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摘要：国债收益率曲线是重要的无风险利率基准，构建完善和准确的收益率曲线是非常重要的。但是，由于我国国债发行结构存在一定优化空间，国债收益率曲线中短期限的拟合效果较差。本文利用分段三次Hermite插值法和美国的国债数据，在剔除美国2年及以下期限国债发行的假设条件下，研究中短期国债价格信息对国债收益率曲线的影响。根据研究结论，提出应该增加中短期国债发行，以提高国债收益率曲线拟合效果的建议。
关键词：国债 收益率曲线 发行结构 Hermite插值法
研究背景
国债收益率曲线是重要的无风险利率基准，承担着反映不同期限资金供求情况、提供信用债券定价基准、为宏观调控和货币政策实施提供参考，以及助力利率市场化程度深化等重要职能。因此，构建完善、准确、能够反映供求关系的收益率曲线是非常必要的。党的十八届三中全会指出，需要健全反映市场供求关系的国债收益率曲线，加快推进利率市场化进程。在此背景下，全面推进国债一、二级市场发展，对于健全国债收益率曲线这一政策目标有重要的现实意义。
在美国国债市场中，中短期国债的发行量较多且发行频率较高，为市场提供了丰富的价格信号，加之存量短期国债的交易频率较高，使得美国国债收益率曲线在中短期限上更加完整。而目前，国内发行的中短期国债以3个月、6个月、9个月、1年、3年等关键期限为主，与美国、德国等国家相比，我国中短期国债的发行量较少且发行频次较低。同时，我国的国债主要由商业银行购买，并且是出于资产配置的需求，一般会持有到期，由此存量国债的交易频率非常低。以上两个原因导致我国中短期国债交易信息缺失，并影响国债收益率曲线中短端的拟合效果。这进一步使得国债收益率曲线无法准确反映中短期资金供求关系，也阻碍了其发挥无风险利率基准的作用。
近年，优化国债发行结构以完善收益率曲线这一问题，引起了理论界和实务界的高度重视。胡勇和陈敏（2003）理论上论证了国债发行结构对收益率曲线构建的影响。邱峰（2014）论述了构建完善的收益率曲线对金融市场和财政政策的重要意义。中债指数专家指导委员会（2014）总结了编制国债收益率曲线的经验，并对国债一级和二级市场建设发展提出了建议。贾康（2016）论述了推出2年期国债对完善收益率曲线，以及发展国债期货市场的重要意义。
尽管从各种层面和视角研究这一问题的文献众多，但通过定量方法论证国债发行结构对收益率曲线构建的影响方面的文献仍较为缺乏。本文试图通过数据上的比较以及理论上的论证，定性与定量相结合研究在剔除美国2年及以下期限国债发行的假设条件下，中短期国债价格信息对收益率曲线拟合效果的影响，探讨完善国债发行结构，增进国债收益率曲线拟合效果的有效性。
研究方法
本文的研究主要是基于美国国债数据展开的，这是出于美国国债市场是最有代表性的国债市场、美国中短期国债的发行量和交易量都很大且美国国债收益率曲线拟合方法与我国一致等因素的考虑。本文的研究方法为设计一个假设的环境，即假设美国没有2年及以下期限品种国债的发行，并将此种情况与正常情况做对比。借此研究中短期国债发行对国债收益率曲线拟合效果的影响。
对于收益率曲线的拟合方法，收益率曲线静态拟合方法一般分为两类，即参数法和样条法。参数法是指根据单个参数函数来模拟利率期限结构，其代表模型有Nelson和Siegel（1987）构建的NS方法，以及其拓展形式。样条法主要是通过分段多项式构建平滑的收益率曲线，主要模型包括McCulloch（1971）提出的立方样条法，Fisher，Nychka和Zervos（1995）提出的平滑样条法等。我国和美国在收益率曲线的编制上，均选择了Hermite三次样条法。
