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摘 要：新课程标准颁布实施以来，探究式教学已经成为整个高中数学课堂的主旋律。教师作为探究式课堂教学的导师，其任务是调动学生的积极性，促使他们自己去获取知识、发展能力，做到自己能发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。与此同时，教师还要为学生的学习设置探究的情境，营造探究的氛围，促进探究的开展，把握探究的深度，评价探究的成败。变式教学不仅可以为课堂创造良好的探究氛围，而且是决定探究的深度和广度的重要因素，体现了数学教学的本质。
关键词：高中数学 探究式教学 变式教学
数学教学是以发展学生的思维能力为重要目标的。在高中数学教学中，运用变式教学来引领学生的思维发展，通过求“变”，让学生在不同角度、不同背景和不同情况下寻找知识的内在关联，对于学生的深度探究和广度拓展有很大的帮助。结合对探究式教学的理解和在实际教学中的操作，就变式教学探究谈谈我的做法。
一、变式教学要突出“概念的内涵和外延”
数学概念是发展数学思维的基本要素，只有正确理解和掌握数学概念，才能有效地进行判断、解释、推理、运算和解决问题。变式教学是在教学中使学生确切掌握概念的重要方法之一。通过变式，学生可以多角度地理解概念：从具体到抽象，从特殊到一般，排除背景干扰，突出概念本质，阐明概念内涵。
案例1 在“等差数列的前n项和”的教学中，我并不是一开始就给出等差数列的求和公式，让学生“生搬硬套”公式，而是给出一组问题的变式，通过学生的自主探究，揭示求和公式的由来及其蕴含的数学思想方法。
问题1：计算1+2+3+…+100= 。
学生：S100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050
问题2：Sn=1+2+3+…+n= 。（n∈N*）
学生：由问题1，故想到“配对思想”。
当n为偶数时，
教师：“配对思想”的本质是把“不同数求和”转化为“相同数求和”，基于这种想法，能不能避免分类讨论，找到更优的解决办法？
学生：Sn=1+2+3+…+n，
Sn=n+（n-1）+（n-2）+…+1，
点评：这四个问题的变式，由特殊到一般，逐步让学生领会并理解“倒序求和法”的本质特征，理解其所蕴含的数学思想方法，通过对比体会“倒序求和法”的优越性，再由数列回归到函数，使得这一思想方法得到进一步的升华，使其本质性的内涵与外延得到充分的挖掘，这体现了数列和函数的统一性。
2.变式教学要突出“教材的本源作用”
对教师和学生来说，教材具有权威性、示范性和完美性的特点。结合课本习题进行变式教学，有本有源，学生感到亲近，师生容易沟通，既能充分发挥教材载体的优势作用，又符合新课程强调“用教材教”“创造性地使用教材”的理念。特别是高三复习课的“根”仍然在教材中，充分挖掘教材习题的价值，可让学生成功摆脱题海的困扰，使高三复习事半功倍，取得实质性的效果。
案例2（新课标选修2-1，练习第4题） 已知直线y=x+m与曲线y=x2-x+2有两个公共点，求m的取值范围。
这道教材习题本身很简单，但蕴含着数学中很重要的数学思想方法，即转化思想和方程思想。大部分教师可能也就一带而过，甚至有些教师可能会“视而不见”，这样的处理方式显然没有充分挖掘出该题的本质和价值，若稍微改变题目的呈现形式，学生就很有可能“不识庐山真面目”，束手无策了。比如，我校高三的一次测试中考查了这样一个问题：设A（-1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足MA=MB，则u=的取值范围 。
解析：由MA=MB得到动点M的轨迹方程是（x-3）2+y2=8，把u=整理成（2-u）x+（u+1）y+2-3u=0，则问题转化为直线与曲线的交点问题。我统计了本校学生完成此题的正确率只有10%。反思教学，我们要准确捕捉教材习题所蕴含的价值，适当编制变式练习，创造性地使用教材，以帮助学生更好地把握问题的本质，加深对知识的理解。
变式1：已知x2-x+2-y=0，求x-y的取值范围。
变式2：设x，y为实数，若x+2y=4，
（1）求x2+y=2x的最小值；
（2）求的范围。
变式3：已知实数a，b，c，满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值范围是 。
