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[摘要]近年来，广大学者对数学开放题的若干问题进行了广泛而充分的研讨，笔者认为数学教师也要与时俱进，根据新的问题，变换不同的角色，进行较好的定位，以适应教学的必须，以求收到事半功倍的成效。
[关键词]开放题 并存 开拓型教师
1、对开放题的认识
数学开放题，又称数学开放型题，或叫数学开放性题。这是一个并非业经“全国自然科学名词审定工作委员会”审定的规范数学名词，人们对它的理解不尽相同，说法各异。笔者从查阅的文献中看，比较有代表性的提法是：答案不同定或者条件不完备的题，称为开放题；答案不唯一的问题称为开放性问题；数学开放题是条件不完备，结论不确定的数学问题。
以上种种描述并非精确，至少在目前，我们对“开放题”这个名词用数学“形式化”的方法来予以界定是比较困难的，但我们不能因此而片面地理解其内涵。对此，笔者谈几点不成熟的认识。
第一，开放题的基本特征是答案的不唯一性，这已为广大学者达成共识。值得注意的是，我们这里所指的答案，应该是指问题本身的答案，而非形式上的答案。如解方程：|2x+1|-1=0。显然此方程的解有两个：x=0，x=-1，但其中任意一个不能单独地成为问题的正确答案。因此，此题的答案是唯一的，是一道封闭题。如果我们改变这个问题的设问方式：试找出使等式|2x+1|-1=0成立的实数x。这时方程的一个解或两个解都可以成为此题的正确答案。因此它具备了开放题的特征，可以认为是一道开放题。此外，我们在理解数学问题的答案时还应与数学命题的结论区别开来。这是两个不同的概念，不能混为一谈。
第二，相对于开放题而言，还有一种探索题，这种题型曾被不少学者认为是开放题，笔者认为有必要将这两者区别开来。
所谓探索题是按数学题构成要素标准进行分类的一种题型。通常一个数学问题包含四个要素，即题设条件、解题方法、解题依据、问题结论，按四个要素的多少，便可得出按构成要素分析分类的各种题型。若四个要素中有两个要素是未知的，则此题便称为探索题。当然在这两个未知要素中至少有一个是题目的结论或条件，且构成数学问题的要素中至少有一个要素需由解题者通过观察和比较、分析与综合、试验与归纳、猜想与探索的过程来加以明确。而开放题的主要特征是答案不唯一，并在设问方式上要求解题者进行多方面、多角度、多层次的探索。尽管它们都离不开探索，但探索的目的和自由度是不一样的。前者主要是对未知要素加以探索，思维有一定的方向性；后者则主要要求在设问方式上进行多方探索，思维呈发散性。因而后者是更高一级的探索。如：有一块长4米、宽3米的园地。现在园地辟一个花圃，使花圃的面积是原园地的一半，问如何设计?此题的条件和结论都给出，要探讨的是解题策略。到底用什么方法求解，解题者可依据自身的知识和经验，展开想象的翅膀，可将花圃设计成矩形、梯形、三角形等各式各样的图形，此时思维完全呈发散性，具有较大的自由度。因而此题当属开放题。
第三，开放题应该是相对于特定经验和知识水平的一类学生而言的。一个问题是不是开放。特别是对一些开放度比较低的问题，更是要视其对象自身的经验和知识水平而论。一般说来，知识越多，经验越丰富，问题的开放度相应地也就要求高一些。如：试尽可能地找出使不等式成立的实数。此题对于已学过一元二次不等式解法的学生而言不能说是一道开放题，但对于一个未学过这一知识的学生而言却是一道开放题。这就是说，我们在判断一个问题是否是开放题时，一是要看问题本身，二是要考虑学生的基础知识层面。
2、开放题与封闭题并存
