大。
(四)宇宙速度
宇宙速度是指在地球上满足不同轨道要求的发射速度,不能理解为卫星运行速度。
(1)第一宇宙速度(环绕速度)— =7.9km/s:是人造卫星近地环绕速度,它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度,是人造地球卫星的最小发射速度,该速度又是环绕地球做匀速圆周运动的卫星中的最大运行速度。
(2)第二宇宙速度(脱离速度)— =11.2km/s:在地面上(r=R)發射物体,使之能够脱离地球的引力作用,成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度,称为第二宇宙速度。
(3)第三宇宙速度(逃逸速度)— =16.7km/s:在地面上发射物体,使之最后能脱离太阳的引力范围,飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度,称为第三宇宙速度。
(五)地球同步卫星
所谓地球同步卫星,是指位于赤道平面内相对于地面静止的,以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的人造地球卫星,因为同步卫星主要用于通信等方面,故同步卫星又叫通信卫星。
1.同步卫星具有以下特点:
(1)周期一定:同步卫星在赤道上空相对地球静止,它绕地球的运动与地球自转同步,它的运动周期就等于地球自转的周期,即T=24h。
(2)角速度一定:同步卫星绕地球运行的角速度等于地球自转的角速度。
(3)轨道一定:由于同步卫星绕地球的运动与地球的自转同步,这就决定了同步卫星的轨道平面应与赤道平面平行,又由于同步卫星绕地球运动的向心力是地球对卫星的万有引力,这又决定了同步卫星做圆周运动的圆心为地心,所以,所有同步卫星的轨道必在赤道平面内,由 ,得出轨道高度 (T为地球自转周期,M,R分别为地球质量、半径),代人数值得 =3.6×107m,即同步卫星都在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动,其轨道离地面的高度约为3.6×107m。
(4)环绕速度大小一定:由于同步卫星的轨道高度一定,所以所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的,都是 =3.08km/s。
(5)向心加速度大小一定:所有同步卫星由于到地心距离一定,所以它们绕地球运动的向心加速度大小都相同,约为0.22m/s2。
由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件:
①卫星运动周期和地球自转周期相同;
②卫星的运行轨道在地球的赤道平面内;
③卫星距地面高度有确定值。
2.同步卫星发射
发射同步卫星,一般不采用普通卫星的直接发射方法,而是采用变轨发射,如图1所示,首先,利用第一级火箭将卫星送到180km～200km的高空,然后依靠惯性进入停泊轨道(A),当到达赤道上空时,第二、三级火箭点火,卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道(B),且轨道的远地点(D)为35800km(为同步卫星轨道高度),当到达远地点时,卫星启动发动机,然后改变方向进入同步轨道(C)。
这种发射方法有两个优点:一是对火箭推力要求较低;二是发射场的位置不局限在赤道上。
二、概念辨析
(1)万有引力就是重力吗?
重力是万有引力产生的,由于地球的自转,因而地球表面上的物体随地球自转时需要向心力。所以重力实际上只是万有引力的一个分力,另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力。如图2所示,由于纬度的变化,物体做圆周运动的向心力F向不断变化,因而物体的重力随纬度的变化向变化,即重力加速度g随纬度的变化而变化,从赤道到两极逐渐增大。通常的计算中因重力和万有引力相差不大,而认为两者相等,即 ,R为地球半径,M为地球质量。
在赤道处,物体的万有引力分解的两个分力F向和mg刚好在一条直线上,所以。因地球自转周期很小, 远大于 ,所以可以认为重力和万有引力相等,即:。一般忽略地球自转,认为地球表面上的物体受到的万有引力近似等于重力。
(2)卫星的轨道半径越大,其运行速度就越小;但把卫星送入越高的轨道,发射速度就越大,两者矛盾吗?
由,得这个速度指的是人造地球卫星在轨道上稳定运行的速度,此式是人造地球卫星稳定运行速度的决定式。由于地球卫星的发射过程中必须克服地球引力做功,卫星在进入轨道前的上升过程中的重力势能增大,故要将卫星发射到距地球越远的轨道,在地面上需要的发射速度就要越大。其发射速度的具体数值由预定轨道的高度决定,在第一宇宙速度(7.9km/s)和第二宇宙速度(11.2km/s)之间取值。我们通常所说的三个宇宙速度均指发射速度。
三、例题赏析
【例1】荡秋千是大家喜爱的一项体育活动。随着科技的发展,将来的某一天,同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量为M、半径为R,将人视为质点,秋千质量不计、摆长不变、摆角小于900,万有引力常量为G。那么,(1)该星球表面附近的重力加速度g为多少?(2)若经过最低点时的速度为v0,你能上升的最大高度是多少?
