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【摘 要】论文分别运用线性加权综合评价模型、逼近理想解法和秩和比法建立数学模型，基于历史数据对4家物流企业进行综合评价，得到一致的评价结果，为企业选择最优物流外包合作伙伴提供多种有效方法。
【Abstract】The paper establishes mathematical models using linear weighted comprehensive evaluation model， technique for order preference by similarity to ideal solution and rank sum ration method respectively， and conducts comprehensive evaluation of four logistics enterprises based on historical data to obtain consistent evaluation results， which provides various effective methods for enterprises to select the optimal logistics outsourcing partners.
【关键词】综合评价模型;线性加权综合评价;逼近理想解法;秩和比法
【Keywords】comprehensive evaluation model; linear weighted comprehensive evaluation; technique for order preference by similarity to ideal solution; rank sum ration method
【中图分类号】F252 【文献标志码】A 【文章编号】1673-1069（2021）09-0108-03
1 引言
在日常生活和工农业生产中，人们经常遇到评价类问题，需要人们分析已有体系的特点，筛选评价指标，形成评价体系，建立并求解评价模型。评价类数学模型，简单来说就是对需要进行评价的各个体系或者方案依据一系列的规则打一个总分，并依据此总分对各个体系或者方案进行综合评价。建立评价类数学模型的过程包括问题分析、评价指标体系的建立、指标数据预处理、建模方法的选取与模型的建立、模型的求解与评价。本文主要对建立评价模型的方法选取与求解过程进行研究，介绍几种常见的综合评价模型，并结合具体案例进行应用评价。
2 几种常用的综合评价类数学模型
建立综合评价模型一般是将某一个评价对象不同侧面的多个指标综合在一起，得到一个数学表达式。方法主要有线性加权综合法、逼近理想解法、秩和比法、层次分析法、灰色关联法、主成分分析法、模糊评价法等。下面依次介绍几种常见建模方法。
2.1 线性加权综合评价模型
设有n个评价对象，m个评价指标，线性加权综合模型是在指标数值和指标权重确定以后，对每个评价对象求其各个指标的加权和。其一般步骤为：
①对评价指标进行一致化、无量纲化预处理，构造评价矩阵A=（xij）n×m。
②确定相应的指标权重w=（w1，w2，…，wm）。
③计算评价对象的线性加权综合评价值yi=xijwj（i=1，2，…，n）。
④根据综合评价值对各方案进行排序。
线性加权综合模型结构简单、应用方便、可操作性强，此法权重系数对结果的影响较为明显，并且主要是用于各评价指标相互独立的情況。
2.2 逼近理想解法（TOPSIS）
逼近理想解法是借助多属性评价问题的理想解、负理想解，对评价对象进行排序的方法。基于所有候选方案，得到一个虚拟最优方案（理想解）和虚拟最劣方案（负理想解）。其中，理想解的每个指标值都是所有评价对象中该指标的最优值，负理想解的每个指标值都是所有评价对象中该指标的最劣值。对于前述n个评价对象，m个评价指标的一组指标值，及相应的指标权重，TOPSIS的计算步骤为：
①对评价指标进行预处理，构造评价矩阵A=（xij）n×m。
②确定相应的指标权重w。
③构造加权规范评价矩阵Z=（zij）n×m，其中zij=xij·wj。
④确定理想解S+=（）和负理想解S-=（）。
⑤计算各个方案到理想解、负理想解的距离，计算综合评价指数：
i=1，2，…，n）。
⑥根据综合评价指数对各方案进行排序。
