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摘要：由著名数学家Charles Loewner在上个世纪二十年代创立的Loewner理论已有近100年的历史，该理论深刻而优美，它是单复变函数几何理论的重要组成部分。以Loewner理论为基础形成的Loewner方法作为一种强有力的分析技巧，近100年来不断地在几何函数论的极值问题、控制理论、随机过程及统计物理、断裂力学等领域发挥着重要作用，焕发出强大的生命力。在参阅相关文献的基础上并结合笔者自己的一些工作与体会，对该理论及其早期发展应用的主要成果、相关学者的贡献作一个较为粗浅的总结与评述。
关键词：Loewner 微分方程 ;单叶函数 ;裂纹映射 ;极值问题
一、分析學家Charles Loewner
Charles Loewner（Ch. 勒夫纳），著名的美籍捷克数学家，早期在捷克时曾用姓名Karel L?wner ， 在德国时曾用姓名Karl L?wner。 1893年5月29日， Loewner出生于捷克共和国一个犹太商人家庭，其家在离布拉格约30公里的拉尼镇，其父亲Sigmund L?wner在镇上经营着一家店铺. Loewner于1917年即获得布拉格大学数学博士学位，导师是著名的数学家Georg Pick。取得学位后他主要以教师为职业，先后在柏林大学、布拉格大学、路易斯维尔大学、布朗大学、叙拉古大学、斯坦福大学任职，于1968年1月卒于美国斯坦福。Loewner专长于经典分析，研究工作涉及复分析、泛函分析、李群与半群理论，早年即在单复变几何函数论的Bieberbach猜测（比伯巴赫猜测）的研究中取得重大突破——用其独创的基于所谓Loewner微分方程的参数表示法证明了关于S族单叶函数的系数不等式|a3|≤3成立。由于众所周知的原因，和许多犹太人一样他从欧洲移居到了美国，移居美国后把姓名改为Charles Loewner。在战乱年代客居他乡，Loewner经历了不少的艰辛，例如：作为一个颇有名望的学者为了生活却不得不四处奔波谋取普通教师职位，由于美国当时许多学校研究水平并不高（注：与欧洲相较而言），一般高校数学系很少开设高级的研究水平的课程，故初到美国时Loewner只能屈就低薪讲授大量的初级课程，每周授课学时竟高达24小时，后来在少部分有兴趣的学生要求下，才无薪义务地讲授一些高级课程。不管怎样，其一生从教50年，悉心培养出了不少优秀学生，日后卓有建树的如：Lipman Bers， Roger A. Horn， Adriano Garsia，特别值得一提的是我国四川大学已故数学家蒲保明教授即是Loewner在叙拉古大学执教时的博士生。（参[1]、[2]）
二、Loewner基本定理
Loewner早年专攻函数论，在几何函数论方面颇有建树。周知，进入二十世纪后古典复分析有了多方面的突破与进展，其中发端于复平面上共形映射原理的几何函数论的快速发展尤其引人注目，几何函数论的中心课题之一是Bieberbach猜测：即对于标准化后的S族单叶函数，其幂级数的系数满足：|an|≤n。L.Bieberbach（比伯巴赫）本人在1916年只证明了|a2|≤2，以后再无进展，直到1923 年Loewner发表了其著名的|a3|≤3的证明，但其论文中最要紧的是包含了以Loewner微分方程刻画复平面上单裂纹区域族的一个定理，现习称为Loewner基本定理（见[3]、[4]、[5]），该定理用当前通行的术语简介如下。
记复平面上单位圆盘D={Z|：|Z|<1}上定义的，满足f'（0）=f'（0）-1=0 的全体单叶解析函数构成族S，S的一个子族SL，即单裂纹族，意即任意f（z）∈SL，将单位圆域D映为，C为开复平面，为从有穷远点W0到∞的Jordan弧，如图1所示。
