“平方差公式”的变形与应用

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  平方差公式(a b)(a-b)=a2-b2是七年级有理数运算中一个重要的乘法公式,也是同学们解题时常出错的难点.在进行运算时,若能根据公式的结构特征(即有一项完全相同,另一项互为相反数的两个二项式相乘,积是相同项的平方与相反项的平方的差),选择适当的方法,灵活应用公式,可使问题化繁为简,收到事半功倍的效果.
  
  一、找准a,b,正确套用
  例1计算(-3x-5)(3x-5).
  分析:两个因式中-5是相同项,3x是相反项.即-5相当于公式中的a,3x相当于公式中的b.
  解:(-3x-5)(3x-5)=(-5)2-(3x)2
  =25-9x2.
  
  二、改变系数,灵活套用
  例2计算(2a 4b)(a-2b).
  分析:观察题目的特点,将(2a 4b)提取系数2后,得2(a 2b),再观察可直接套用公式.
  解:(2a 4b)(a-2b)=2(a 2b)(a-2b)
  =2(a2-4b2)
  =2a2-8b2.
  
  三、巧妙组合,分组应用
  例3计算(a-b c-d)(a b-c-d).
  分析:两个因式中的a,d前边的符号分别相同,而b,c前边的符号分别相反,所以可进行适当的变化,再用平方差公式解决.
  解:(a-b c-d)(a b-c-d)=[(a-d)-(b-c)][(a-d) (b-c)]
  =(a-d)2-(b-c)2
  =a2-2ad d2-b2 2bc-c2.
  例4计算(x-y)(x2 y2)(x y)(x4 y4).
  分析:观察本题特点,可调整顺序连续使用平方差公式.
  解:(x-y)(x2 y2)(x y)(x4 y4)
  =(x-y)(x y)(x2 y2)(x4 y4)
  =(x2-y2)(x2 y2)(x4 y4)
  =(x4-y4)(x4 y4)
  =(x4)2-(y4)2
  =x8-y8.
  
  四、因题而异,逆向使用
  例5计算(x 2y-3z)2-(x-2y 3z)2.
  分析:观察题目特点,可逆用公式.
  解:(x 2y-3z)2-(x-2y 3z)2
  =[(x 2y-3z) (x-2y 3z)][(x 2y-3z)-(x-2y 3z)]
  =[x 2y-3z x-2y 3z][x 2y-3z-x 2y-3z]
  =2x(4y-6z)
  =8xy-12xz.
  
  五、拆项变形,重组使用
  例6计算(a-b 1)(a b-3).
  分析:观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式,然后利用平方差公式计算.
  解:(a-b 1)(a b-3)
  =(a-b 2-1)(a b-2-1)
  =[(a-1)-(b-2)][(a-1) (b-2)]
  =(a-1)2-(b-2)2
  =a2-2a 1-b2 4b-4
  =a2-2a-b2 4b-3.
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