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数学解题是在解题教学中将问题有目的地转难为易并对学生进行思维转化的培养,从而提高学生解答问题的能力. 本文谈谈数学解题中的几种常用的思维转化方法.
一､分解转化
遇到复杂的问题,可透过问题的本质将其分解成简单的小问题逐一去解决.
例1 如果三个方程x2 - 2kx - 2k + 3 = 0,x2 + (k - 1)x + k2 = 0,x2 + kx - k = 0中,至少有一个方程有实根,求k的取值范围.
分析 如果从总体考虑方程有实根的情况,则较繁;若用分解思维进行转化,则较简便.
解 设三个方程都没有实数根.
∵ Δ1 =(-2k)2 - 4(3 - 2k) < 0, (1)
Δ2 = (k - 1)2 - 4k2 < 0, (2)
Δ3 = k2 - 4(- k) < 0, (3)
由(1)得 -3 < k < 1,
由(2)得 k >或k < -1,
由(3)得-4< k< 0,
∴ -3 < k < -1.
即当k ≤ -3或k ≥ -1时,三个方程中至少有一个方程有实根.
二､整体转化
对一些问题,不能“一叶障目”,而要通过研究问题的整体形式和结构,进行整体处理,则可达到速解题目的目的.
例2 已知直角三角形的周长为2 +,斜边上的中线为1,求直角三角形的面积.
分析 如图1,设两直角边分别为a,b,则a+b+2=2+,a2 + b2 = 22.
若分别解出a,b,然后再求直角三角形面积,则较繁,若视 ab为一整体来求,则简便得多.
解 由(1)2 - (2)得2ab = 1,
∴ ab =, 即直角三角形的面积为.
三､逆向转化
逆向思维是从事物的相反角度观察,探索克服学生思维过程中的单向思维定式,创造性地运用知识使问题化难为易.
例3 如果m,n是互不相等的实数,并且m2 = 5m + 2,n2 = 5n + 2,求+ 的值.
分析 若先求出m,n的值,再求+的值,则较繁,如果逆向运用方程的根的定义,把m,n看成方程 x2 - 5x - 2 = 0的两根,由韦达定理知:m + n = 5,mn = -2,于是有+ = = = = - .
四､数与形的转化
数形结合是把抽象的“数”转化为直观的“形”的数助形的思维转化方法.
例4 如果正实数a,b,c,d满足(1) a2 + b2 = c2;(2) c= a2 ,求证: ab = cd.
分析 若按常规法,由(1)､(2)分别去求a,b,c,d则较繁,若构造几何图形来解,则较简便.
解 由(1)得到启示,可构造Rt△ABC,如图2所示,使AC = b,BC = a,AB = c.由条件(2)可联想到射影定理,作斜边AB上的高CD,知CD = d,于是,由三角形面积公式,得
AB × CD =AC × BC,故ab = cd.
五､特殊与一般的转化
在证明几何定值题时,通常把题中变动的元素变到特殊位置.
例5 设a为等边三角形ABC的边长,E,F分别为AC,AB上的点,且满足AE + AF = a,BE与CF交于点P,求证:BP • BE + CP • CF 恒为一定值.
分析 如图3所示,设点E和点C重合,那么点F与点B重合,则点P与点C重合,BP = a ,BE = a,CP = 0,CF = a,于是BP • BE + CP • CF = a2 .
证明 易证△ACF≌△BCE,
∴ ∠2 = ∠3.
∵ ∠BPF = ∠1 + ∠3,
∴ ∠BPF = ∠2 + ∠3 = 60°.
∵ ∠A = 60°,
∴ ∠A = ∠BPF.
∴ A,F,P,E四点共圆,
∴ BP • BE = BF • AB,CP • CF = CE • AC.
又∵ AB = AC,
故BP • BE + CP • CF = AB2 = a2 (定值)
六､主元转化
在含有多个变元的数学问题中,通常可重新选择主元,把“已知”和“未知”互相转化.
例6 设a为非负整数,已知方程2x - a - a + 4 = 0中,至少有一整数根,求a的值.
分析 若以x为主元,解出a再讨论其解,则较复杂,如视a为主元入手就简便得多.
解 ∵ A为非负整数,以a为主元得
a = ≥ 0,∴ -2 ≤ x ≤ 1,
∴ 原方程的整数根只能是x = -2,-1,0,1,于是有符合题意的a值为0,2,6.
七､化归转化
化归是把未知的新问题转化为熟知的旧问题的解题策略.
例7 数3555,4444,5333的大小关系是_________.
分析 若直接计算每个数,则较繁杂,如果将它们按化归思维转化为异底数同次幂的形式,再比较它们底数的大小即可.
