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【摘要】设D=,其中某一个= 1(i = 1, 2, … , k ), n是大于1的正整数,本文证明了, 方程x!-D=yn 仅有有限多组正整数解(x,y),而且这些解都满足x<2pi.
【关键词】高次Diophanitine 方程 阶乘 方幂
【中图分类号】O156 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0137-01
设N是全体正整数的集合.设D是正整数.n是大于1的正整数.方程
x!-D=yn,x,y∈N (1)
是一类有关阶乘的高次Diophanitine方程,人们曾对此有过大量的工作.1937年,Erdōs和Oblāth[1]证明了:当n有奇素数p且D是p次方幂时,方程(1)没有解(x,y)适合gcd(x,y)=1.此后Erdōs还证明了:n=4且D是4次方幂时,该方程没有解(x,y)适合gcd(x,y)=1(参考文献[2]的问题D2).对于n=2的情况,Leech[3]证明了:如果D是平方数,则方程(1)仅当D=1时有解(x,y)=(2,1),当D=144时有解(x,y)=(6,24),当D=576时有解(x,y)=(6,12).至此,当D是n次方幂时,方程(1)的求解问题已经有了比较全面的结果.
文献[5]中利用初等方法,解决了D无平方因子正整数这一尚未解决的情况.本文将运用初等方法,对于D=其中某一个=1,证明了方程(1)解数的有限性,即证明了以下定理
定理 当D=其中某一个=1(i=1,2,…,k),方程(1)仅有有限多组正整数解(x,y),而且这些解都满足x<2pi.
证设(x,y)是方程(1)的一组解,且设pi是D的素因数.如果
pi≤x/2 (2)
则pi显然是x!的因数,并且从文献[4]的定理1.11.1可知
x!≡0(modpi2)(3)
由于D≡0(modpi),故从(1)和(3)可知,y≡0(mod pi).因为n>1,故从以上同余关系可知
yn ≡0(modpi2) (4)
结合(1),(3)和(4)立得
D≡0(modpi2)(5)
然而,因为D=,其中某一个=1,所以(5)不可能成立.由此D没有适合(2)的素因数,故pi>x/2,因此,x<2pi.
所以定理得证.
致谢:作者衷心感谢阿坝师范高等专科学校数学系杨仕椿老师的悉心指导和热情帮助!
参考文献
[1] ErdōsP. OblāthR.Uber diophantische Gleichungen derform n!= xp±yp and n!+m!=xp[J].Acta Litt.Sci.Szeged,1973.8:241-255.
[2] Guy R K.Unsolved problems in number theory[M].NewYork:SpringerVerlag.1981.
[3] LeechJ.Some solutions of Diophanti-neequaltions[J] .Proe.CambridgePhilos.Soe..1957.53:778-780.
[4] 华罗庚.数论导引[M].北京:科学出版社,1979.
[5] 乐茂华.关于Diophanitine方程 x!-D=yn[J].商丘师范学院学报,2004,2:43-44.
【关键词】高次Diophanitine 方程 阶乘 方幂
【中图分类号】O156 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0137-01
设N是全体正整数的集合.设D是正整数.n是大于1的正整数.方程
x!-D=yn,x,y∈N (1)
是一类有关阶乘的高次Diophanitine方程,人们曾对此有过大量的工作.1937年,Erdōs和Oblāth[1]证明了:当n有奇素数p且D是p次方幂时,方程(1)没有解(x,y)适合gcd(x,y)=1.此后Erdōs还证明了:n=4且D是4次方幂时,该方程没有解(x,y)适合gcd(x,y)=1(参考文献[2]的问题D2).对于n=2的情况,Leech[3]证明了:如果D是平方数,则方程(1)仅当D=1时有解(x,y)=(2,1),当D=144时有解(x,y)=(6,24),当D=576时有解(x,y)=(6,12).至此,当D是n次方幂时,方程(1)的求解问题已经有了比较全面的结果.
文献[5]中利用初等方法,解决了D无平方因子正整数这一尚未解决的情况.本文将运用初等方法,对于D=其中某一个=1,证明了方程(1)解数的有限性,即证明了以下定理
定理 当D=其中某一个=1(i=1,2,…,k),方程(1)仅有有限多组正整数解(x,y),而且这些解都满足x<2pi.
证设(x,y)是方程(1)的一组解,且设pi是D的素因数.如果
pi≤x/2 (2)
则pi显然是x!的因数,并且从文献[4]的定理1.11.1可知
x!≡0(modpi2)(3)
由于D≡0(modpi),故从(1)和(3)可知,y≡0(mod pi).因为n>1,故从以上同余关系可知
yn ≡0(modpi2) (4)
结合(1),(3)和(4)立得
D≡0(modpi2)(5)
然而,因为D=,其中某一个=1,所以(5)不可能成立.由此D没有适合(2)的素因数,故pi>x/2,因此,x<2pi.
所以定理得证.
致谢:作者衷心感谢阿坝师范高等专科学校数学系杨仕椿老师的悉心指导和热情帮助!
参考文献
[1] ErdōsP. OblāthR.Uber diophantische Gleichungen derform n!= xp±yp and n!+m!=xp[J].Acta Litt.Sci.Szeged,1973.8:241-255.
[2] Guy R K.Unsolved problems in number theory[M].NewYork:SpringerVerlag.1981.
[3] LeechJ.Some solutions of Diophanti-neequaltions[J] .Proe.CambridgePhilos.Soe..1957.53:778-780.
[4] 华罗庚.数论导引[M].北京:科学出版社,1979.
[5] 乐茂华.关于Diophanitine方程 x!-D=yn[J].商丘师范学院学报,2004,2:43-44.