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摘要：随着互联网时代信息技术的快速发展，传统封闭的数学课堂教学已经越来越不能够与时代相适应。作为互联网时代特有的创新教学形式——翻转课堂，为学生创设了开放、个性化的学习空间。本文分析了在“数值分析”课程中采用翻转课堂教学法的必要性。结合翻转课堂教学模式的特点与研究生数值分析课程的特殊性，以最小二乘法知识点为例，设计了实施翻转课堂教学的主要流程和细节。
关键词：翻转课堂教学模式；数值分析；最小二乘法；创新能力
中图分类号：O241 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）06-0179-03
一、引言
翻转课堂（Flipped Classroom）[1-5]是一种全新的教学模式，课前教师把将要学习的新内容的学习资料先发给学生，让学生通过观看视频、在线互动答疑、完成练习等多种方式的课前学习来获取信息，在课堂上，教师主要是对学生遇到的问题进行指导，做一些综合性的练习，引导学生分析问题并运用所学知识解决问题和把握教学效果。数学作为科学研究与工程技术中的一门基础学科，其作用不断得到深化。如今，数学的应用范围已几乎覆盖了整个学科框架，成为进行科学研究必不可少的技术手段[6]。而其中，衡量研究生科研能力的一个重要标准就是应用数学的能力[7]。数值分析作为应用数学的一个分支，其研究方向主要包括利用计算机解决数学问题的数值方法及相关理论，随着研究的不断深化，数值分析逐渐成为横跨数学与计算机科学的双重交叉性学科。该学科的主要特点在于既包含纯数学的系统性和严密性，又在研究重点上与纯数学保持不同。“数值分析”作为我校电气工程领域专业学位研究生基础应用型课程中的一门重要科目，对于学生科学思维的培养以及后续更高层次课程的学习都是有极为重要的作用[8]。“数值分析”覆盖内容广泛，数值计算方法介绍章节梯度较大[9]。该门课程既保持了纯数学的抽象性与严密性，又突出了应用学科的广泛性和技术性，因此被学界一致认为是传授难、学习难的一门课程。针对数值分析课程的上述特点与我校电气工程领域专业学位研究生的要求，本文旨在分析“数值分析”课程教学现状，探討将翻转课堂教学模式引入到数值分析教学中，改革传统的研究生教学方法。
二、教学现状
1.教学学时少和教学内容多之间的矛盾。由于数值分析学时少、内容多，教师为了在有限的课时内完成所有的教学任务，满堂课只听见教师滔滔不绝地讲授着规定的教学内容。这种教学方法的缺点是：对于课前没有预习的学生，如果课堂上有几分钟跟不上教师的思维，课后又不及时复习，导致一次课下来真正掌握的新知识是非常有限的。另外，由于单是向学生讲授那些最基本的课程内容就几乎占据了全部的教学时间，原本计划采用的其他教学活动所占的时间只能一压再压，学生的课堂学习活动难以深入。而数值分析不仅仅是教会学生做题，更主要的任务是培养学生发现问题、分析问题进而解决问题的能力及以创新能力。
2.学生基础与学习能力参差不齐。我校研究生来自全国各个高校，每个人的学习特点以及学习能力都有着各自的不同，一个班级内学生的学习基础与学习能力参差不齐。传统的研究生教学，采用以教师讲授为主的教学模式。在这样的教学模式下，由于一样的节奏，一样的信息，教师无法对每个学生进行辅导，难以满足每个学生的需求。这就会导致学困生觉得内容太难、进度太快，而优等生觉得内容简单、进度太慢。另外，研究生经过大学四年的学习，已经具备了一定的学习能力，在课堂上通过听教师讲解来学习新知的过程，在课下他们也可以自己完成。事实上，在研究生的学习过程中，应该注重更深层次的学习，如：拓展加深、迁移运用、探究创新等。而上述深层次的学习需要在教师与学生、学生与学生互动的过程中完成，需要教师的引领与点拨。
为了解决上述问题，笔者认为应将翻转课堂教学模式引入到数值分析教学中，改革传统的研究生教学方法。
三、“翻转课堂”教学模式在《数值分析》教学中的应用
下面就最小二乘法的内容采用翻转课堂教学模式进行说明。
