一、试题呈现：
　　（2011陕西）在梯形ABCD中AD∥BC，AD=3BC=7且对角线AC⊥BD.求梯形ABCD的面积的最大值？
　　解析：本题是一道纯数学问题。以学生熟悉的梯形面积为载体，涉及梯形面积公式，两平行线之间的距离。从题目的解答要求看：本题给出的图形是动态的即梯形的高是变化的。从题目蕴含思想来看具备数形结合，问题转化，整体思想等。
　　二、解法初探
　　已知梯形上下底求梯形的最大面积，说明梯形的高是变化.如图：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E梯形ABCD的面积等于直角三角形DBE的面积。问题又转化为：已知直角三角形的斜边，求斜边上的最大高（进而求这个直角三角形最大面积）。
　　1、（如图）构造直角三角形。发现直角三角形斜边上的最大高为斜边的一半（半径）即等腰直角三角形面积最大.则上梯形的最大高为上下两底之和的一半。
　　2、如图：引入参数角a，则角a的邻边的长为角a的余弦与斜边的积。
　　则斜边上的高为：角a的余弦与斜边的积再乘角a的正弦。当角a等于45度时高最大，面积也最大。即等腰直角三角形面积最大。
　　3、如图设两直角边分别为a，b，则面积为a，b乘积的一半。由勾股定理得a2+b2=c2及几何平均数a2+b2≥2ab，当a=b时面积最大。即等腰直角三角形面积最大。
　　结论：①已知直角三角形的斜边，斜边上的最大高为斜边的一半。且这个三角形为等腰直角三角形。
　　②已知直角三角形的斜边，且这个直角三角形面积最大值为斜边平方的一半。
　　三、推理验证
　　已知梯形的上，下底，问梯形的最大面积即求梯形的最大高。说明梯形的高是变化的。事实上梯形的高为上下两底之间的距离，即图形中两直角三角形斜边上的高之和是变化的。分别计算出两直角三角形斜边上高的最大值可得梯形高的最大值，进而得梯形的最大面积。
　　四、拓展延伸
　　（如图）可将原图中的对角线夹角改为50度，其它条件不变。求最大面积？同样可过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E梯形ABCD的面积等于三角形DBE的面积。问题又转化为：已知三角形的一边及这条边的对角，求这条边上的最大高（进而可求这个三角形最大面积）例：三角形的一边长为10及这条边的对角为50度，求这条边上的最大高？同样可构造符合条三角形。发现当底边为10，顶角为50度的等腰三角形时高最大。
　　结论：①已知三角形的一边及这条边的对角，这条边上的最大高为这边的一半除以这个角一半的正切值。且这个三角形为等腰三角形。
　　②已知三角形的一边及这条边的对角，这个三角形最大面积为这边平方除以这个角一半的正切值的4倍。且这个三角形为等腰三角形。