具体来看：第一步，选取2015年全年美国的国债综合报价日数据，获取国债到期收益率数据；第二步，通过息票剥离法计算得到即期收益率数据；第三步，利用分段三次Hermite插值法，对每日关键期限上的国债即期收益率数据进行拟合；第四步，比较全样本和剔除2年及以下期限样本这两种情况下的收益率曲线拟合优度，如果剔除数据后收益率曲线的拟合优度显著变差，则说明增加发行中短期国债可以显著改善国债收益率曲线的拟合效果，反之则相反。
值得注意的是，本文采用的是美国国债综合报价数据。理论上，应该筛选出有实际交易量的债券，利用实际交易价格数据进行研究。但是，由于美国国债交易大部分是场外交易，很难获取相关交易信息，因此只能利用大机构的综合报价数据。而且报价是连续的，对于每只存量债券，即使没有交易也是有市场报价的。如果采用报价数据进行拟合，可以证明中短期国债的发行对收益率曲线拟合效果有重要的促进作用，则在交易数据样本下结论也将成立，且更为显著。这是因为存量债券的交易较少，新发行的中短期债券的价格信息将在拟合中发挥更大的作用。
下面，简要介绍拟合国债收益率曲线所采用的Hermite插值法的原理，以及判定拟合效果的均方预测误差（Mean Square Forecast Error，MSFE）准则。
分段三次Hermite插值法是利用未知函数f（x）在插值节点上的函数值与导数值来构造分段插值多项式，使得插值多项式在插值节点上与原函数保持函数值和导数值一致。对于已知导数的插值节点 ，分段三次Hermite插值法的公式如下：
其中，
，
由此构造出的分段三次Hermite插值多项式，能够保证在每一个插值节点上其函数值和导数值都是与原函数一致的。插值多项式是光滑的、可导的。
对于国债收益率曲线的拟合，首先选定关键插值节点，包括3个月、6个月、9个月、1年、2年、3年、4年、5年、6年、7年、8年、9年、10年、15年、20年、30年、40年及50年期）。再选择离关键插值节点最接近的国债即期利率水平，并通过一定的插值方法，得到节点的即期利率。以此为基础，通过上述Hermite插值方法，得到整条收益率曲线。 由于本文是利用分段三次Hermite插值法对关键节点的国债利率进行拟合，因此不能利用线性回归中的 来反映拟合优度。本文采用MSFE准则来反映插值多项式的拟合优度，具体计算方法如下：对于已知导数的节点 ，先选取关键数据作为插值节点 。在利用分段三次Hermite插值法拟合得到插值多项式后，利用其余非插值节点计算残差平方和，其均值即为本次插值拟合的MSFE。
假设利用插值节点 得到的分段三次插值多项式为P，根据P可以求得每个节点的预测函数值 ，假设非插值节点为 ，那么拟合的MSFE为：
根据前述方法，已经通过Hermite插值法得到整条收益率曲线。MSFE计算了所有未被筛选为关键插值节点的国债即期利率信息对收益率曲线的二次离差平均值。可见，MSFE能够很好地度量分段三次Hermite插值的拟合优度和拟合效果。
实证结果
本文采用的数据为美国国债基本数据和2015年全年的综合报价日数据，数据来源为Bloomberg。一共包含905只美国国债，其中包含556只零息债券和349只附息债券，有2只国债的面值数据缺失，故剔除该数据。在349只附息债券中，340只每半年付息一次，9只每季度付息一次。所有债券的发行主体都是美国，且采用的货币为美元。
综合报价数据的时间范围是2015年1月1日至2015年12月31日，共254个交易日的到期收益率日数据。由于部分国债是在2015年内发行的，因此在其发行日前的数据均为空白。
首先，获取每日全部国债的到期收益率、到期日、票息利率与面值信息。然后，通过息票剥离法计算相应零息债的即期收益率和到期期限。最后，通过分段三次Hermite插值法拟合得到国债收益率曲线。
图1展示了几个代表性时间点（2015年3月1日、5月1日、7月1日和9月1日）的国债收益率曲线拟合效果。