解析：此题的解法很多，但其本质仍然是直线与曲线的交点问题。令a=x，c=y，即变成已知：x+y+b=9bx+by+xy=24，
求b的取值范围是 。
点评：对教材习题进行恰当的变式，让学生在“变”的过程中感悟“不变”的本质，在“不变”的本质中发现“变”的规律；让学生能够在复杂多变的情况下，抓住知识、方法的本质，体验知识、方法的形成过程，促进学生思维能力的发展，实现学生解题能力的提升。
3.变式教学要突出“思维的阶梯式发展”
变式教学的目的之一就是训练思维、提升能力，帮助学生登高望远，这就要求题目的变式必须有一定的“思维梯度”，否则学生只能在原有水平徘徊，进行无休止的操作，永远也领略不到山顶的无限风光。
案例3 已知函数f（x）=|x+1|+|x|+|x-1|，且f（a2-3a+2）>f（a-1），求满足条件的a的范围。
解：因为f（x）=f（-x），所以f（x）是偶函数，结合偶函数性质画出函数图像（见图1）
所以|a2-3a+2|>|a-1|，解得a？缀（-∞，1）∪（3，+∞）
变式1：函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2007|+|x|+
|x-1|+|x-2|+…+|x-2007|，且f（a2-3a+2）=f（a-1），则满足条件的所有整数a的和是 。 解：类比函数性质，本质与g（x）=|x+1|+|x|+|x-1|一样，可得a2-3a+2=a-1或a2-3a+2+a-1=0，解得a=1或a=3，所以所有整数a的和是4。
变式2：函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2007|+|x-1|+|x-2|+|x-2007|，且f（a2-3a+2）=f（a-1），则满足条件的所有整数a的和是 。
解：类比函数性质，本质与g（x）=|x+1|+|x-1|一样，结合g（x）图像（见图2），可得a2-3a+2=a-1或a2-3a+2+a-1=0或-1≤a2-3a+2≤1-1≤a-1≤1，解得a的值有1，2，3，其和为6。
点评：这道题以及变式，其本质就是对函数性质和图像的研究，特别是这两道变式题，不仅对函数性质及图像的研究提出了更高的要求，还考查了学生类比求和推理的能力，思维层次更高，有利于学生思维能力的训练及提升。
4.变式教学要突出“生本课堂”
新课程标准提出了“生本课堂”的教学理念，即要求我们的数学课堂一定要以学生的发展为本。而要实现这一目的，就要求我们的数学教学必须贴近学生的基础、贴近学生的年龄特征、贴近学生的思维状况。变式教学便是如此，在学生知识和思维的最近发展区就题目进行变式，否则变式教学就失去了意义，反而容易造成学生处处碰壁，产生畏难情绪。
案例4（2015常州市期末联考第10题）已知函数f（x）=|2x-2|，x？缀（-1，2），则函数y=f（x-1）的值域为 。
解：因为图像的水平移动没有改变函数的值域，所以y=f（x-1）的值域即y=f（x）的值域，结合y=f（x）的图像（见图3），易得y=f（x）的值域为[0，2）。
变式1：已知函数f（x）=■的最大值为M，最小值为N，则M+N= 。
解：f（x）=■=■=
1+■，显然g（x）■是奇函数，由对称性知[g（x）]max+[g（x）]min=0，故M+N=2。
变式2：设g（x）是定义在R上、周期为1的函数，若f（x）=x+g（x）在[3，4]的值域是[-2，5]，则f（x）在区间[-10，10]上的值域为 。
解：由题意知，存在实数x1，x2？缀[3，4]，使得f（x1）=-2，f（x2）=5，因为g（x）的周期为1，所以f（x1+1）=x1+1+g（x1+1）=x1+1+g（x1）=-1，x2+1+g（x2）=6，即f（x）在[4，5]上的值域为[-1，6]。以此类推，f（x）在区间[-10，10]上的值域为[-15，11]。
点评：该题在整个常州市高三学生的平均得分是2.3分（满分是5分），这充分说明学生对于“函数的图像、性质及函数值域之间的联系”掌握得很不到位。如果就题讲题，对学生而言，其收获的也就是管中窥豹，显然无法达到与学生的最近发展区产生更广、更深刻的共鸣。这两道变式题阐述了奇偶性、周期性对函数值域的影响，不仅让学生更全面地了解函数性质和函数值域的联系，更重要的是培养了学生严谨的思维品质，促进了学生的发展。
参考文献
[1]窦月英.高中数学探究式教学的实践与探索[D].石家庄：河北师范大学，2008.