TOPSIS评价模型方便实用、简单可靠、灵活性强，能够灵活运用原始信息数据进行排序，同时，能够有效消除不同指标量纲对评价结果的影响。
2.3 秩和比法（RSR）
秩和比（Rank Sum Ration，RSR）法是根据评价对象指标值的大小编排秩次，求得秩和比，进而按照秩和比的大小对方案进行评价排序的一种新的综合评价方法。该法在各种领域的多指标综合评价、统计质量控制、统计预测预报等方面得到广泛的应用。其一般步骤为： ①建立原始数据矩阵A=（xij）n×m。
②确定相应的指标权重w=（w1，w2，…，wm）。
③编秩。对于极大型指标，最大的指标值编以秩次n，次大的编以秩次n-1，…，最小的编以1;对于极小型指标，最小的指标值编以秩次n，次小的编以n-1，…，最大的编以1。在实际编秩时，对于相同的指标值，则编以平均秩次。
④计算秩和比RSRi法基于原始数据矩阵，通过秩转换，获得无量纲统计量RSR，以RSR值对评价对象的优劣直接排序，从而对评价对象作出综合评价。RSR法理论简单、计算简便、应用广泛，能够区分指标微小差异，消除异常指标值的干扰。
3 应用案例：物流企业的综合评价
A公司是一家大型机械制造企业，结合自己的经营发展规划欲将物流业务进行外包，进而专心提高自己主业的核心竞争能力。经过企业调查并结合多年的合作经营经验，初步筛选出P1、P2、P3、P4共4家物流公司作为备选方案，现欲基于前期关于各企业的一些调查数据，建立数学模型，进行综合评价，选出最优合作伙伴。
3.1 建立评价指标体系
对物流企业进行综合评价，需要建立相应的评价指标体系，指标是用来评价系统的参量，综合物流企业的各项功能和职责，借鉴国内外成功经验，并结合实践中物流服务的成功经验，建立了物流企业评价指标体系。决定一个物流企业经营能力优劣的主要因素包括：综合实力、设备设施、管理服务、人员素质、信息化水平等。并且进一步分解为营收能力、经营时间、资产状况等15项二级指标，如表1所示。
根据对4家初选物流服务企业的调研得相应指标数据，如表2所示，其中服务范围、查询效率、平台方便度等原为定性指标，根据实际情况进行了合理量化。
3.2 線性加权综合评价模型
①数据预处理。在综合评级指标中，各指标值往往属于不同的类型、不同的单位、不同的数量级，使得各指标之间存在着不可公度性，因此，需要对指标数据进行预处理，包括一致性和无量纲化处理。为方便起见，各二级指标在下文中用C1、C2、…、C15表示。首先，这里C4、C9为极小型指标，我们采用1减去原始值的方法转化为极大型数据，使得各指标数据类型一致;其次，对各指标采用向量归一化法进行标准化，处理后数据见表3。向量归一化法的计算公式为：
记评价矩阵为：
②运用层次分析法确定各指标权重向量w。
在进行综合评价时，需要考虑各指标在评价体系中的重要程度即权重不同的问题，实际应用中确定指标权重可以采用层次分析法，这里简要给出用层次分析法进行权重确定时的相对上一层各层次的指标间的成对比较矩阵、相应的权重向量和评价指标的综合权重，见表4、表5。
③利用表5权重对表3数据进行加权规范，计算评价对象的线性加权综合评价值得表6。
加权规范评价矩阵：
线性加权综合评价矩阵：
y=（0.3646，0.5724，0.6101，0.3496）。
④根据综合评价值得到物流公司综合评价排序为：公司P3>公司P2>公司P1>公司P4。
3.3 TOPSIS综合评价模型
①～③过程及结果同3.2线性加权综合评价模型。
④确定理想解。由表3或矩阵Z可得各指标理想解，如表7所示。
⑤计算各个方案到理想解、负理想解的距离，计算综合评价指数，见表8。
⑥根据综合评价指数C，物流公司综合评价排序为：公司P3>公司P2>公司P1>公司P4。
3.4 RSR综合评价模型
①～②过程及结果同3.2线性加权综合评价模型。
③对评价指标数据进行编秩，结果见表9。
⑤根据秩和比RSR，物流公司综合评价排序为：公司P3>公司P2>公司P1>公司P4。
4 结语
本文研究了线性加权综合模型、TOPSIS模型和RSR模型等常用综合评价模型的建模步骤及模型应用特点，并结合一个具体的物流企业评价案例，进行了应用实践。随着现代工业生产的市场化、信息化、国际化的发展，物流外包越来越成为普遍趋势，如何通过对已知数据信息，建立合适的数学模型，对物流企业进行综合评价排序，选择最好的合作伙伴，对企业的生产经营具有重要意义。另外，以上方法在其他类似评价问题解决中均有广泛应用意义。
【参考文献】
【1】司守奎，孙玺菁.数学建模算法与应用[M].北京：国防工业出版社，2011.