从图1可以看出收益率曲线的以下性质：其一，利用分段三次Hermite插值法拟合的国债收益率曲线整体走势是向右上方倾斜的。这与理论相符，即债券期限越长，风险越大，因此要求的利率越高。其二，拟合得到的收益率曲线在长期有下移趋势，原因可能是市场对于较长期限债券的需求相对较大，或者预期未来利率会降低，造成长期利率降低。其三，收益率曲线在中短期内呈现复杂的形态。观察收益率曲线中短期部分，2015年5月1日与和7月1日的收益率曲线短期内先出现下降趋势，再上升，在6个月处达到最低。而3月1日和9月1日的收益率曲线则呈逐步上升趋势。
接下来，研究全样本数据与不包含中短期数据的收益率曲线拟合效果差异。为此，我们选取四个时间节点的收益率曲线进行呈现。四个时间节点分别为2015年1月1日、5月1日、7月1日和11月1日，图2、图3、图4和图5分别为相应日期国债价格全样本数据与剔除了2年及以下期限国债价格数据拟合的收益率曲线对比。
从图2至图5可以看出，中短期国债价格数据对于国债收益率曲线中短期限的拟合有着较大的影响。我们清晰地观察到，在全样本拟合情况下，收益率曲线呈现出比较合理的上升趋势或者先下降后上升的趋势。而在2年及以下期限国债数据被剔除的情况下，收益率曲线中短期形状随之发生了显著改变。具体而言，1月1日的收益率曲线中短端发生了显著上升；5月1日和7月1日的收益率曲线短端发生了小幅下降；11月1日收益率曲线2年期的收益率发生了显著上升。
为了更严谨地证明2年及以下期限国债在健全国债收益率曲线上的重要性，下面将量化评估两组样本下收益率曲线的拟合效果。本文采用MSFE 准则反映不同样本拟合优度的差异。MSFE准则是针对一组样本拟合的算法，而本研究实际是对两组样本（全样本数据为组一，不包含2年及以下期限数据的为组二）拟合优度的比较，在评估准则设计上，应避免拟合精度与参与拟合样本量成正比的一般性规律的影响。因此，评估拟合效果用到的MSFE准则的计算方法调整为，在完成了所有拟合过程后，计算每组拟合中非插值节点的实际值与预测值的二次离差和，再除以非插值节点的个数。以此方法计算每组的MSFE，具体如下：假设 为第t次拟合中用到的插值节点，而 为该次拟合的非插值节点，其中 。N表示每一组拟合次数，则该组拟合的总体MSFE为： ，其中 。
利用上述方法，我们计算了两个样本组的MSFE。表1是2015年各月两个组别的MSFE描述性统计结果。
从表1可以看出，对于2015年任意一个月，ΔMSFE都是小于零的，即全样本拟合的MSFE总是小于剔除掉2年及以下期限国债数据样本拟合的MSFE。拟合的MSFE越小，代表其拟合优度和拟合效果越好。即对2015年任意一个月的国债收益率曲线拟合效果而言，全样本的拟合优度都要高于剔除2年及以下期限样本的拟合优度。对2015年整体而言，情况也如此。
以上结果说明，剔除中短期国债数据的收益率曲线拟合效果比包含中短期国债数据的拟合效果差，即国债发行期限结构的优化和改善，能够提高收益率曲线的拟合优度。同时也说明，如果能够增加若干中短期限为国债关键期限，提高中短期国债的发行频率和发行量，会为市场提供更多的有效价格信息，促进收益率曲线拟合效果的提高。（感谢中国金融期货交易所课题“健全国债收益率曲线，优化国债发行期限结构问题研究”对本研究的资助）
作者单位：中国人民大学财政金融学院
责任编辑：宋旸 罗邦敏
参考文献
[1]胡勇、陈敏：《从国债收益率曲线看我国国债发行的问题》，载《重庆工商大学学报》，2003（10）。
[2]贾康：《建议尽快推出2年期国债期货》，载《证券时报网》，2016。
[3]邱峰：《我国国债收益率曲线研究》，载《金融纵横》，2014（6）。
[4]中债指数专家指导委员会：《完善债券市场制度建设 健全国债收益率曲线——中债指数专家指导委员会第十次会议综述》，2014。
[5]Fisher M， Nychka D W， Zervos D.： Fitting the term structure of interest rates with smoothing splines， Finance & Economics Discussion， 31（2）， p14-27， 1995.
