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【摘要】将初高中函数概念进行比较，探索在初中教学函数概念时，如何让学生在逻辑上更完善，认识上更容易，寻求简洁的途径，引导学生形成正确的函数概念，为高中函数概念的教学作好铺垫。
【关键词】函数概念教学 教学衔接 初中数学
函数是高中数学中极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿了整个高中数学的全过程。这部分知识对学生来说，无论是学习掌握，还是实际运用都是一个难点，不少高一学生在学习这部分知识时，一方面由于还不适应高中的教学方式和教学节奏，另一方面由于知识本身的难度，学起来尤为困难。其实学生在初中阶段时，从初二上期就开始学习函数，从整个初中数学阶段看，学生学习的范围已涉及到函数的概念及性质、函数的图象及平移、函数与方程、不等式的关系等，应该说高中阶段函数这部分的学习，是初中的延伸和加深，但许多学生在理解掌握时，衔接得并不是很好。我想如果在初中阶段的函数教学中，教师在某些地方知识上不必加深，但可以多给学生一点提醒点拨，使他们能更加透彻地理解这部分知识，这对他们升入高中的后续学习应该是有帮助的。而从初高中的函数学习中，我们可以发现，函数概念及其应用是中学数学知识的基础，也是初高中数学教学衔接的关键。下面谈一些我个人在教学初中函数概念时的体会。
我们都知道，初高中数学中都给出了函数的定义。高中数学中给出的是函数的传统定义和近代定义，而初中数学只给出了函数的传统定义，这两个定义从本质上说是一致的，只是叙述时的出发点不同。比较而言，传统定义更易为初中生所理解，近代定义从集合的观点来定义函数则比较抽象，学生理解起来较困难。在高中阶段学习函数定义时，定义中包含了函数的三个要素：定义域、值域和对应法则，并且由此可知道，一个函数由它的定义域和对应法则所确定，而在初中学习函数定义时虽然也涉及到函数的取值范围，但没有明确提出函数的定义域和对应法则，但为了让学生在高中的后续学习中不感到陌生，我们可以通过习题让学生认识到这一点，例如：初中阶段我们做过这样一道填空题：“在（1）y=x与y=x2 （2）y=x2 与y=（x）2 （3）y=x+1与y=x2-1x-1 （4）y=x0 与y=1 （5）y=|x|与 y=x2这五组函数中，表示同一函数的有”教师通过分析这五组函数，可以充分让学生体会到两个函数相同的必要条件，即必须自变量的取值范围（定义域）相同，同时函数解析式（对应法则）相同，为后续学习埋下伏笔。再比如说，初高中数学中都会学到函数的表示方法有：解析式法、列表法、图像法，而在初二上期学习函数的图象时，教材中有这样一道思考题：“如图，a是自变量x取值范围内的任意一个值，过（a，0）画y轴的平行线，与图中曲线相交，下列哪个图中的曲线表示y是x的函数？为什么？”
教师教学时，可以此为例，利用这道题引导学生从图象上深刻理解函数定义中“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，教师强调“每一个”“唯一”等字眼，让学生从图中去体会，从而让抽象的函数概念具体化。为了让学生从另一个角度理解这一点， 也为了便于学生在高中学习函数概念时，正确理解变量x与y之间“一对一或多对一”的映射关系，在初中教学函数概念时，课堂上我还会举这样两个例子：“解析式y=x2中，y是x的函数吗？”学生稍加思索，会回答y是x的函数，教师接下来再问：“那么在解析式 y2=x中，y仍是x的函数吗？”，初学函数概念时，许多学生只注意到这两个解析式里都有两个变量x、y，他们会回答y仍是x的函数，然后我会继续问：那么对于第二个解析式，当x=1时，y的对应值为多少？这时学生会算出y值为±1，这时教师自然就可以指出，这个解析式不符合函数的定义，因为变量x与y之间出现了“一对多”，这样就能让学生通过反例从解析式的角度更完整地理解函数的概念。
从上可知，无论是初中阶段函数的传统定义还是高中阶段函数的近代定义，其本质都是运动变化表现在变量之间的对应关系，而且函数与自变量之间是单值对应关系。只是在初中学习函数时，学生接触到的一次函数、二次函数、反比例函数等，绝大部分是连续的，这容易给学生形成误解。当他们进入到高中阶段，接触到更加多样的函数形式，比如常数函数、分段函数、离散的点时，就会对他们正确理解函数概念形成干扰。针对这点，在初中教学函数概念时，教師应从初始就向学生渗透函数的对应思想，让学生感受函数的本质，而不拘泥于常见的几种函数解析形式。比如初二上期数学教材中有这样一道例题：
“黄金一号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子的价格打8折。
（1）填写下表：
购买种子数量/千克0.511.522.533.54…
付款金额/元
（2）写出购买种子数量与付款金额之间的函数解析式，并画出函数图象。教师通过引导学生对这道题进行分析、讨论，可让学生初步接触分段函数。在教材安排的复习题中，还有这样一道题：“小亮为赞助‘希望工程’现已存款100元，他计划今后三年每月存款10元，存款总数y（单位：元）将随时间x（单位：月）的变化而改变。指出其中的常量与变量，自变量与函数。试写出函数解析式。”当学生写出函数解析式y=10x+100（0≤x≤36，x为整数）时，教师可让他们试着画出函数的图象，可看到图象是一些离散的点，使学生从中体会到函数形式的变化，这些过程都能让他们在后续学习中加深对函数概念的认识。