【2】韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京：高等教育出版社，2017.
【Abstract】The paper establishes mathematical models using linear weighted comprehensive evaluation model， technique for order preference by similarity to ideal solution and rank sum ration method respectively， and conducts comprehensive evaluation of four logistics enterprises based on historical data to obtain consistent evaluation results， which provides various effective methods for enterprises to select the optimal logistics outsourcing partners.
【关键词】综合评价模型;线性加权综合评价;逼近理想解法;秩和比法
【Keywords】comprehensive evaluation model; linear weighted comprehensive evaluation; technique for order preference by similarity to ideal solution; rank sum ration method
【中图分类号】F252 【文献标志码】A 【文章编号】1673-1069（2021）09-0108-03
1 引言
在日常生活和工农业生产中，人们经常遇到评价类问题，需要人们分析已有体系的特点，筛选评价指标，形成评价体系，建立并求解评价模型。评价类数学模型，简单来说就是对需要进行评价的各个体系或者方案依据一系列的规则打一个总分，并依据此总分对各个体系或者方案进行综合评价。建立评价类数学模型的过程包括问题分析、评价指标体系的建立、指标数据预处理、建模方法的选取与模型的建立、模型的求解与评价。本文主要对建立评价模型的方法选取与求解过程进行研究，介绍几种常见的综合评价模型，并结合具体案例进行应用评价。
2 几种常用的综合评价类数学模型
建立综合评价模型一般是将某一个评价对象不同侧面的多个指标综合在一起，得到一个数学表达式。方法主要有线性加权综合法、逼近理想解法、秩和比法、层次分析法、灰色关联法、主成分分析法、模糊评价法等。下面依次介绍几种常见建模方法。
2.1 线性加权综合评价模型
设有n个评价对象，m个评价指标，线性加权综合模型是在指标数值和指标权重确定以后，对每个评价对象求其各个指标的加权和。其一般步骤为：
①对评价指标进行一致化、无量纲化预处理，构造评价矩阵A=（xij）n×m。
②确定相应的指标权重w=（w1，w2，…，wm）。
③计算评价对象的线性加权综合评价值yi=xijwj（i=1，2，…，n）。
④根据综合评价值对各方案进行排序。
线性加权综合模型结构简单、应用方便、可操作性强，此法权重系数对结果的影响较为明显，并且主要是用于各评价指标相互独立的情況。
2.2 逼近理想解法（TOPSIS）
逼近理想解法是借助多属性评价问题的理想解、负理想解，对评价对象进行排序的方法。基于所有候选方案，得到一个虚拟最优方案（理想解）和虚拟最劣方案（负理想解）。其中，理想解的每个指标值都是所有评价对象中该指标的最优值，负理想解的每个指标值都是所有评价对象中该指标的最劣值。对于前述n个评价对象，m个评价指标的一组指标值，及相应的指标权重，TOPSIS的计算步骤为：
①对评价指标进行预处理，构造评价矩阵A=（xij）n×m。
②确定相应的指标权重w。
③构造加权规范评价矩阵Z=（zij）n×m，其中zij=xij·wj。
④确定理想解S+=（）和负理想解S-=（）。
⑤计算各个方案到理想解、负理想解的距离，计算综合评价指数：
i=1，2，…，n）。
⑥根据综合评价指数对各方案进行排序。
TOPSIS评价模型方便实用、简单可靠、灵活性强，能够灵活运用原始信息数据进行排序，同时，能够有效消除不同指标量纲对评价结果的影响。
2.3 秩和比法（RSR）
