A Curious Identity on Multiple Sums over Fields with Applications

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Let F be a field,and let e,k be integers such that 1≤e≤|F{0}|and k≥0.We show that for any subset{a1,……,ae}■F{0},the curious identity∑(i1+……ie)∈Ze≥0,i1+……+ie=k a1i1…aeie=∑i=1 e aik+e-1<
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