解析:(1)设人的质量为m,在表面附近的重力等于万有引力,即 ,
解得:
(2)设上升的最大高度为 ,由动能定理得:
, 把 代入得 。
点评:通过荡秋千作为背景考查万有引力定律,要求学生知道物体在其它天体上运动与在地球上遵循相同的规律,如牛顿运动定律、动能定理、机械能守恒定律等在其它天体上同样适用。
【例2】一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行,认为行星是密度均匀的球体。要确定该行星的密度,只需测量( )
A.飞船的轨道半径B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期D.行星的质量
解析:由万有引力提供向心力, 得行星质量,
行星密度,因为飞船在行星表面附近飞行r=R,
则行星密度,所以只要测出飞船的周期就可以确定行星的密度,故选C,而只测出飞船的轨道半径、飞船的运行速度、行星的质量不能确定行星密度,A、B、D均不正确。点评:本题着重考查考生对天体运动基本规律的认识和理解,考查学生的理解能力、推理能力等。
(一)开普勒行星运动三定律
(1)开普勒第一定律(又叫椭圆轨道定律):所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在该椭圆的一个焦点。不同行星绕太阳运行的椭圆轨道是不同的。
(2)开普勒第二定律(又叫面积定律):对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。由此推出一个很有用的结论,即行星在近日点的速度大于在远日点的速度。
(3)开普勒第三定律(又叫周期定律):所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
(二)万有引力定律
(1)内容:
自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小跟这两个物体质量的乘积成正比,跟它们距离的二次方成反比,即 ,G是比例系数,叫引力常量。
(2)适用条件:
①万有引力公式适用于两质点间的引力大小的计算。
②对于可视为质点的物体间的引力也可以利用万有引力公式求解,如两物体间距离远大于物体本身大小时,物体可看作质点;均匀球体可视为质量集中于球心的质点。
③当研究的物体不能看成质点时,可以把物体假想分割成无数个质点,求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力,然后求合力。例如将物体放在地球的球心时,由于物体受到相互对称的万有引力,故合外力为零,即放在地心的物体不受地球的万有引力。
(三)万有引力定律在航空、航天方面的应用
处理该类问题基本思路:把天体(或人造卫星)的运动看成是绕中心天体做匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供。即:
注意:式中的g应为高度为h处的重力加速度。
解题时应根据实际情况灵活选用适当的公式进行计算。
(1)计算中心天体的质量
由万有引力提供向心力,得:。
(2)计算中心天体的密度
若已知中心天体的半径R,则天体的密度 。若天体的卫星环绕天体表面运动,其
轨道半径r等于天体半径R,则天体密度。
(3)判断卫星或行星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系:由
,可得:
① ,即 r越大, 越小;
② ,即r越大, 越小;
③ ,即r越大,T越大。
(四)宇宙速度
宇宙速度是指在地球上满足不同轨道要求的发射速度,不能理解为卫星运行速度。
(1)第一宇宙速度(环绕速度)— =7.9km/s:是人造卫星近地环绕速度,它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度,是人造地球卫星的最小发射速度,该速度又是环绕地球做匀速圆周运动的卫星中的最大运行速度。
(2)第二宇宙速度(脱离速度)— =11.2km/s:在地面上(r=R)發射物体,使之能够脱离地球的引力作用,成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度,称为第二宇宙速度。
(3)第三宇宙速度(逃逸速度)— =16.7km/s:在地面上发射物体,使之最后能脱离太阳的引力范围,飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度,称为第三宇宙速度。
(五)地球同步卫星
所谓地球同步卫星,是指位于赤道平面内相对于地面静止的,以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的人造地球卫星,因为同步卫星主要用于通信等方面,故同步卫星又叫通信卫星。
1.同步卫星具有以下特点:
(1)周期一定:同步卫星在赤道上空相对地球静止,它绕地球的运动与地球自转同步,它的运动周期就等于地球自转的周期,即T=24h。