[6]McCulloch J H.： Measuring the term structure of interest rates， Journal of Business， p19-31， 1971.
[7]Nelson C R， Siegel A F： Parsimonious modeling of yield curves， Journal of Business， 60（4）， p473-489， 1987.
关键词：国债 收益率曲线 发行结构 Hermite插值法
研究背景
国债收益率曲线是重要的无风险利率基准，承担着反映不同期限资金供求情况、提供信用债券定价基准、为宏观调控和货币政策实施提供参考，以及助力利率市场化程度深化等重要职能。因此，构建完善、准确、能够反映供求关系的收益率曲线是非常必要的。党的十八届三中全会指出，需要健全反映市场供求关系的国债收益率曲线，加快推进利率市场化进程。在此背景下，全面推进国债一、二级市场发展，对于健全国债收益率曲线这一政策目标有重要的现实意义。
在美国国债市场中，中短期国债的发行量较多且发行频率较高，为市场提供了丰富的价格信号，加之存量短期国债的交易频率较高，使得美国国债收益率曲线在中短期限上更加完整。而目前，国内发行的中短期国债以3个月、6个月、9个月、1年、3年等关键期限为主，与美国、德国等国家相比，我国中短期国债的发行量较少且发行频次较低。同时，我国的国债主要由商业银行购买，并且是出于资产配置的需求，一般会持有到期，由此存量国债的交易频率非常低。以上两个原因导致我国中短期国债交易信息缺失，并影响国债收益率曲线中短端的拟合效果。这进一步使得国债收益率曲线无法准确反映中短期资金供求关系，也阻碍了其发挥无风险利率基准的作用。
近年，优化国债发行结构以完善收益率曲线这一问题，引起了理论界和实务界的高度重视。胡勇和陈敏（2003）理论上论证了国债发行结构对收益率曲线构建的影响。邱峰（2014）论述了构建完善的收益率曲线对金融市场和财政政策的重要意义。中债指数专家指导委员会（2014）总结了编制国债收益率曲线的经验，并对国债一级和二级市场建设发展提出了建议。贾康（2016）论述了推出2年期国债对完善收益率曲线，以及发展国债期货市场的重要意义。
尽管从各种层面和视角研究这一问题的文献众多，但通过定量方法论证国债发行结构对收益率曲线构建的影响方面的文献仍较为缺乏。本文试图通过数据上的比较以及理论上的论证，定性与定量相结合研究在剔除美国2年及以下期限国债发行的假设条件下，中短期国债价格信息对收益率曲线拟合效果的影响，探讨完善国债发行结构，增进国债收益率曲线拟合效果的有效性。
研究方法
本文的研究主要是基于美国国债数据展开的，这是出于美国国债市场是最有代表性的国债市场、美国中短期国债的发行量和交易量都很大且美国国债收益率曲线拟合方法与我国一致等因素的考虑。本文的研究方法为设计一个假设的环境，即假设美国没有2年及以下期限品种国债的发行，并将此种情况与正常情况做对比。借此研究中短期国债发行对国债收益率曲线拟合效果的影响。
对于收益率曲线的拟合方法，收益率曲线静态拟合方法一般分为两类，即参数法和样条法。参数法是指根据单个参数函数来模拟利率期限结构，其代表模型有Nelson和Siegel（1987）构建的NS方法，以及其拓展形式。样条法主要是通过分段多项式构建平滑的收益率曲线，主要模型包括McCulloch（1971）提出的立方样条法，Fisher，Nychka和Zervos（1995）提出的平滑样条法等。我国和美国在收益率曲线的编制上，均选择了Hermite三次样条法。
具体来看：第一步，选取2015年全年美国的国债综合报价日数据，获取国债到期收益率数据；第二步，通过息票剥离法计算得到即期收益率数据；第三步，利用分段三次Hermite插值法，对每日关键期限上的国债即期收益率数据进行拟合；第四步，比较全样本和剔除2年及以下期限样本这两种情况下的收益率曲线拟合优度，如果剔除数据后收益率曲线的拟合优度显著变差，则说明增加发行中短期国债可以显著改善国债收益率曲线的拟合效果，反之则相反。