秩和比（Rank Sum Ration，RSR）法是根据评价对象指标值的大小编排秩次，求得秩和比，进而按照秩和比的大小对方案进行评价排序的一种新的综合评价方法。该法在各种领域的多指标综合评价、统计质量控制、统计预测预报等方面得到广泛的应用。其一般步骤为： ①建立原始数据矩阵A=（xij）n×m。
②确定相应的指标权重w=（w1，w2，…，wm）。
③编秩。对于极大型指标，最大的指标值编以秩次n，次大的编以秩次n-1，…，最小的编以1;对于极小型指标，最小的指标值编以秩次n，次小的编以n-1，…，最大的编以1。在实际编秩时，对于相同的指标值，则编以平均秩次。
④计算秩和比RSRi法基于原始数据矩阵，通过秩转换，获得无量纲统计量RSR，以RSR值对评价对象的优劣直接排序，从而对评价对象作出综合评价。RSR法理论简单、计算简便、应用广泛，能够区分指标微小差异，消除异常指标值的干扰。
3 应用案例：物流企业的综合评价
A公司是一家大型机械制造企业，结合自己的经营发展规划欲将物流业务进行外包，进而专心提高自己主业的核心竞争能力。经过企业调查并结合多年的合作经营经验，初步筛选出P1、P2、P3、P4共4家物流公司作为备选方案，现欲基于前期关于各企业的一些调查数据，建立数学模型，进行综合评价，选出最优合作伙伴。
3.1 建立评价指标体系
对物流企业进行综合评价，需要建立相应的评价指标体系，指标是用来评价系统的参量，综合物流企业的各项功能和职责，借鉴国内外成功经验，并结合实践中物流服务的成功经验，建立了物流企业评价指标体系。决定一个物流企业经营能力优劣的主要因素包括：综合实力、设备设施、管理服务、人员素质、信息化水平等。并且进一步分解为营收能力、经营时间、资产状况等15项二级指标，如表1所示。
根据对4家初选物流服务企业的调研得相应指标数据，如表2所示，其中服务范围、查询效率、平台方便度等原为定性指标，根据实际情况进行了合理量化。
3.2 線性加权综合评价模型
①数据预处理。在综合评级指标中，各指标值往往属于不同的类型、不同的单位、不同的数量级，使得各指标之间存在着不可公度性，因此，需要对指标数据进行预处理，包括一致性和无量纲化处理。为方便起见，各二级指标在下文中用C1、C2、…、C15表示。首先，这里C4、C9为极小型指标，我们采用1减去原始值的方法转化为极大型数据，使得各指标数据类型一致;其次，对各指标采用向量归一化法进行标准化，处理后数据见表3。向量归一化法的计算公式为：
记评价矩阵为：
②运用层次分析法确定各指标权重向量w。
在进行综合评价时，需要考虑各指标在评价体系中的重要程度即权重不同的问题，实际应用中确定指标权重可以采用层次分析法，这里简要给出用层次分析法进行权重确定时的相对上一层各层次的指标间的成对比较矩阵、相应的权重向量和评价指标的综合权重，见表4、表5。
③利用表5权重对表3数据进行加权规范，计算评价对象的线性加权综合评价值得表6。
加权规范评价矩阵：
线性加权综合评价矩阵：
y=（0.3646，0.5724，0.6101，0.3496）。
④根据综合评价值得到物流公司综合评价排序为：公司P3>公司P2>公司P1>公司P4。
3.3 TOPSIS综合评价模型
①～③过程及结果同3.2线性加权综合评价模型。
④确定理想解。由表3或矩阵Z可得各指标理想解，如表7所示。
⑤计算各个方案到理想解、负理想解的距离，计算综合评价指数，见表8。
⑥根据综合评价指数C，物流公司综合评价排序为：公司P3>公司P2>公司P1>公司P4。
3.4 RSR综合评价模型
①～②过程及结果同3.2线性加权综合评价模型。
③对评价指标数据进行编秩，结果见表9。
⑤根据秩和比RSR，物流公司综合评价排序为：公司P3>公司P2>公司P1>公司P4。
4 结语
本文研究了线性加权综合模型、TOPSIS模型和RSR模型等常用综合评价模型的建模步骤及模型应用特点，并结合一个具体的物流企业评价案例，进行了应用实践。随着现代工业生产的市场化、信息化、国际化的发展，物流外包越来越成为普遍趋势，如何通过对已知数据信息，建立合适的数学模型，对物流企业进行综合评价排序，选择最好的合作伙伴，对企业的生产经营具有重要意义。另外，以上方法在其他类似评价问题解决中均有广泛应用意义。
【参考文献】
【1】司守奎，孙玺菁.数学建模算法与应用[M].北京：国防工业出版社，2011.
【2】韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京：高等教育出版社，2017.