所谓传统的封闭题是指具有完备的条件和固定答案的习题，解这类题有定向的解题方法和一定的思维模式。开放题则具有条件不完备或答案不确定的显著特征，问题解决的策略具有非常规性、发散性和创新性，问题的研究具有探索性和发展性，问题的教学具有参与性。正因为如此，它们在教学中所起的作用也不尽相同。前者定向性强，有利于在不同条件下重复思维操作，常被用作巩固数学知识、技能、方法，以强化思维定势的练习题和测试题。后者则思维的空间大，不同的个体可以根据自身的经验和能力水平，提出自己的解题思路，获得不同的解题方法，有利于培养学生的创新意识和实践能力，有较高层次的思维训练价值。
按照皮亚杰发生认识论的观点，封闭题主要引起认知结构的同化，而开放题则引起认知结构的顺应。同化能引起量的变化，而顺应则引起质的变化。根据这一观点，封闭题、开放题应该是各有千秋，它们在教学中应该并存而非相互排斥。一般说来，若我们的教学是巩固知识，则选用封闭题较为妥当；若要构建新的认知结构，培养高层次的思维，则当选开放题比较适宜。封闭题是开放题的基础，开放题是封闭题的发展。
我们知道，封闭题在目前的数学教育、数学教学中仍有着举足轻重的作用。具体表现在作为例题、习题和测验题的这些问题在教材中占据了大部分篇幅。而且在目前，我们的教学评估仍是指向知识、技能、原理和它们的适用性。我们的考试模式仍以封闭题为主，教材中大量的习题都是以封闭题的形式出现，我们的教学仍以封闭题为主。因此笔者认为：至少在当前，我们的教学重点还应放在封闭题上，以封闭题为主，以开放题为辅。在封闭题的教学中，注意增加若干挑战性的问题，渗透一些开放的意识，不断改进我们的教学方法。
3、开放题教学需要开拓型教师
在开放题教学中，教师的素质是一个十分关键的因素。开放题教学需要开拓型教师，要求教师具有一种新的素质。教师不仅要具备传统意义上的专业素质，还应具有创新能力和自觉反省自身数学观、教育价值观和教学观的意识。这些要求需要我们重新审视教师的权威作用，对教师的角色重新定位。教师不再是知识的“统治”者，而应成为教学内容和教学活动的指导者、引导者、示范者、组织者，教师的主要职责是为学生的主动积极学习建构良好的条件和宽松的氛围，其作用主要在于从理论和方法上给学生提供及时、适宜的指导和帮助。
教师作为教学的指导者，一方面要求教师要能抓住学生的思维动态，另一方面则要求教师在学生思维受阻时给一些适宜的点拨和启发，将思考和想象的空间留给学生，而不是主要指出学生的问题所在，然后通过答疑、解惑，想方设法把学生的思维纳入到自己唯一的思路上去，以得出教师心中早有的标准答案。这里的给予包括知识的给予和学习方法上的给予，开放题教学更侧重于方法的给予。
教师作为学生自主学习的引导者，应当是关键时刻给予指导和支持的导师和引路人。首先教师应根据教学实际，激发学生的学习欲望，引导学生积极主动学习，促进学生的发展；其次教师应该能够在学生学习碰到困难时给予适时、适当的指点和支持，帮助学生更好地获取知识和发展能力。另外，教师还要能够在教学的过程中留下供学生进一步思考的问题，通过对问题的深层次探索，引导学生进入更高阶段的学习，培养学生高层次的思维。
教师作为教学示范者，传授知识不应单纯地照本宣讲，而应通过自身创造性的劳动向学生展示数学知识发生发展的过程，暴露数学思维的过程，通过自己的言传身教使学生领会开放题的本质特点，掌握正确的思维，学会数学地思维。
教师作为教学的组织者，应该在指导学生学习的同时，还能做好学生学习的组织协调工作。我们知道，开放题教学中学生的活动是相对分散、自主管理的，不同组际之间会出现不同问题，学生与学生之间因对问题的理解不一还会发生各种意见分歧。这些都需要教师组织、协调，使得个体的活动情况和全班的活动进程得到及时适当的反馈和及时的调整，