值得注意的是，本文采用的是美国国债综合报价数据。理论上，应该筛选出有实际交易量的债券，利用实际交易价格数据进行研究。但是，由于美国国债交易大部分是场外交易，很难获取相关交易信息，因此只能利用大机构的综合报价数据。而且报价是连续的，对于每只存量债券，即使没有交易也是有市场报价的。如果采用报价数据进行拟合，可以证明中短期国债的发行对收益率曲线拟合效果有重要的促进作用，则在交易数据样本下结论也将成立，且更为显著。这是因为存量债券的交易较少，新发行的中短期债券的价格信息将在拟合中发挥更大的作用。
下面，简要介绍拟合国债收益率曲线所采用的Hermite插值法的原理，以及判定拟合效果的均方预测误差（Mean Square Forecast Error，MSFE）准则。
分段三次Hermite插值法是利用未知函数f（x）在插值节点上的函数值与导数值来构造分段插值多项式，使得插值多项式在插值节点上与原函数保持函数值和导数值一致。对于已知导数的插值节点 ，分段三次Hermite插值法的公式如下：
其中，
，
由此构造出的分段三次Hermite插值多项式，能够保证在每一个插值节点上其函数值和导数值都是与原函数一致的。插值多项式是光滑的、可导的。
对于国债收益率曲线的拟合，首先选定关键插值节点，包括3个月、6个月、9个月、1年、2年、3年、4年、5年、6年、7年、8年、9年、10年、15年、20年、30年、40年及50年期）。再选择离关键插值节点最接近的国债即期利率水平，并通过一定的插值方法，得到节点的即期利率。以此为基础，通过上述Hermite插值方法，得到整条收益率曲线。 由于本文是利用分段三次Hermite插值法对关键节点的国债利率进行拟合，因此不能利用线性回归中的 来反映拟合优度。本文采用MSFE准则来反映插值多项式的拟合优度，具体计算方法如下：对于已知导数的节点 ，先选取关键数据作为插值节点 。在利用分段三次Hermite插值法拟合得到插值多项式后，利用其余非插值节点计算残差平方和，其均值即为本次插值拟合的MSFE。
假设利用插值节点 得到的分段三次插值多项式为P，根据P可以求得每个节点的预测函数值 ，假设非插值节点为 ，那么拟合的MSFE为：
根据前述方法，已经通过Hermite插值法得到整条收益率曲线。MSFE计算了所有未被筛选为关键插值节点的国债即期利率信息对收益率曲线的二次离差平均值。可见，MSFE能够很好地度量分段三次Hermite插值的拟合优度和拟合效果。
实证结果
本文采用的数据为美国国债基本数据和2015年全年的综合报价日数据，数据来源为Bloomberg。一共包含905只美国国债，其中包含556只零息债券和349只附息债券，有2只国债的面值数据缺失，故剔除该数据。在349只附息债券中，340只每半年付息一次，9只每季度付息一次。所有债券的发行主体都是美国，且采用的货币为美元。
综合报价数据的时间范围是2015年1月1日至2015年12月31日，共254个交易日的到期收益率日数据。由于部分国债是在2015年内发行的，因此在其发行日前的数据均为空白。
首先，获取每日全部国债的到期收益率、到期日、票息利率与面值信息。然后，通过息票剥离法计算相应零息债的即期收益率和到期期限。最后，通过分段三次Hermite插值法拟合得到国债收益率曲线。
图1展示了几个代表性时间点（2015年3月1日、5月1日、7月1日和9月1日）的国债收益率曲线拟合效果。
从图1可以看出收益率曲线的以下性质：其一，利用分段三次Hermite插值法拟合的国债收益率曲线整体走势是向右上方倾斜的。这与理论相符，即债券期限越长，风险越大，因此要求的利率越高。其二，拟合得到的收益率曲线在长期有下移趋势，原因可能是市场对于较长期限债券的需求相对较大，或者预期未来利率会降低，造成长期利率降低。其三，收益率曲线在中短期内呈现复杂的形态。观察收益率曲线中短期部分，2015年5月1日与和7月1日的收益率曲线短期内先出现下降趋势，再上升，在6个月处达到最低。而3月1日和9月1日的收益率曲线则呈逐步上升趋势。
