论文部分内容阅读
综观近年来的中考试题，圆这部分内容的考查一般占总分的10％左右，题型基本分为填空题、选择题、计算题、简单证明题、作图题和综合题. 在2008年的中考中，绝大部分考题以基础题或中档题的形式出现，主要考查了圆的半径、弧、弦、圆周角、圆心角等元素之间的关系；点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系；弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积等的计算；圆柱、圆锥的展开图以及三角函数与圆相结合的计算等知识点. 圆的有关知识是考查同学们的应用意识和解决实际问题能力的一个很好的载体.
[⇩] 易错点扫描
1. 图形的位置不确定而致错. 同弦所对的圆周角的度数有两种不同的情况；圆心与图形的位置关系也要分不同的情况. 当图形的位置不确定时，要分类讨论，否则会因考虑不周全而出错.
2. 对概念理解不清楚而致错. 圆与圆的位置关系中，相切有外切和内切两种情况，想当然地把圆与圆相切仅仅理解为外切一种情况而出错.
3. 不会添加辅助线而致错. 在解与圆有关的题目中，不会正确添加辅助线. 常作的辅助线有：连结半径；遇直径，作弦，得到直径上的圆周角，从而转化为直角三角形；过圆心作弦的垂线段，用垂径定理；直线与圆相切时，连结过切点的半径；两圆相交时，常连结公共弦等.
4. 对立体图形与平面图形的关系理解不清楚而致错. 不清楚圆锥的底面圆周长是展开图中扇形的弧长；在求圆柱或圆锥侧面上两点之间的最短距离时，常常因为不清楚曲面上的点和展开图中的点的关系而无法进行正确的计算.
[⇩] 范例剖析
例1（2008年黑龙江齐齐哈尔）在半径为5 cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6 cm和8 cm，则这两条弦之间的距离为_______．
典型错误：7 cm.
错因分析：在求两弦之间的距离时只考虑了两弦在圆心两侧的情况，如图1；而没有考虑到两弦在圆心同侧的情况，如图2.
正确答案：1 cm或7 cm.
方法点拨：圆既是轴对称图形，有无数条对称轴，又是中心对称图形. 正因为圆的这种特殊性，所以在给定条件下，图形的位置不确定时，有可能出现多个解. 在解题时，要留心漏解的情况.
例2（2008年贵州贵阳）如图3，在12×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示位置需向右平移________个单位．
典型错误：2或8.
错因分析：由于受思维定式的影响，有些同学对两圆相切仅仅理解为两圆外切，而忽视了还有内切的情况，从而造成错误.
正确答案：2，4，6，8.
方法点拨：两圆相切包括两圆外切和两圆内切两种情况，解题时对图形的位置进行正确地分类，画出不同位置的图形，是解题的关键.
例3（2008年四川自贡）如图4，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sinB＝，则弦AC的长为____.
典型错误：不会解答此题，只能凭感觉乱猜答案.
错因分析：不会把圆的半径R＝2和sinB＝转化在可以解的直角三角形中，因而不知如何下手.
正确答案：如图5，连结AO并延长交⊙O于D，连结CD，则∠ACD＝90°，∠ADC＝∠B，所以sin∠ADC＝sinB＝，所以＝，因为AD＝4，所以AC＝3.
方法点拨：在解与弦有关的计算问题时，可以找出直径所对的圆周角，并利用直径所对的圆周角是直角这一性质，转化为直角三角形来解决；也可以通过作弦的垂线，利用垂径定理转化为直角三角形来解决. （本题也可连结OA，过O点作OH⊥AC于H，在Rt△OAH中来解决）
例4（2008年甘肃兰州）如图6，小丽自己动手做了一顶圆锥形的圣诞帽，母线长是30 cm，底面半径是10 cm，她想在帽子上缠一根漂亮的丝带，从A出发绕帽子侧面一周，则至少需要丝带（）
A． 60 cm
B．cm
C． 30 cm
D． 30 cm
典型错误：B或D.
错因分析：常常因为不清楚曲面上的点和展开图中的点的关系而无法做出正确的计算. 错误地认为在圣诞帽上从A出发绕帽子侧面一周的最短丝带的长度是母线的长度，或者是侧面展开图中（如图7）线段AA′长度的.
正确答案：把圆锥沿过点A的母线OA展开，得到圆锥的侧面展开图，则图7中线段AA′的长度才是在圣诞帽上从A出发绕帽子侧面一周的最短丝带的长度. 由展开图扇形的弧长等于圆锥底面的圆周长得∠AOA′＝120°，可得AA′＝30 cm，故选C.
方法点拨：求立体图形中两点之间的最短距离，通常要把立体图形展开，并根据“两点之间线段最短”，求出展开图中相应两点之间的线段的长度，这个长度即是所求的最小长度.
实战演练
1． （2008年河北）如图8，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）
A． 1个B． 2个
C． 3个D． 4个
2． （2008年北京）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上． 一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图9所示． 若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）
3. （2008年吉林长春）⊙O的半径为3 cm，点M是⊙O外一点，OM＝4 cm，则以M为圆心且与⊙O相切的圆的半径是________cm．
4． （2008年福建永春）如图10，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为______cm.