1.将学习任务驱动放在网上，学生在课前可以看到，如课题：曲线拟合的最小二乘法；任务驱动：研究RC充放电直流暂态现象时电容器的电压变化。
【工作实例】当电路通电瞬间或断电瞬间，直流电路上的电压或电流会有一个短暂的不稳定状态，称之为暂态。电容器具有储存能量之特性，而储存能量必须经过时间的累积，所以暂态现象在电容上更为明显，一般称电容的暂态现象为充电或放电，如图1所示。暂态的时间通常都只有千分之几秒而已，然而对电能的传输而言，已经算是很长的时间了，RC充放电现象在电子与电机控制工程均时常用到，故对于暂态现象的处理是不容忽视的。
电容器充放电所需要的时间与电路中电阻值与电容器电容值大小有关，因此定义RC充放电电路的时间常数为电阻器与电容器大小之乘积，符号为τ，单位为秒，数学公式为
τ=R×C………………………………………（1）
由上式得知，R或C值愈大，充放电过程所需的时间愈久，一般充放电完成，以时间5秒为基准。
RC充电时，电容电压为
V■=E×（1-e■）………………………………（2）
RC放电时，电容电压为
V■=E×e■……………………………………（3）
所以我们依照如图1所示RC充放电电路图，在本实验中取电源电动势E=12V、电阻R=100kΩ以及C=200μF，并依照充放电时间每隔5秒来实际测量电容电压值，得到如表1所示之数据（略），稳态时实测电压为11.51V。
问RC充放电直流暂态现象时电容器电压随时间 t如何变化？
在充电状态时，电容电压函数模型为
y=11.5 ae■.
在放电状态时，电容电压函数模型为 y=ae■.
为了解决任务驱动中的工作实例，需完成两个学习任务——学习任务一：线性最小二乘法。学习任务二：非线性最小二乘法。
2.录制微课（视频）。微课（视频）不仅要讲授本节课的重点、难点，录制视频特别要注意一个知识点与另一个知识点之间的衔接，教师在录制过程中要设计问题，注重知识点的引入，给出知识点在电气工程专业课程中的一些应用等。通过设计问题引起学生的思考，从而培养学生通过思考、查询资料的形式来提高自学能力以及创新思维。
下面就以《数值分析》课程第三章中曲线拟合的最小二乘法为例，初步探讨基于课题式学习的视频设计方案。
本次课的教学目标是掌握用最小二乘法对曲线进行拟合的方法，教学重点是最小二乘法的计算，教学难点是掌握用最小二乘法对曲线进行拟合的方法。
教师制作与主讲内容相关的视频，内容包括介绍一般的最小二乘法的相关概念、讲解如何利用法方程求解、介绍基函数、基函数的内积等概念及正交多项式做最小二乘拟合、求解步骤，做到主题突出，内容简要精练。教师提前一周将已做好的微视频发布到教学平台上，供学生在线或下载学习。
3.学生观看教学视频，自主探究学习。在教师的指导下，学生观看教学视频，了解并掌握最小二乘法的内容，做好记录完成课前练习，检测学生课前学习的效果。例如：
练习1：已知一组观测数据如表所示，试用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据。
练习2：已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线。
练习3：假设某电气设备的使用年限t和所支出的维修费用Y（万元）有如下的统计资料：
试预测当设备使用10年时要支出多少维修费用？
通过自主学习后，学生对最小二乘法有了一定的了解，教师给予相应的练习检测学习成效。学生在课前通过观看视頻，对简单问题进行理解消化，复杂问题通过查阅资料或者与同学讨论，如还不能解决，学生带着问题在课堂上解决。
4.课堂教学——内化课堂知识，协作交流学习成果。教师根据最小二乘法的相关知识和学生观看视频、课下练习的实际情况，总结出具有探究意义的问题，例如：
问题一：最小二乘法与前面学过的函数的最佳平方逼近之间的关系？
问题二：写出最小二乘法中的法方程，并与最佳平方逼近中的法方程比较。
问题三：已知数据
（xi，yi），i=1，L，m，
用于拟合这批数据的非线性模型为y=aebx.