上述教师所“扮演”的各种角色并不是互相独立、互不相干的，在具体的教学中，教师是以这些角色的复合体出现，而不是以其中某一角色孤立地出现。这种复合体的角色也就是我们实施开放题教学中对开拓型教师所提出具体的要求。
[关键词]开放题 并存 开拓型教师
1、对开放题的认识
数学开放题，又称数学开放型题，或叫数学开放性题。这是一个并非业经“全国自然科学名词审定工作委员会”审定的规范数学名词，人们对它的理解不尽相同，说法各异。笔者从查阅的文献中看，比较有代表性的提法是：答案不同定或者条件不完备的题，称为开放题；答案不唯一的问题称为开放性问题；数学开放题是条件不完备，结论不确定的数学问题。
以上种种描述并非精确，至少在目前，我们对“开放题”这个名词用数学“形式化”的方法来予以界定是比较困难的，但我们不能因此而片面地理解其内涵。对此，笔者谈几点不成熟的认识。
第一，开放题的基本特征是答案的不唯一性，这已为广大学者达成共识。值得注意的是，我们这里所指的答案，应该是指问题本身的答案，而非形式上的答案。如解方程：|2x+1|-1=0。显然此方程的解有两个：x=0，x=-1，但其中任意一个不能单独地成为问题的正确答案。因此，此题的答案是唯一的，是一道封闭题。如果我们改变这个问题的设问方式：试找出使等式|2x+1|-1=0成立的实数x。这时方程的一个解或两个解都可以成为此题的正确答案。因此它具备了开放题的特征，可以认为是一道开放题。此外，我们在理解数学问题的答案时还应与数学命题的结论区别开来。这是两个不同的概念，不能混为一谈。
第二，相对于开放题而言，还有一种探索题，这种题型曾被不少学者认为是开放题，笔者认为有必要将这两者区别开来。
所谓探索题是按数学题构成要素标准进行分类的一种题型。通常一个数学问题包含四个要素，即题设条件、解题方法、解题依据、问题结论，按四个要素的多少，便可得出按构成要素分析分类的各种题型。若四个要素中有两个要素是未知的，则此题便称为探索题。当然在这两个未知要素中至少有一个是题目的结论或条件，且构成数学问题的要素中至少有一个要素需由解题者通过观察和比较、分析与综合、试验与归纳、猜想与探索的过程来加以明确。而开放题的主要特征是答案不唯一，并在设问方式上要求解题者进行多方面、多角度、多层次的探索。尽管它们都离不开探索，但探索的目的和自由度是不一样的。前者主要是对未知要素加以探索，思维有一定的方向性；后者则主要要求在设问方式上进行多方探索，思维呈发散性。因而后者是更高一级的探索。如：有一块长4米、宽3米的园地。现在园地辟一个花圃，使花圃的面积是原园地的一半，问如何设计?此题的条件和结论都给出，要探讨的是解题策略。到底用什么方法求解，解题者可依据自身的知识和经验，展开想象的翅膀，可将花圃设计成矩形、梯形、三角形等各式各样的图形，此时思维完全呈发散性，具有较大的自由度。因而此题当属开放题。
第三，开放题应该是相对于特定经验和知识水平的一类学生而言的。一个问题是不是开放。特别是对一些开放度比较低的问题，更是要视其对象自身的经验和知识水平而论。一般说来，知识越多，经验越丰富，问题的开放度相应地也就要求高一些。如：试尽可能地找出使不等式成立的实数。此题对于已学过一元二次不等式解法的学生而言不能说是一道开放题，但对于一个未学过这一知识的学生而言却是一道开放题。这就是说，我们在判断一个问题是否是开放题时，一是要看问题本身，二是要考虑学生的基础知识层面。
2、开放题与封闭题并存