总之，初高中函数教学的衔接点很多，本文只涉及了函数概念这部分知识点，还很不全面。对于这个课题的研究还有待于我们初高中教师的共同努力，才能达到更理想的效果。
【关键词】函数概念教学 教学衔接 初中数学
函数是高中数学中极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿了整个高中数学的全过程。这部分知识对学生来说，无论是学习掌握，还是实际运用都是一个难点，不少高一学生在学习这部分知识时，一方面由于还不适应高中的教学方式和教学节奏，另一方面由于知识本身的难度，学起来尤为困难。其实学生在初中阶段时，从初二上期就开始学习函数，从整个初中数学阶段看，学生学习的范围已涉及到函数的概念及性质、函数的图象及平移、函数与方程、不等式的关系等，应该说高中阶段函数这部分的学习，是初中的延伸和加深，但许多学生在理解掌握时，衔接得并不是很好。我想如果在初中阶段的函数教学中，教师在某些地方知识上不必加深，但可以多给学生一点提醒点拨，使他们能更加透彻地理解这部分知识，这对他们升入高中的后续学习应该是有帮助的。而从初高中的函数学习中，我们可以发现，函数概念及其应用是中学数学知识的基础，也是初高中数学教学衔接的关键。下面谈一些我个人在教学初中函数概念时的体会。
我们都知道，初高中数学中都给出了函数的定义。高中数学中给出的是函数的传统定义和近代定义，而初中数学只给出了函数的传统定义，这两个定义从本质上说是一致的，只是叙述时的出发点不同。比较而言，传统定义更易为初中生所理解，近代定义从集合的观点来定义函数则比较抽象，学生理解起来较困难。在高中阶段学习函数定义时，定义中包含了函数的三个要素：定义域、值域和对应法则，并且由此可知道，一个函数由它的定义域和对应法则所确定，而在初中学习函数定义时虽然也涉及到函数的取值范围，但没有明确提出函数的定义域和对应法则，但为了让学生在高中的后续学习中不感到陌生，我们可以通过习题让学生认识到这一点，例如：初中阶段我们做过这样一道填空题：“在（1）y=x与y=x2 （2）y=x2 与y=（x）2 （3）y=x+1与y=x2-1x-1 （4）y=x0 与y=1 （5）y=|x|与 y=x2这五组函数中，表示同一函数的有”教师通过分析这五组函数，可以充分让学生体会到两个函数相同的必要条件，即必须自变量的取值范围（定义域）相同，同时函数解析式（对应法则）相同，为后续学习埋下伏笔。再比如说，初高中数学中都会学到函数的表示方法有：解析式法、列表法、图像法，而在初二上期学习函数的图象时，教材中有这样一道思考题：“如图，a是自变量x取值范围内的任意一个值，过（a，0）画y轴的平行线，与图中曲线相交，下列哪个图中的曲线表示y是x的函数？为什么？”
教师教学时，可以此为例，利用这道题引导学生从图象上深刻理解函数定义中“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，教师强调“每一个”“唯一”等字眼，让学生从图中去体会，从而让抽象的函数概念具体化。为了让学生从另一个角度理解这一点， 也为了便于学生在高中学习函数概念时，正确理解变量x与y之间“一对一或多对一”的映射关系，在初中教学函数概念时，课堂上我还会举这样两个例子：“解析式y=x2中，y是x的函数吗？”学生稍加思索，会回答y是x的函数，教师接下来再问：“那么在解析式 y2=x中，y仍是x的函数吗？”，初学函数概念时，许多学生只注意到这两个解析式里都有两个变量x、y，他们会回答y仍是x的函数，然后我会继续问：那么对于第二个解析式，当x=1时，y的对应值为多少？这时学生会算出y值为±1，这时教师自然就可以指出，这个解析式不符合函数的定义，因为变量x与y之间出现了“一对多”，这样就能让学生通过反例从解析式的角度更完整地理解函数的概念。
从上可知，无论是初中阶段函数的传统定义还是高中阶段函数的近代定义，其本质都是运动变化表现在变量之间的对应关系，而且函数与自变量之间是单值对应关系。只是在初中学习函数时，学生接触到的一次函数、二次函数、反比例函数等，绝大部分是连续的，这容易给学生形成误解。当他们进入到高中阶段，接触到更加多样的函数形式，比如常数函数、分段函数、离散的点时，就会对他们正确理解函数概念形成干扰。针对这点，在初中教学函数概念时，教師应从初始就向学生渗透函数的对应思想，让学生感受函数的本质，而不拘泥于常见的几种函数解析形式。比如初二上期数学教材中有这样一道例题：
“黄金一号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子的价格打8折。
（1）填写下表：
购买种子数量/千克0.511.522.533.54…
付款金额/元
（2）写出购买种子数量与付款金额之间的函数解析式，并画出函数图象。教师通过引导学生对这道题进行分析、讨论，可让学生初步接触分段函数。在教材安排的复习题中，还有这样一道题：“小亮为赞助‘希望工程’现已存款100元，他计划今后三年每月存款10元，存款总数y（单位：元）将随时间x（单位：月）的变化而改变。指出其中的常量与变量，自变量与函数。试写出函数解析式。”当学生写出函数解析式y=10x+100（0≤x≤36，x为整数）时，教师可让他们试着画出函数的图象，可看到图象是一些离散的点，使学生从中体会到函数形式的变化，这些过程都能让他们在后续学习中加深对函数概念的认识。
总之，初高中函数教学的衔接点很多，本文只涉及了函数概念这部分知识点，还很不全面。对于这个课题的研究还有待于我们初高中教师的共同努力，才能达到更理想的效果。