（1）如何将该非线性模型线性化？
（2）写出线性化模型中待定参数的法方程，并求解该方程。
（3）写出非线性拟合函数。
问题四：用正交多项式做最小二乘拟合的优点是什么？
根据教师给出的问题，学生以学习小组为单位展开探讨。针对最小二乘法中非线性模型线性化的这一问题，小组内用辩论、对话、讨论等形式探究问题。学生在学习的同时，提高了与人沟通交流、协作互助的能力。
针对课前提出的任务驱动，利用课堂时间进行讲解。如前面的任务驱动中，模型求解部分可以利用MATLAB求出任务驱动问题中的解。
通过此环节充分调动学生学习数值分析的主动性，促进学生的创造性思维，培养学生的创新能力。
四、结束语
翻转课堂革新了传统的教育理念和教学思想，它在一定程度上可以改变传统教学模式的弊端。将翻转课堂引入研究生数值分析课程的教学中，有利于对学生综合素质的培养。通过组织学生合作解决实际问题，在解决问题的过程中采用翻转课堂教学模式，利用教师录制的视频进行灵活、自主学习，达到培养学生自主学习的能力、团结协作的能力、解决实际问题的能力以及创新能力等综合性能力的目的，从而让他们更好地将数值分析知识应用到将来的研究工作中。
参考文献：
[1]徐永贵，刘成新.翻转课堂教学实践探索研究[J].曲阜师范大学学报，2015，（1）.
[2]张金磊，王颖，张宝辉.翻转课堂教学模式研究[J].远程教育杂志，2012，（4）.
[3]何朝阳，欧玉芳，曹祁.美国大学翻转课堂教学模式的启示[J].高等工程教育研究，2014，（2）.
[4]朱宏杰，朱赟.翻转课堂及其有效实施策略刍议[J].电化教育研究，2013，（8）.
[5]王凤秋，玄琳琳.“翻转课堂”与高校研究生教学模式改革[J].黑龙江高教研究，2017，（1）：153-155.
[6]张春蕊，郑宝东.对理工院校研究生公共数学课程群建设的认识与实践[J].教书育人，2010，（4）：87-90.
[7]高凌云.美国研究生教育中数学课程设置的启示[J].高等理科教育，2010，（6）：66-68.
[8]刘三明.基于创新和应用能力的数值分析课程教学研究与实践[J].大学教育，2016，（2）：130-131.
[9]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].5版.北京：清华大学出版社，2010.
关键词：翻转课堂教学模式；数值分析；最小二乘法；创新能力
中图分类号：O241 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）06-0179-03
一、引言
翻转课堂（Flipped Classroom）[1-5]是一种全新的教学模式，课前教师把将要学习的新内容的学习资料先发给学生，让学生通过观看视频、在线互动答疑、完成练习等多种方式的课前学习来获取信息，在课堂上，教师主要是对学生遇到的问题进行指导，做一些综合性的练习，引导学生分析问题并运用所学知识解决问题和把握教学效果。数学作为科学研究与工程技术中的一门基础学科，其作用不断得到深化。如今，数学的应用范围已几乎覆盖了整个学科框架，成为进行科学研究必不可少的技术手段[6]。而其中，衡量研究生科研能力的一个重要标准就是应用数学的能力[7]。数值分析作为应用数学的一个分支，其研究方向主要包括利用计算机解决数学问题的数值方法及相关理论，随着研究的不断深化，数值分析逐渐成为横跨数学与计算机科学的双重交叉性学科。该学科的主要特点在于既包含纯数学的系统性和严密性，又在研究重点上与纯数学保持不同。“数值分析”作为我校电气工程领域专业学位研究生基础应用型课程中的一门重要科目，对于学生科学思维的培养以及后续更高层次课程的学习都是有极为重要的作用[8]。“数值分析”覆盖内容广泛，数值计算方法介绍章节梯度较大[9]。该门课程既保持了纯数学的抽象性与严密性，又突出了应用学科的广泛性和技术性，因此被学界一致认为是传授难、学习难的一门课程。针对数值分析课程的上述特点与我校电气工程领域专业学位研究生的要求，本文旨在分析“数值分析”课程教学现状，探討将翻转课堂教学模式引入到数值分析教学中，改革传统的研究生教学方法。