[2]王雅琴.高中数学探究式教学的研究[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2013.
[3]王茜.高中数学探究式教学的理论与实践[D].济南：山东师范大学，2005.
关键词：高中数学 探究式教学 变式教学
数学教学是以发展学生的思维能力为重要目标的。在高中数学教学中，运用变式教学来引领学生的思维发展，通过求“变”，让学生在不同角度、不同背景和不同情况下寻找知识的内在关联，对于学生的深度探究和广度拓展有很大的帮助。结合对探究式教学的理解和在实际教学中的操作，就变式教学探究谈谈我的做法。
一、变式教学要突出“概念的内涵和外延”
数学概念是发展数学思维的基本要素，只有正确理解和掌握数学概念，才能有效地进行判断、解释、推理、运算和解决问题。变式教学是在教学中使学生确切掌握概念的重要方法之一。通过变式，学生可以多角度地理解概念：从具体到抽象，从特殊到一般，排除背景干扰，突出概念本质，阐明概念内涵。
案例1 在“等差数列的前n项和”的教学中，我并不是一开始就给出等差数列的求和公式，让学生“生搬硬套”公式，而是给出一组问题的变式，通过学生的自主探究，揭示求和公式的由来及其蕴含的数学思想方法。
问题1：计算1+2+3+…+100= 。
学生：S100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050
问题2：Sn=1+2+3+…+n= 。（n∈N*）
学生：由问题1，故想到“配对思想”。
当n为偶数时，
教师：“配对思想”的本质是把“不同数求和”转化为“相同数求和”，基于这种想法，能不能避免分类讨论，找到更优的解决办法？
学生：Sn=1+2+3+…+n，
Sn=n+（n-1）+（n-2）+…+1，
点评：这四个问题的变式，由特殊到一般，逐步让学生领会并理解“倒序求和法”的本质特征，理解其所蕴含的数学思想方法，通过对比体会“倒序求和法”的优越性，再由数列回归到函数，使得这一思想方法得到进一步的升华，使其本质性的内涵与外延得到充分的挖掘，这体现了数列和函数的统一性。
2.变式教学要突出“教材的本源作用”
对教师和学生来说，教材具有权威性、示范性和完美性的特点。结合课本习题进行变式教学，有本有源，学生感到亲近，师生容易沟通，既能充分发挥教材载体的优势作用，又符合新课程强调“用教材教”“创造性地使用教材”的理念。特别是高三复习课的“根”仍然在教材中，充分挖掘教材习题的价值，可让学生成功摆脱题海的困扰，使高三复习事半功倍，取得实质性的效果。
案例2（新课标选修2-1，练习第4题） 已知直线y=x+m与曲线y=x2-x+2有两个公共点，求m的取值范围。
这道教材习题本身很简单，但蕴含着数学中很重要的数学思想方法，即转化思想和方程思想。大部分教师可能也就一带而过，甚至有些教师可能会“视而不见”，这样的处理方式显然没有充分挖掘出该题的本质和价值，若稍微改变题目的呈现形式，学生就很有可能“不识庐山真面目”，束手无策了。比如，我校高三的一次测试中考查了这样一个问题：设A（-1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足MA=MB，则u=的取值范围 。
解析：由MA=MB得到动点M的轨迹方程是（x-3）2+y2=8，把u=整理成（2-u）x+（u+1）y+2-3u=0，则问题转化为直线与曲线的交点问题。我统计了本校学生完成此题的正确率只有10%。反思教学，我们要准确捕捉教材习题所蕴含的价值，适当编制变式练习，创造性地使用教材，以帮助学生更好地把握问题的本质，加深对知识的理解。
变式1：已知x2-x+2-y=0，求x-y的取值范围。
变式2：设x，y为实数，若x+2y=4，
（1）求x2+y=2x的最小值；
（2）求的范围。
变式3：已知实数a，b，c，满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值范围是 。
解析：此题的解法很多，但其本质仍然是直线与曲线的交点问题。令a=x，c=y，即变成已知：x+y+b=9bx+by+xy=24，
求b的取值范围是 。
点评：对教材习题进行恰当的变式，让学生在“变”的过程中感悟“不变”的本质，在“不变”的本质中发现“变”的规律；让学生能够在复杂多变的情况下，抓住知识、方法的本质，体验知识、方法的形成过程，促进学生思维能力的发展，实现学生解题能力的提升。