所谓传统的封闭题是指具有完备的条件和固定答案的习题，解这类题有定向的解题方法和一定的思维模式。开放题则具有条件不完备或答案不确定的显著特征，问题解决的策略具有非常规性、发散性和创新性，问题的研究具有探索性和发展性，问题的教学具有参与性。正因为如此，它们在教学中所起的作用也不尽相同。前者定向性强，有利于在不同条件下重复思维操作，常被用作巩固数学知识、技能、方法，以强化思维定势的练习题和测试题。后者则思维的空间大，不同的个体可以根据自身的经验和能力水平，提出自己的解题思路，获得不同的解题方法，有利于培养学生的创新意识和实践能力，有较高层次的思维训练价值。
按照皮亚杰发生认识论的观点，封闭题主要引起认知结构的同化，而开放题则引起认知结构的顺应。同化能引起量的变化，而顺应则引起质的变化。根据这一观点，封闭题、开放题应该是各有千秋，它们在教学中应该并存而非相互排斥。一般说来，若我们的教学是巩固知识，则选用封闭题较为妥当；若要构建新的认知结构，培养高层次的思维，则当选开放题比较适宜。封闭题是开放题的基础，开放题是封闭题的发展。
我们知道，封闭题在目前的数学教育、数学教学中仍有着举足轻重的作用。具体表现在作为例题、习题和测验题的这些问题在教材中占据了大部分篇幅。而且在目前，我们的教学评估仍是指向知识、技能、原理和它们的适用性。我们的考试模式仍以封闭题为主，教材中大量的习题都是以封闭题的形式出现，我们的教学仍以封闭题为主。因此笔者认为：至少在当前，我们的教学重点还应放在封闭题上，以封闭题为主，以开放题为辅。在封闭题的教学中，注意增加若干挑战性的问题，渗透一些开放的意识，不断改进我们的教学方法。
3、开放题教学需要开拓型教师
在开放题教学中，教师的素质是一个十分关键的因素。开放题教学需要开拓型教师，要求教师具有一种新的素质。教师不仅要具备传统意义上的专业素质，还应具有创新能力和自觉反省自身数学观、教育价值观和教学观的意识。这些要求需要我们重新审视教师的权威作用，对教师的角色重新定位。教师不再是知识的“统治”者，而应成为教学内容和教学活动的指导者、引导者、示范者、组织者，教师的主要职责是为学生的主动积极学习建构良好的条件和宽松的氛围，其作用主要在于从理论和方法上给学生提供及时、适宜的指导和帮助。
教师作为教学的指导者，一方面要求教师要能抓住学生的思维动态，另一方面则要求教师在学生思维受阻时给一些适宜的点拨和启发，将思考和想象的空间留给学生，而不是主要指出学生的问题所在，然后通过答疑、解惑，想方设法把学生的思维纳入到自己唯一的思路上去，以得出教师心中早有的标准答案。这里的给予包括知识的给予和学习方法上的给予，开放题教学更侧重于方法的给予。
教师作为学生自主学习的引导者，应当是关键时刻给予指导和支持的导师和引路人。首先教师应根据教学实际，激发学生的学习欲望，引导学生积极主动学习，促进学生的发展；其次教师应该能够在学生学习碰到困难时给予适时、适当的指点和支持，帮助学生更好地获取知识和发展能力。另外，教师还要能够在教学的过程中留下供学生进一步思考的问题，通过对问题的深层次探索，引导学生进入更高阶段的学习，培养学生高层次的思维。
教师作为教学示范者，传授知识不应单纯地照本宣讲，而应通过自身创造性的劳动向学生展示数学知识发生发展的过程，暴露数学思维的过程，通过自己的言传身教使学生领会开放题的本质特点，掌握正确的思维，学会数学地思维。
教师作为教学的组织者，应该在指导学生学习的同时，还能做好学生学习的组织协调工作。我们知道，开放题教学中学生的活动是相对分散、自主管理的，不同组际之间会出现不同问题，学生与学生之间因对问题的理解不一还会发生各种意见分歧。这些都需要教师组织、协调，使得个体的活动情况和全班的活动进程得到及时适当的反馈和及时的调整，
上述教师所“扮演”的各种角色并不是互相独立、互不相干的，在具体的教学中，教师是以这些角色的复合体出现，而不是以其中某一角色孤立地出现。这种复合体的角色也就是我们实施开放题教学中对开拓型教师所提出具体的要求。