(2)角速度一定:同步卫星绕地球运行的角速度等于地球自转的角速度。
(3)轨道一定:由于同步卫星绕地球的运动与地球的自转同步,这就决定了同步卫星的轨道平面应与赤道平面平行,又由于同步卫星绕地球运动的向心力是地球对卫星的万有引力,这又决定了同步卫星做圆周运动的圆心为地心,所以,所有同步卫星的轨道必在赤道平面内,由 ,得出轨道高度 (T为地球自转周期,M,R分别为地球质量、半径),代人数值得 =3.6×107m,即同步卫星都在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动,其轨道离地面的高度约为3.6×107m。
(4)环绕速度大小一定:由于同步卫星的轨道高度一定,所以所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的,都是 =3.08km/s。
(5)向心加速度大小一定:所有同步卫星由于到地心距离一定,所以它们绕地球运动的向心加速度大小都相同,约为0.22m/s2。
由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件:
①卫星运动周期和地球自转周期相同;
②卫星的运行轨道在地球的赤道平面内;
③卫星距地面高度有确定值。
2.同步卫星发射
发射同步卫星,一般不采用普通卫星的直接发射方法,而是采用变轨发射,如图1所示,首先,利用第一级火箭将卫星送到180km～200km的高空,然后依靠惯性进入停泊轨道(A),当到达赤道上空时,第二、三级火箭点火,卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道(B),且轨道的远地点(D)为35800km(为同步卫星轨道高度),当到达远地点时,卫星启动发动机,然后改变方向进入同步轨道(C)。
这种发射方法有两个优点:一是对火箭推力要求较低;二是发射场的位置不局限在赤道上。
二、概念辨析
(1)万有引力就是重力吗?
重力是万有引力产生的,由于地球的自转,因而地球表面上的物体随地球自转时需要向心力。所以重力实际上只是万有引力的一个分力,另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力。如图2所示,由于纬度的变化,物体做圆周运动的向心力F向不断变化,因而物体的重力随纬度的变化向变化,即重力加速度g随纬度的变化而变化,从赤道到两极逐渐增大。通常的计算中因重力和万有引力相差不大,而认为两者相等,即 ,R为地球半径,M为地球质量。
在赤道处,物体的万有引力分解的两个分力F向和mg刚好在一条直线上,所以。因地球自转周期很小, 远大于 ,所以可以认为重力和万有引力相等,即:。一般忽略地球自转,认为地球表面上的物体受到的万有引力近似等于重力。
(2)卫星的轨道半径越大,其运行速度就越小;但把卫星送入越高的轨道,发射速度就越大,两者矛盾吗?
由,得这个速度指的是人造地球卫星在轨道上稳定运行的速度,此式是人造地球卫星稳定运行速度的决定式。由于地球卫星的发射过程中必须克服地球引力做功,卫星在进入轨道前的上升过程中的重力势能增大,故要将卫星发射到距地球越远的轨道,在地面上需要的发射速度就要越大。其发射速度的具体数值由预定轨道的高度决定,在第一宇宙速度(7.9km/s)和第二宇宙速度(11.2km/s)之间取值。我们通常所说的三个宇宙速度均指发射速度。
三、例题赏析
【例1】荡秋千是大家喜爱的一项体育活动。随着科技的发展,将来的某一天,同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量为M、半径为R,将人视为质点,秋千质量不计、摆长不变、摆角小于900,万有引力常量为G。那么,(1)该星球表面附近的重力加速度g为多少?(2)若经过最低点时的速度为v0,你能上升的最大高度是多少?
解析:(1)设人的质量为m,在表面附近的重力等于万有引力,即 ,
解得:
(2)设上升的最大高度为 ,由动能定理得:
, 把 代入得 。
点评:通过荡秋千作为背景考查万有引力定律,要求学生知道物体在其它天体上运动与在地球上遵循相同的规律,如牛顿运动定律、动能定理、机械能守恒定律等在其它天体上同样适用。
【例2】一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行,认为行星是密度均匀的球体。要确定该行星的密度,只需测量( )
A.飞船的轨道半径B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期D.行星的质量
解析:由万有引力提供向心力, 得行星质量,
行星密度,因为飞船在行星表面附近飞行r=R,
则行星密度,所以只要测出飞船的周期就可以确定行星的密度,故选C,而只测出飞船的轨道半径、飞船的运行速度、行星的质量不能确定行星密度,A、B、D均不正确。点评:本题着重考查考生对天体运动基本规律的认识和理解,考查学生的理解能力、推理能力等。