接下来，研究全样本数据与不包含中短期数据的收益率曲线拟合效果差异。为此，我们选取四个时间节点的收益率曲线进行呈现。四个时间节点分别为2015年1月1日、5月1日、7月1日和11月1日，图2、图3、图4和图5分别为相应日期国债价格全样本数据与剔除了2年及以下期限国债价格数据拟合的收益率曲线对比。
从图2至图5可以看出，中短期国债价格数据对于国债收益率曲线中短期限的拟合有着较大的影响。我们清晰地观察到，在全样本拟合情况下，收益率曲线呈现出比较合理的上升趋势或者先下降后上升的趋势。而在2年及以下期限国债数据被剔除的情况下，收益率曲线中短期形状随之发生了显著改变。具体而言，1月1日的收益率曲线中短端发生了显著上升；5月1日和7月1日的收益率曲线短端发生了小幅下降；11月1日收益率曲线2年期的收益率发生了显著上升。
为了更严谨地证明2年及以下期限国债在健全国债收益率曲线上的重要性，下面将量化评估两组样本下收益率曲线的拟合效果。本文采用MSFE 准则反映不同样本拟合优度的差异。MSFE准则是针对一组样本拟合的算法，而本研究实际是对两组样本（全样本数据为组一，不包含2年及以下期限数据的为组二）拟合优度的比较，在评估准则设计上，应避免拟合精度与参与拟合样本量成正比的一般性规律的影响。因此，评估拟合效果用到的MSFE准则的计算方法调整为，在完成了所有拟合过程后，计算每组拟合中非插值节点的实际值与预测值的二次离差和，再除以非插值节点的个数。以此方法计算每组的MSFE，具体如下：假设 为第t次拟合中用到的插值节点，而 为该次拟合的非插值节点，其中 。N表示每一组拟合次数，则该组拟合的总体MSFE为： ，其中 。
利用上述方法，我们计算了两个样本组的MSFE。表1是2015年各月两个组别的MSFE描述性统计结果。
从表1可以看出，对于2015年任意一个月，ΔMSFE都是小于零的，即全样本拟合的MSFE总是小于剔除掉2年及以下期限国债数据样本拟合的MSFE。拟合的MSFE越小，代表其拟合优度和拟合效果越好。即对2015年任意一个月的国债收益率曲线拟合效果而言，全样本的拟合优度都要高于剔除2年及以下期限样本的拟合优度。对2015年整体而言，情况也如此。
以上结果说明，剔除中短期国债数据的收益率曲线拟合效果比包含中短期国债数据的拟合效果差，即国债发行期限结构的优化和改善，能够提高收益率曲线的拟合优度。同时也说明，如果能够增加若干中短期限为国债关键期限，提高中短期国债的发行频率和发行量，会为市场提供更多的有效价格信息，促进收益率曲线拟合效果的提高。（感谢中国金融期货交易所课题“健全国债收益率曲线，优化国债发行期限结构问题研究”对本研究的资助）
作者单位：中国人民大学财政金融学院
责任编辑：宋旸 罗邦敏
参考文献
[1]胡勇、陈敏：《从国债收益率曲线看我国国债发行的问题》，载《重庆工商大学学报》，2003（10）。
[2]贾康：《建议尽快推出2年期国债期货》，载《证券时报网》，2016。
[3]邱峰：《我国国债收益率曲线研究》，载《金融纵横》，2014（6）。
[4]中债指数专家指导委员会：《完善债券市场制度建设 健全国债收益率曲线——中债指数专家指导委员会第十次会议综述》，2014。
[5]Fisher M， Nychka D W， Zervos D.： Fitting the term structure of interest rates with smoothing splines， Finance & Economics Discussion， 31（2）， p14-27， 1995.
[6]McCulloch J H.： Measuring the term structure of interest rates， Journal of Business， p19-31， 1971.
[7]Nelson C R， Siegel A F： Parsimonious modeling of yield curves， Journal of Business， 60（4）， p473-489， 1987.