二、教学现状
1.教学学时少和教学内容多之间的矛盾。由于数值分析学时少、内容多，教师为了在有限的课时内完成所有的教学任务，满堂课只听见教师滔滔不绝地讲授着规定的教学内容。这种教学方法的缺点是：对于课前没有预习的学生，如果课堂上有几分钟跟不上教师的思维，课后又不及时复习，导致一次课下来真正掌握的新知识是非常有限的。另外，由于单是向学生讲授那些最基本的课程内容就几乎占据了全部的教学时间，原本计划采用的其他教学活动所占的时间只能一压再压，学生的课堂学习活动难以深入。而数值分析不仅仅是教会学生做题，更主要的任务是培养学生发现问题、分析问题进而解决问题的能力及以创新能力。
2.学生基础与学习能力参差不齐。我校研究生来自全国各个高校，每个人的学习特点以及学习能力都有着各自的不同，一个班级内学生的学习基础与学习能力参差不齐。传统的研究生教学，采用以教师讲授为主的教学模式。在这样的教学模式下，由于一样的节奏，一样的信息，教师无法对每个学生进行辅导，难以满足每个学生的需求。这就会导致学困生觉得内容太难、进度太快，而优等生觉得内容简单、进度太慢。另外，研究生经过大学四年的学习，已经具备了一定的学习能力，在课堂上通过听教师讲解来学习新知的过程，在课下他们也可以自己完成。事实上，在研究生的学习过程中，应该注重更深层次的学习，如：拓展加深、迁移运用、探究创新等。而上述深层次的学习需要在教师与学生、学生与学生互动的过程中完成，需要教师的引领与点拨。
为了解决上述问题，笔者认为应将翻转课堂教学模式引入到数值分析教学中，改革传统的研究生教学方法。
三、“翻转课堂”教学模式在《数值分析》教学中的应用
下面就最小二乘法的内容采用翻转课堂教学模式进行说明。
1.将学习任务驱动放在网上，学生在课前可以看到，如课题：曲线拟合的最小二乘法；任务驱动：研究RC充放电直流暂态现象时电容器的电压变化。
【工作实例】当电路通电瞬间或断电瞬间，直流电路上的电压或电流会有一个短暂的不稳定状态，称之为暂态。电容器具有储存能量之特性，而储存能量必须经过时间的累积，所以暂态现象在电容上更为明显，一般称电容的暂态现象为充电或放电，如图1所示。暂态的时间通常都只有千分之几秒而已，然而对电能的传输而言，已经算是很长的时间了，RC充放电现象在电子与电机控制工程均时常用到，故对于暂态现象的处理是不容忽视的。
电容器充放电所需要的时间与电路中电阻值与电容器电容值大小有关，因此定义RC充放电电路的时间常数为电阻器与电容器大小之乘积，符号为τ，单位为秒，数学公式为
τ=R×C………………………………………（1）
由上式得知，R或C值愈大，充放电过程所需的时间愈久，一般充放电完成，以时间5秒为基准。
RC充电时，电容电压为
V■=E×（1-e■）………………………………（2）
RC放电时，电容电压为
V■=E×e■……………………………………（3）
所以我们依照如图1所示RC充放电电路图，在本实验中取电源电动势E=12V、电阻R=100kΩ以及C=200μF，并依照充放电时间每隔5秒来实际测量电容电压值，得到如表1所示之数据（略），稳态时实测电压为11.51V。
问RC充放电直流暂态现象时电容器电压随时间 t如何变化？
在充电状态时，电容电压函数模型为
y=11.5 ae■.
在放电状态时，电容电压函数模型为 y=ae■.
