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平方差公式(a b)(a-b)=a2-b2是七年级有理数运算中一个重要的乘法公式,也是同学们解题时常出错的难点.在进行运算时,若能根据公式的结构特征(即有一项完全相同,另一项互为相反数的两个二项式相乘,积是相同项的平方与相反项的平方的差),选择适当的方法,灵活应用公式,可使问题化繁为简,收到事半功倍的效果.
一、找准a,b,正确套用
例1计算(-3x-5)(3x-5).
分析:两个因式中-5是相同项,3x是相反项.即-5相当于公式中的a,3x相当于公式中的b.
解:(-3x-5)(3x-5)=(-5)2-(3x)2
=25-9x2.
二、改变系数,灵活套用
例2计算(2a 4b)(a-2b).
分析:观察题目的特点,将(2a 4b)提取系数2后,得2(a 2b),再观察可直接套用公式.
解:(2a 4b)(a-2b)=2(a 2b)(a-2b)
=2(a2-4b2)
=2a2-8b2.
三、巧妙组合,分组应用
例3计算(a-b c-d)(a b-c-d).
分析:两个因式中的a,d前边的符号分别相同,而b,c前边的符号分别相反,所以可进行适当的变化,再用平方差公式解决.
解:(a-b c-d)(a b-c-d)=[(a-d)-(b-c)][(a-d) (b-c)]
=(a-d)2-(b-c)2
=a2-2ad d2-b2 2bc-c2.
例4计算(x-y)(x2 y2)(x y)(x4 y4).
分析:观察本题特点,可调整顺序连续使用平方差公式.
解:(x-y)(x2 y2)(x y)(x4 y4)
=(x-y)(x y)(x2 y2)(x4 y4)
=(x2-y2)(x2 y2)(x4 y4)
=(x4-y4)(x4 y4)
=(x4)2-(y4)2
=x8-y8.
四、因题而异,逆向使用
例5计算(x 2y-3z)2-(x-2y 3z)2.
分析:观察题目特点,可逆用公式.
解:(x 2y-3z)2-(x-2y 3z)2
=[(x 2y-3z) (x-2y 3z)][(x 2y-3z)-(x-2y 3z)]
=[x 2y-3z x-2y 3z][x 2y-3z-x 2y-3z]
=2x(4y-6z)
=8xy-12xz.
五、拆项变形,重组使用
例6计算(a-b 1)(a b-3).
分析:观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式,然后利用平方差公式计算.
解:(a-b 1)(a b-3)
=(a-b 2-1)(a b-2-1)
=[(a-1)-(b-2)][(a-1) (b-2)]
=(a-1)2-(b-2)2
=a2-2a 1-b2 4b-4
=a2-2a-b2 4b-3.
一、找准a,b,正确套用
例1计算(-3x-5)(3x-5).
分析:两个因式中-5是相同项,3x是相反项.即-5相当于公式中的a,3x相当于公式中的b.
解:(-3x-5)(3x-5)=(-5)2-(3x)2
=25-9x2.
二、改变系数,灵活套用
例2计算(2a 4b)(a-2b).
分析:观察题目的特点,将(2a 4b)提取系数2后,得2(a 2b),再观察可直接套用公式.
解:(2a 4b)(a-2b)=2(a 2b)(a-2b)
=2(a2-4b2)
=2a2-8b2.
三、巧妙组合,分组应用
例3计算(a-b c-d)(a b-c-d).
分析:两个因式中的a,d前边的符号分别相同,而b,c前边的符号分别相反,所以可进行适当的变化,再用平方差公式解决.
解:(a-b c-d)(a b-c-d)=[(a-d)-(b-c)][(a-d) (b-c)]
=(a-d)2-(b-c)2
=a2-2ad d2-b2 2bc-c2.
例4计算(x-y)(x2 y2)(x y)(x4 y4).
分析:观察本题特点,可调整顺序连续使用平方差公式.
解:(x-y)(x2 y2)(x y)(x4 y4)
=(x-y)(x y)(x2 y2)(x4 y4)
=(x2-y2)(x2 y2)(x4 y4)
=(x4-y4)(x4 y4)
=(x4)2-(y4)2
=x8-y8.
四、因题而异,逆向使用
例5计算(x 2y-3z)2-(x-2y 3z)2.
分析:观察题目特点,可逆用公式.
解:(x 2y-3z)2-(x-2y 3z)2
=[(x 2y-3z) (x-2y 3z)][(x 2y-3z)-(x-2y 3z)]
=[x 2y-3z x-2y 3z][x 2y-3z-x 2y-3z]
=2x(4y-6z)
=8xy-12xz.
五、拆项变形,重组使用
例6计算(a-b 1)(a b-3).
分析:观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式,然后利用平方差公式计算.
解:(a-b 1)(a b-3)
=(a-b 2-1)(a b-2-1)
=[(a-1)-(b-2)][(a-1) (b-2)]
=(a-1)2-(b-2)2
=a2-2a 1-b2 4b-4
=a2-2a-b2 4b-3.