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《解决问题的策略——替换》是苏教版课标实验教科书六年级上册第九单元的一个内容．当两个数量之间的关系由倍数关系（例1）变成相差关系（习题）后，将“倍数关系替换”和“相差关系替换”中总量的“不变”和“变”作为替换中的区别点加以比对就成为教师乃至教参让学生顺利掌握新知的突破点．我也不例外，第一次执教时，我也遵循了这一思路．具体过程如下．
在教学“两个数量具有相差关系”的替换教学时，我首先将原来的例题进行改编．
原例题：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和2个大杯，正好都倒满．小杯的容量是大杯的1/3．小杯和大杯的容量各是多少毫升？
改编题：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和2个大杯，正好都倒满．小杯的容量比大杯少20毫升．小杯和大杯的容量各是多少毫升？
教学改编题的过程如下.
师：现在还可以替换吗?
(学生小组讨论)
生1：不好替换．因为一个大杯不能正好换成几个小杯．
生2：我们认为似乎可以替换，就是替换之后有可能720毫升果汁装不下．
生3：我们也认为可以替换，不过替换之后也有可能不止装720毫升果汁．
师：是啊!表面上看好像不好替换，但是如果把替换的结果一同考虑，说不定能有新的发现呢．请大家在练习纸上画图试一试，看能否解决问题．不过要特别注意，在替换时，果汁的总量会有什么样的变化．
学生在画图尝试、列式计算、检验交流后明确：把大杯替换成小杯，果汁总量就变为720－20×2=680毫升；把小杯替换成大杯，果汁总量就变为720＋6×20=840毫升.
(教师完成板书)
师：这个题目与刚才的例题在做法上有什么不同?
生1：替换的依据不同．例题中，两个数量是倍数关系；改编题中，两个数量是相差关系．
生2：替换后的总量不同．例题中，替换后总量还是720毫升；改编中，替换之后的总量发生了变化．
师：是啊!由于替换的依据不同，替换后的总量会不一样．如果我们观察替换前后杯子的个数，你有什么发现?
生1：倍数关系的替换，替换之后杯子的总个数变化了．
生2：相差关系的替换，替换之后杯子的总个数没有变化．
师：同学们观察得真仔细!数学就是这么奇妙!在变与不变中存在着内在的联系．
执教完毕，个人感觉课堂气氛比较活跃，教学过程也比较流畅．可是，当学生作业交上来之后，结果却大大出乎我的意料：虽然课堂上曾经精心比较，但细致的对比不仅没有帮助学生厘清思路，反而混淆了他们的思维．具体表现在学生尤其是后进生不知道什么时候应该变换总量，变换总量时，总量的调整是加还是减？加多少减多少？学生花样百出，摸不清头绪．
凭直觉，学生没有完全弄懂！问题出在哪？
与学生交谈，学生苦恼的是：当两个数量之间的关系变成相差关系后，用一种对象来替换另一种对象时，既要考虑 “具体的替换”，又要考虑“替换后的结果”，同时还需同步协调整理新的数量关系．显然，对于一个十一、二岁的学生来说，同一时间同时做这三项工作有些困难．关键这和他们已有的经验也不一致．虽然没有字斟句酌，但望文生义，学生心底已有了几个基本印象：一，等量替换，只有相等的量才能相互替换；二，总量不变，因为是相等的几个量在进行相互替换，因此替换过程不会导致总量的变化．而例题的教学有意无意强化了学生的这一认识．然而众所周知，并不是所有的比较都能廓清学生的思维．特别地，在前一知识没有自动化的前提下，立马引入一个与它旗鼓相当但又截然相反的知识并把它们的区别点加以凸显、比对不仅不能帮助学生洞察知识，相反很容易造成学生认识上的混淆．上述教学无意中正陷入了这一误区．因此，教学能否另辟蹊径？
揣摩教材，“相差关系替换”是作为“倍数关系替换”的习题出现的．既然是习题，而且是第一道习题，应该“同”是本质，“异”是细流．那么，这两题在教学思路上能否做到求“同”，而不是比“异”？下面是我思考后进行的第二次尝试．
师：现在还可以换吗?