为了解决任务驱动中的工作实例，需完成两个学习任务——学习任务一：线性最小二乘法。学习任务二：非线性最小二乘法。
2.录制微课（视频）。微课（视频）不仅要讲授本节课的重点、难点，录制视频特别要注意一个知识点与另一个知识点之间的衔接，教师在录制过程中要设计问题，注重知识点的引入，给出知识点在电气工程专业课程中的一些应用等。通过设计问题引起学生的思考，从而培养学生通过思考、查询资料的形式来提高自学能力以及创新思维。
下面就以《数值分析》课程第三章中曲线拟合的最小二乘法为例，初步探讨基于课题式学习的视频设计方案。
本次课的教学目标是掌握用最小二乘法对曲线进行拟合的方法，教学重点是最小二乘法的计算，教学难点是掌握用最小二乘法对曲线进行拟合的方法。
教师制作与主讲内容相关的视频，内容包括介绍一般的最小二乘法的相关概念、讲解如何利用法方程求解、介绍基函数、基函数的内积等概念及正交多项式做最小二乘拟合、求解步骤，做到主题突出，内容简要精练。教师提前一周将已做好的微视频发布到教学平台上，供学生在线或下载学习。
3.学生观看教学视频，自主探究学习。在教师的指导下，学生观看教学视频，了解并掌握最小二乘法的内容，做好记录完成课前练习，检测学生课前学习的效果。例如：
练习1：已知一组观测数据如表所示，试用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据。
练习2：已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线。
练习3：假设某电气设备的使用年限t和所支出的维修费用Y（万元）有如下的统计资料：
试预测当设备使用10年时要支出多少维修费用？
通过自主学习后，学生对最小二乘法有了一定的了解，教师给予相应的练习检测学习成效。学生在课前通过观看视頻，对简单问题进行理解消化，复杂问题通过查阅资料或者与同学讨论，如还不能解决，学生带着问题在课堂上解决。
4.课堂教学——内化课堂知识，协作交流学习成果。教师根据最小二乘法的相关知识和学生观看视频、课下练习的实际情况，总结出具有探究意义的问题，例如：
问题一：最小二乘法与前面学过的函数的最佳平方逼近之间的关系？
问题二：写出最小二乘法中的法方程，并与最佳平方逼近中的法方程比较。
问题三：已知数据
（xi，yi），i=1，L，m，
用于拟合这批数据的非线性模型为y=aebx.
（1）如何将该非线性模型线性化？
（2）写出线性化模型中待定参数的法方程，并求解该方程。
（3）写出非线性拟合函数。
问题四：用正交多项式做最小二乘拟合的优点是什么？
根据教师给出的问题，学生以学习小组为单位展开探讨。针对最小二乘法中非线性模型线性化的这一问题，小组内用辩论、对话、讨论等形式探究问题。学生在学习的同时，提高了与人沟通交流、协作互助的能力。
针对课前提出的任务驱动，利用课堂时间进行讲解。如前面的任务驱动中，模型求解部分可以利用MATLAB求出任务驱动问题中的解。
通过此环节充分调动学生学习数值分析的主动性，促进学生的创造性思维，培养学生的创新能力。
四、结束语
翻转课堂革新了传统的教育理念和教学思想，它在一定程度上可以改变传统教学模式的弊端。将翻转课堂引入研究生数值分析课程的教学中，有利于对学生综合素质的培养。通过组织学生合作解决实际问题，在解决问题的过程中采用翻转课堂教学模式，利用教师录制的视频进行灵活、自主学习，达到培养学生自主学习的能力、团结协作的能力、解决实际问题的能力以及创新能力等综合性能力的目的，从而让他们更好地将数值分析知识应用到将来的研究工作中。
参考文献：
[1]徐永贵，刘成新.翻转课堂教学实践探索研究[J].曲阜师范大学学报，2015，（1）.
[2]张金磊，王颖，张宝辉.翻转课堂教学模式研究[J].远程教育杂志，2012，（4）.
[3]何朝阳，欧玉芳，曹祁.美国大学翻转课堂教学模式的启示[J].高等工程教育研究，2014，（2）.
[4]朱宏杰，朱赟.翻转课堂及其有效实施策略刍议[J].电化教育研究，2013，（8）.
[5]王凤秋，玄琳琳.“翻转课堂”与高校研究生教学模式改革[J].黑龙江高教研究，2017，（1）：153-155.
[6]张春蕊，郑宝东.对理工院校研究生公共数学课程群建设的认识与实践[J].教书育人，2010，（4）：87-90.
[7]高凌云.美国研究生教育中数学课程设置的启示[J].高等理科教育，2010，（6）：66-68.
[8]刘三明.基于创新和应用能力的数值分析课程教学研究与实践[J].大学教育，2016，（2）：130-131.
[9]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].5版.北京：清华大学出版社，2010.