3.变式教学要突出“思维的阶梯式发展”
变式教学的目的之一就是训练思维、提升能力，帮助学生登高望远，这就要求题目的变式必须有一定的“思维梯度”，否则学生只能在原有水平徘徊，进行无休止的操作，永远也领略不到山顶的无限风光。
案例3 已知函数f（x）=|x+1|+|x|+|x-1|，且f（a2-3a+2）>f（a-1），求满足条件的a的范围。
解：因为f（x）=f（-x），所以f（x）是偶函数，结合偶函数性质画出函数图像（见图1）
所以|a2-3a+2|>|a-1|，解得a？缀（-∞，1）∪（3，+∞）
变式1：函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2007|+|x|+
|x-1|+|x-2|+…+|x-2007|，且f（a2-3a+2）=f（a-1），则满足条件的所有整数a的和是 。 解：类比函数性质，本质与g（x）=|x+1|+|x|+|x-1|一样，可得a2-3a+2=a-1或a2-3a+2+a-1=0，解得a=1或a=3，所以所有整数a的和是4。
变式2：函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2007|+|x-1|+|x-2|+|x-2007|，且f（a2-3a+2）=f（a-1），则满足条件的所有整数a的和是 。
解：类比函数性质，本质与g（x）=|x+1|+|x-1|一样，结合g（x）图像（见图2），可得a2-3a+2=a-1或a2-3a+2+a-1=0或-1≤a2-3a+2≤1-1≤a-1≤1，解得a的值有1，2，3，其和为6。
点评：这道题以及变式，其本质就是对函数性质和图像的研究，特别是这两道变式题，不仅对函数性质及图像的研究提出了更高的要求，还考查了学生类比求和推理的能力，思维层次更高，有利于学生思维能力的训练及提升。
4.变式教学要突出“生本课堂”
新课程标准提出了“生本课堂”的教学理念，即要求我们的数学课堂一定要以学生的发展为本。而要实现这一目的，就要求我们的数学教学必须贴近学生的基础、贴近学生的年龄特征、贴近学生的思维状况。变式教学便是如此，在学生知识和思维的最近发展区就题目进行变式，否则变式教学就失去了意义，反而容易造成学生处处碰壁，产生畏难情绪。
案例4（2015常州市期末联考第10题）已知函数f（x）=|2x-2|，x？缀（-1，2），则函数y=f（x-1）的值域为 。
解：因为图像的水平移动没有改变函数的值域，所以y=f（x-1）的值域即y=f（x）的值域，结合y=f（x）的图像（见图3），易得y=f（x）的值域为[0，2）。
变式1：已知函数f（x）=■的最大值为M，最小值为N，则M+N= 。
解：f（x）=■=■=
1+■，显然g（x）■是奇函数，由对称性知[g（x）]max+[g（x）]min=0，故M+N=2。
变式2：设g（x）是定义在R上、周期为1的函数，若f（x）=x+g（x）在[3，4]的值域是[-2，5]，则f（x）在区间[-10，10]上的值域为 。
解：由题意知，存在实数x1，x2？缀[3，4]，使得f（x1）=-2，f（x2）=5，因为g（x）的周期为1，所以f（x1+1）=x1+1+g（x1+1）=x1+1+g（x1）=-1，x2+1+g（x2）=6，即f（x）在[4，5]上的值域为[-1，6]。以此类推，f（x）在区间[-10，10]上的值域为[-15，11]。
点评：该题在整个常州市高三学生的平均得分是2.3分（满分是5分），这充分说明学生对于“函数的图像、性质及函数值域之间的联系”掌握得很不到位。如果就题讲题，对学生而言，其收获的也就是管中窥豹，显然无法达到与学生的最近发展区产生更广、更深刻的共鸣。这两道变式题阐述了奇偶性、周期性对函数值域的影响，不仅让学生更全面地了解函数性质和函数值域的联系，更重要的是培养了学生严谨的思维品质，促进了学生的发展。
参考文献
[1]窦月英.高中数学探究式教学的实践与探索[D].石家庄：河北师范大学，2008.
[2]王雅琴.高中数学探究式教学的研究[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2013.
[3]王茜.高中数学探究式教学的理论与实践[D].济南：山东师范大学，2005.