生：不好替换．因为一个大杯不能正好换几个小杯．
师：是啊，像前一道例题“正好换几个小杯”多好啊．将大杯全部换成小杯后，直接用720除以替换后小杯总的个数，就可得到一个小杯的容量．多简单呀．那这一题怎么办？怎样替换？
（学生思考）
师（启发）：替换的一个原则是等量不变．大杯替换成小杯怎样才能保持等量不变？
生：1个小杯加20毫升后才相当于一个大杯．
师：这样替换后大杯的量变换了没有？
生：没有．
师：那这个大杯呢？
生：也要换成一个小杯加20毫升．
师：那么，左边相当于几个小杯和多少毫升？
生：8个小杯加2×20毫升．
师：右边呢？
生：仍然是720毫升．
（随着学生讲述，教师完成下图）
师：用等量关系表示就是？
生：每个小杯的容量×8＋20×2=720毫升．
师：要求“每个小杯可装多少毫升”怎样计算？会做吗？
生1：很容易．这就像解方程．把每个小杯的容量看作未知数，依照方程一步一步地解就可很快地求出结果．
生2：也可按照还原法的思路去解．要求每个小杯的容量，从结果出发，用720先减去20×2，再除以8.列式是（720－20×2）÷8.
师：刚才我们是把大杯换成小杯，那么能不能把小杯换成大杯？请大家在练习纸上画一画图，试一试，看能否解决问题．
学生尝试交流（略）.
师：比较这个题目与刚才的那个例题的解法，你们有什么新的看法?
生1：这两个例题不同，一个刚好能换成几个小杯，一个不能换成整数杯，还是调整，加或减几十毫升．相对而言，第一种题型要简单．
生2：我觉得这两道题实质是一样的，它们都遵循“6个小杯 2个大杯=720毫升”这一大的数量关系式，都是在这一大的数量关系式的基础上替换的，并且替换时都遵循一个共同的原则：总量不变，即右边不变．
思路上简单，形式上也不见得芜杂．第二次尝试的匠心正在于此．由于牢牢扣住了两点：一，相等的两个量才能互相替代；二，替换后总量保持不变.因而不仅使例题与习题在形式上实现了统一（如图），都遵循“6小杯 2大杯=720毫升”这一总的数量关系式， 而且在替换思路上也实现了一致：在不变化总的数量关系的前提下，都是将局部的一个量换成另一个量．这样，既减少了思维的跨度，又照应了学生的经验现实．更重要的是，“复杂的内容教得简单”这一教学高境界在某种程度上得到了体现．
责任编辑 罗峰
在教学“两个数量具有相差关系”的替换教学时，我首先将原来的例题进行改编．
原例题：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和2个大杯，正好都倒满．小杯的容量是大杯的1/3．小杯和大杯的容量各是多少毫升？
改编题：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和2个大杯，正好都倒满．小杯的容量比大杯少20毫升．小杯和大杯的容量各是多少毫升？
教学改编题的过程如下.
师：现在还可以替换吗?
(学生小组讨论)
生1：不好替换．因为一个大杯不能正好换成几个小杯．
生2：我们认为似乎可以替换，就是替换之后有可能720毫升果汁装不下．
生3：我们也认为可以替换，不过替换之后也有可能不止装720毫升果汁．
师：是啊!表面上看好像不好替换，但是如果把替换的结果一同考虑，说不定能有新的发现呢．请大家在练习纸上画图试一试，看能否解决问题．不过要特别注意，在替换时，果汁的总量会有什么样的变化．
学生在画图尝试、列式计算、检验交流后明确：把大杯替换成小杯，果汁总量就变为720－20×2=680毫升；把小杯替换成大杯，果汁总量就变为720＋6×20=840毫升.
(教师完成板书)
师：这个题目与刚才的例题在做法上有什么不同?
生1：替换的依据不同．例题中，两个数量是倍数关系；改编题中，两个数量是相差关系．
生2：替换后的总量不同．例题中，替换后总量还是720毫升；改编中，替换之后的总量发生了变化．
师：是啊!由于替换的依据不同，替换后的总量会不一样．如果我们观察替换前后杯子的个数，你有什么发现?