原始的Loewner理论主要是对一特定的裂纹映射f（z）∈SL引入实参数，当参数连续变化时，依参数和裂纹界产生一连续变化的裂纹映射从属族（或称从属链、Loewner链），该从属族可用一偏微分方程进行刻划，其核心思想是利用裂纹族对参数的连续依赖性导出单位圆盘到裂纹区域共形映射的某种局部分析性质，这可以看着是对复平面上单连通区域共形等价一般定性结论的一种进一步定量描述，是一个极深刻和基本的成果。
Loewner的成果一经发表，便迅速确立了该理论在复分析中的重要地位，其重要性表现在以下两方面：
①首先，它是对共形映射基本定理（Riemann映射定理）的重要补充，即在特定区域上定量地描述映射函数的特征，从另一个角度看，该理论在共形映射的具体实现方面，也提供了一种较为一般的处理方法，即将SL中的映射函数通过Loewner微分方程表示成为了半显形式。周知，具体、直接地求出任意两区域间的共形映射函数的通用方法是不存在的，人们退而求其次地给出一些间接的或适用于某类区域的方法，??.??.§¤§à§?§?§?§?§?（戈鲁辛）在其名著[6]中做了归纳，该书第三章所讨论的的几种方法均是共形映射具体实现的较为一般的方法，其中就包括Loewner方法，这些方法应该说都是对以黎曼映射定理为核心的复变函数几何理论的补充和完善。
②.其次 ，裂纹族SL中的函数在族S中是稠密的，鉴于此，用SL中函数去逼近S中的函数，从而由SL中函数的性质通过逼近，刻画出S族函数的性质，以此为出发点，产生出了力量非凡的所谓Loewner参数表示法，自1923年Loewner证明他的系数不等式（，则|a3|≤3）开始直到以后几十年间，各国学者将这种方法应用于几何函数论许多问题的研究，取得极好的效果。1984 年L.De Branges彻底证明Bieberbach猜测，Loewner方法是基础之一，而实际上是其整个证明的最本质、最重要的基础。
如此看来，Loewner理论虽然历来和证明诸如Bieberbach猜测等等有关单叶函数极值问题的研究紧密相关，但从一个更高的层面上看，它实际上应该是对单复变函数几何理论在一个特定方向上的发展与补充，Loewner理论的定位也绝不应该是专为某问题而诞生的一种特殊、专用技巧，它应该是经典复变函数论理论体系中的重要一环。
关键词：Loewner 微分方程 ;单叶函数 ;裂纹映射 ;极值问题
一、分析學家Charles Loewner
Charles Loewner（Ch. 勒夫纳），著名的美籍捷克数学家，早期在捷克时曾用姓名Karel L?wner ， 在德国时曾用姓名Karl L?wner。 1893年5月29日， Loewner出生于捷克共和国一个犹太商人家庭，其家在离布拉格约30公里的拉尼镇，其父亲Sigmund L?wner在镇上经营着一家店铺. Loewner于1917年即获得布拉格大学数学博士学位，导师是著名的数学家Georg Pick。取得学位后他主要以教师为职业，先后在柏林大学、布拉格大学、路易斯维尔大学、布朗大学、叙拉古大学、斯坦福大学任职，于1968年1月卒于美国斯坦福。Loewner专长于经典分析，研究工作涉及复分析、泛函分析、李群与半群理论，早年即在单复变几何函数论的Bieberbach猜测（比伯巴赫猜测）的研究中取得重大突破——用其独创的基于所谓Loewner微分方程的参数表示法证明了关于S族单叶函数的系数不等式|a3|≤3成立。由于众所周知的原因，和许多犹太人一样他从欧洲移居到了美国，移居美国后把姓名改为Charles Loewner。在战乱年代客居他乡，Loewner经历了不少的艰辛，例如：作为一个颇有名望的学者为了生活却不得不四处奔波谋取普通教师职位，由于美国当时许多学校研究水平并不高（注：与欧洲相较而言），一般高校数学系很少开设高级的研究水平的课程，故初到美国时Loewner只能屈就低薪讲授大量的初级课程，每周授课学时竟高达24小时，后来在少部分有兴趣的学生要求下，才无薪义务地讲授一些高级课程。不管怎样，其一生从教50年，悉心培养出了不少优秀学生，日后卓有建树的如：Lipman Bers， Roger A. Horn， Adriano Garsia，特别值得一提的是我国四川大学已故数学家蒲保明教授即是Loewner在叙拉古大学执教时的博士生。（参[1]、[2]）