5. （2008年山东威海）如图11，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm． ⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（s）之间的关系式为r ＝1＋t（t≥0）．
（1）求点A、B之间的距离d（cm）与时间t（s）之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？
参考答案见P59
[⇩] 易错点扫描
1. 图形的位置不确定而致错. 同弦所对的圆周角的度数有两种不同的情况；圆心与图形的位置关系也要分不同的情况. 当图形的位置不确定时，要分类讨论，否则会因考虑不周全而出错.
2. 对概念理解不清楚而致错. 圆与圆的位置关系中，相切有外切和内切两种情况，想当然地把圆与圆相切仅仅理解为外切一种情况而出错.
3. 不会添加辅助线而致错. 在解与圆有关的题目中，不会正确添加辅助线. 常作的辅助线有：连结半径；遇直径，作弦，得到直径上的圆周角，从而转化为直角三角形；过圆心作弦的垂线段，用垂径定理；直线与圆相切时，连结过切点的半径；两圆相交时，常连结公共弦等.
4. 对立体图形与平面图形的关系理解不清楚而致错. 不清楚圆锥的底面圆周长是展开图中扇形的弧长；在求圆柱或圆锥侧面上两点之间的最短距离时，常常因为不清楚曲面上的点和展开图中的点的关系而无法进行正确的计算.
[⇩] 范例剖析
例1（2008年黑龙江齐齐哈尔）在半径为5 cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6 cm和8 cm，则这两条弦之间的距离为_______．
典型错误：7 cm.
错因分析：在求两弦之间的距离时只考虑了两弦在圆心两侧的情况，如图1；而没有考虑到两弦在圆心同侧的情况，如图2.
正确答案：1 cm或7 cm.
方法点拨：圆既是轴对称图形，有无数条对称轴，又是中心对称图形. 正因为圆的这种特殊性，所以在给定条件下，图形的位置不确定时，有可能出现多个解. 在解题时，要留心漏解的情况.
例2（2008年贵州贵阳）如图3，在12×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示位置需向右平移________个单位．
典型错误：2或8.
错因分析：由于受思维定式的影响，有些同学对两圆相切仅仅理解为两圆外切，而忽视了还有内切的情况，从而造成错误.
正确答案：2，4，6，8.
方法点拨：两圆相切包括两圆外切和两圆内切两种情况，解题时对图形的位置进行正确地分类，画出不同位置的图形，是解题的关键.
例3（2008年四川自贡）如图4，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sinB＝，则弦AC的长为____.
典型错误：不会解答此题，只能凭感觉乱猜答案.
错因分析：不会把圆的半径R＝2和sinB＝转化在可以解的直角三角形中，因而不知如何下手.
正确答案：如图5，连结AO并延长交⊙O于D，连结CD，则∠ACD＝90°，∠ADC＝∠B，所以sin∠ADC＝sinB＝，所以＝，因为AD＝4，所以AC＝3.
方法点拨：在解与弦有关的计算问题时，可以找出直径所对的圆周角，并利用直径所对的圆周角是直角这一性质，转化为直角三角形来解决；也可以通过作弦的垂线，利用垂径定理转化为直角三角形来解决. （本题也可连结OA，过O点作OH⊥AC于H，在Rt△OAH中来解决）
例4（2008年甘肃兰州）如图6，小丽自己动手做了一顶圆锥形的圣诞帽，母线长是30 cm，底面半径是10 cm，她想在帽子上缠一根漂亮的丝带，从A出发绕帽子侧面一周，则至少需要丝带（）
A． 60 cm
B．cm
C． 30 cm
D． 30 cm
典型错误：B或D.
错因分析：常常因为不清楚曲面上的点和展开图中的点的关系而无法做出正确的计算. 错误地认为在圣诞帽上从A出发绕帽子侧面一周的最短丝带的长度是母线的长度，或者是侧面展开图中（如图7）线段AA′长度的.
正确答案：把圆锥沿过点A的母线OA展开，得到圆锥的侧面展开图，则图7中线段AA′的长度才是在圣诞帽上从A出发绕帽子侧面一周的最短丝带的长度. 由展开图扇形的弧长等于圆锥底面的圆周长得∠AOA′＝120°，可得AA′＝30 cm，故选C.
方法点拨：求立体图形中两点之间的最短距离，通常要把立体图形展开，并根据“两点之间线段最短”，求出展开图中相应两点之间的线段的长度，这个长度即是所求的最小长度.
实战演练
1． （2008年河北）如图8，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）
A． 1个B． 2个
C． 3个D． 4个
2． （2008年北京）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上． 一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图9所示． 若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）
3. （2008年吉林长春）⊙O的半径为3 cm，点M是⊙O外一点，OM＝4 cm，则以M为圆心且与⊙O相切的圆的半径是________cm．
4． （2008年福建永春）如图10，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为______cm.
5. （2008年山东威海）如图11，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm． ⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（s）之间的关系式为r ＝1＋t（t≥0）．
（1）求点A、B之间的距离d（cm）与时间t（s）之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？
参考答案见P59