生1：倍数关系的替换，替换之后杯子的总个数变化了．
生2：相差关系的替换，替换之后杯子的总个数没有变化．
师：同学们观察得真仔细!数学就是这么奇妙!在变与不变中存在着内在的联系．
执教完毕，个人感觉课堂气氛比较活跃，教学过程也比较流畅．可是，当学生作业交上来之后，结果却大大出乎我的意料：虽然课堂上曾经精心比较，但细致的对比不仅没有帮助学生厘清思路，反而混淆了他们的思维．具体表现在学生尤其是后进生不知道什么时候应该变换总量，变换总量时，总量的调整是加还是减？加多少减多少？学生花样百出，摸不清头绪．
凭直觉，学生没有完全弄懂！问题出在哪？
与学生交谈，学生苦恼的是：当两个数量之间的关系变成相差关系后，用一种对象来替换另一种对象时，既要考虑 “具体的替换”，又要考虑“替换后的结果”，同时还需同步协调整理新的数量关系．显然，对于一个十一、二岁的学生来说，同一时间同时做这三项工作有些困难．关键这和他们已有的经验也不一致．虽然没有字斟句酌，但望文生义，学生心底已有了几个基本印象：一，等量替换，只有相等的量才能相互替换；二，总量不变，因为是相等的几个量在进行相互替换，因此替换过程不会导致总量的变化．而例题的教学有意无意强化了学生的这一认识．然而众所周知，并不是所有的比较都能廓清学生的思维．特别地，在前一知识没有自动化的前提下，立马引入一个与它旗鼓相当但又截然相反的知识并把它们的区别点加以凸显、比对不仅不能帮助学生洞察知识，相反很容易造成学生认识上的混淆．上述教学无意中正陷入了这一误区．因此，教学能否另辟蹊径？
揣摩教材，“相差关系替换”是作为“倍数关系替换”的习题出现的．既然是习题，而且是第一道习题，应该“同”是本质，“异”是细流．那么，这两题在教学思路上能否做到求“同”，而不是比“异”？下面是我思考后进行的第二次尝试．
师：现在还可以换吗?
生：不好替换．因为一个大杯不能正好换几个小杯．
师：是啊，像前一道例题“正好换几个小杯”多好啊．将大杯全部换成小杯后，直接用720除以替换后小杯总的个数，就可得到一个小杯的容量．多简单呀．那这一题怎么办？怎样替换？
（学生思考）
师（启发）：替换的一个原则是等量不变．大杯替换成小杯怎样才能保持等量不变？
生：1个小杯加20毫升后才相当于一个大杯．
师：这样替换后大杯的量变换了没有？
生：没有．
师：那这个大杯呢？
生：也要换成一个小杯加20毫升．
师：那么，左边相当于几个小杯和多少毫升？
生：8个小杯加2×20毫升．
师：右边呢？
生：仍然是720毫升．
（随着学生讲述，教师完成下图）
师：用等量关系表示就是？
生：每个小杯的容量×8＋20×2=720毫升．
师：要求“每个小杯可装多少毫升”怎样计算？会做吗？
生1：很容易．这就像解方程．把每个小杯的容量看作未知数，依照方程一步一步地解就可很快地求出结果．
生2：也可按照还原法的思路去解．要求每个小杯的容量，从结果出发，用720先减去20×2，再除以8.列式是（720－20×2）÷8.
师：刚才我们是把大杯换成小杯，那么能不能把小杯换成大杯？请大家在练习纸上画一画图，试一试，看能否解决问题．
学生尝试交流（略）.
师：比较这个题目与刚才的那个例题的解法，你们有什么新的看法?
生1：这两个例题不同，一个刚好能换成几个小杯，一个不能换成整数杯，还是调整，加或减几十毫升．相对而言，第一种题型要简单．
生2：我觉得这两道题实质是一样的，它们都遵循“6个小杯 2个大杯=720毫升”这一大的数量关系式，都是在这一大的数量关系式的基础上替换的，并且替换时都遵循一个共同的原则：总量不变，即右边不变．
思路上简单，形式上也不见得芜杂．第二次尝试的匠心正在于此．由于牢牢扣住了两点：一，相等的两个量才能互相替代；二，替换后总量保持不变.因而不仅使例题与习题在形式上实现了统一（如图），都遵循“6小杯 2大杯=720毫升”这一总的数量关系式， 而且在替换思路上也实现了一致：在不变化总的数量关系的前提下，都是将局部的一个量换成另一个量．这样，既减少了思维的跨度，又照应了学生的经验现实．更重要的是，“复杂的内容教得简单”这一教学高境界在某种程度上得到了体现．
责任编辑 罗峰