二、Loewner基本定理
Loewner早年专攻函数论，在几何函数论方面颇有建树。周知，进入二十世纪后古典复分析有了多方面的突破与进展，其中发端于复平面上共形映射原理的几何函数论的快速发展尤其引人注目，几何函数论的中心课题之一是Bieberbach猜测：即对于标准化后的S族单叶函数，其幂级数的系数满足：|an|≤n。L.Bieberbach（比伯巴赫）本人在1916年只证明了|a2|≤2，以后再无进展，直到1923 年Loewner发表了其著名的|a3|≤3的证明，但其论文中最要紧的是包含了以Loewner微分方程刻画复平面上单裂纹区域族的一个定理，现习称为Loewner基本定理（见[3]、[4]、[5]），该定理用当前通行的术语简介如下。
记复平面上单位圆盘D={Z|：|Z|<1}上定义的，满足f'（0）=f'（0）-1=0 的全体单叶解析函数构成族S，S的一个子族SL，即单裂纹族，意即任意f（z）∈SL，将单位圆域D映为，C为开复平面，为从有穷远点W0到∞的Jordan弧，如图1所示。
原始的Loewner理论主要是对一特定的裂纹映射f（z）∈SL引入实参数，当参数连续变化时，依参数和裂纹界产生一连续变化的裂纹映射从属族（或称从属链、Loewner链），该从属族可用一偏微分方程进行刻划，其核心思想是利用裂纹族对参数的连续依赖性导出单位圆盘到裂纹区域共形映射的某种局部分析性质，这可以看着是对复平面上单连通区域共形等价一般定性结论的一种进一步定量描述，是一个极深刻和基本的成果。
Loewner的成果一经发表，便迅速确立了该理论在复分析中的重要地位，其重要性表现在以下两方面：
①首先，它是对共形映射基本定理（Riemann映射定理）的重要补充，即在特定区域上定量地描述映射函数的特征，从另一个角度看，该理论在共形映射的具体实现方面，也提供了一种较为一般的处理方法，即将SL中的映射函数通过Loewner微分方程表示成为了半显形式。周知，具体、直接地求出任意两区域间的共形映射函数的通用方法是不存在的，人们退而求其次地给出一些间接的或适用于某类区域的方法，??.??.§¤§à§?§?§?§?§?（戈鲁辛）在其名著[6]中做了归纳，该书第三章所讨论的的几种方法均是共形映射具体实现的较为一般的方法，其中就包括Loewner方法，这些方法应该说都是对以黎曼映射定理为核心的复变函数几何理论的补充和完善。
②.其次 ，裂纹族SL中的函数在族S中是稠密的，鉴于此，用SL中函数去逼近S中的函数，从而由SL中函数的性质通过逼近，刻画出S族函数的性质，以此为出发点，产生出了力量非凡的所谓Loewner参数表示法，自1923年Loewner证明他的系数不等式（，则|a3|≤3）开始直到以后几十年间，各国学者将这种方法应用于几何函数论许多问题的研究，取得极好的效果。1984 年L.De Branges彻底证明Bieberbach猜测，Loewner方法是基础之一，而实际上是其整个证明的最本质、最重要的基础。
如此看来，Loewner理论虽然历来和证明诸如Bieberbach猜测等等有关单叶函数极值问题的研究紧密相关，但从一个更高的层面上看，它实际上应该是对单复变函数几何理论在一个特定方向上的发展与补充，Loewner理论的定位也绝不应该是专为某问题而诞生的一种特殊、专用技巧，它应该是经典复变函数论理论体系中的重要一环。