解 3555 =(35)111 = 243111,
4444 =(44)111= 256111,
5333 =(53)111 =125111,
∴有5333 < 3555 < 4444.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
一､分解转化
遇到复杂的问题,可透过问题的本质将其分解成简单的小问题逐一去解决.
例1 如果三个方程x2 - 2kx - 2k + 3 = 0,x2 + (k - 1)x + k2 = 0,x2 + kx - k = 0中,至少有一个方程有实根,求k的取值范围.
分析 如果从总体考虑方程有实根的情况,则较繁;若用分解思维进行转化,则较简便.
解 设三个方程都没有实数根.
∵ Δ1 =(-2k)2 - 4(3 - 2k) < 0, (1)
Δ2 = (k - 1)2 - 4k2 < 0, (2)
Δ3 = k2 - 4(- k) < 0, (3)
由(1)得 -3 < k < 1,
由(2)得 k >或k < -1,
由(3)得-4< k< 0,
∴ -3 < k < -1.
即当k ≤ -3或k ≥ -1时,三个方程中至少有一个方程有实根.
二､整体转化
对一些问题,不能“一叶障目”,而要通过研究问题的整体形式和结构,进行整体处理,则可达到速解题目的目的.
例2 已知直角三角形的周长为2 +,斜边上的中线为1,求直角三角形的面积.
分析 如图1,设两直角边分别为a,b,则a+b+2=2+,a2 + b2 = 22.
若分别解出a,b,然后再求直角三角形面积,则较繁,若视 ab为一整体来求,则简便得多.
解 由(1)2 - (2)得2ab = 1,
∴ ab =, 即直角三角形的面积为.
三､逆向转化
逆向思维是从事物的相反角度观察,探索克服学生思维过程中的单向思维定式,创造性地运用知识使问题化难为易.
例3 如果m,n是互不相等的实数,并且m2 = 5m + 2,n2 = 5n + 2,求+ 的值.
分析 若先求出m,n的值,再求+的值,则较繁,如果逆向运用方程的根的定义,把m,n看成方程 x2 - 5x - 2 = 0的两根,由韦达定理知:m + n = 5,mn = -2,于是有+ = = = = - .
四､数与形的转化
数形结合是把抽象的“数”转化为直观的“形”的数助形的思维转化方法.
例4 如果正实数a,b,c,d满足(1) a2 + b2 = c2;(2) c= a2 ,求证: ab = cd.
分析 若按常规法,由(1)､(2)分别去求a,b,c,d则较繁,若构造几何图形来解,则较简便.
解 由(1)得到启示,可构造Rt△ABC,如图2所示,使AC = b,BC = a,AB = c.由条件(2)可联想到射影定理,作斜边AB上的高CD,知CD = d,于是,由三角形面积公式,得
AB × CD =AC × BC,故ab = cd.
五､特殊与一般的转化
在证明几何定值题时,通常把题中变动的元素变到特殊位置.
例5 设a为等边三角形ABC的边长,E,F分别为AC,AB上的点,且满足AE + AF = a,BE与CF交于点P,求证:BP • BE + CP • CF 恒为一定值.
分析 如图3所示,设点E和点C重合,那么点F与点B重合,则点P与点C重合,BP = a ,BE = a,CP = 0,CF = a,于是BP • BE + CP • CF = a2 .
证明 易证△ACF≌△BCE,
∴ ∠2 = ∠3.
∵ ∠BPF = ∠1 + ∠3,
∴ ∠BPF = ∠2 + ∠3 = 60°.
∵ ∠A = 60°,
∴ ∠A = ∠BPF.
∴ A,F,P,E四点共圆,
∴ BP • BE = BF • AB,CP • CF = CE • AC.
又∵ AB = AC,
故BP • BE + CP • CF = AB2 = a2 (定值)
六､主元转化
在含有多个变元的数学问题中,通常可重新选择主元,把“已知”和“未知”互相转化.
例6 设a为非负整数,已知方程2x - a - a + 4 = 0中,至少有一整数根,求a的值.
分析 若以x为主元,解出a再讨论其解,则较复杂,如视a为主元入手就简便得多.
解 ∵ A为非负整数,以a为主元得
a = ≥ 0,∴ -2 ≤ x ≤ 1,
∴ 原方程的整数根只能是x = -2,-1,0,1,于是有符合题意的a值为0,2,6.
七､化归转化
化归是把未知的新问题转化为熟知的旧问题的解题策略.
例7 数3555,4444,5333的大小关系是_________.
分析 若直接计算每个数,则较繁杂,如果将它们按化归思维转化为异底数同次幂的形式,再比较它们底数的大小即可.
解 3555 =(35)111 = 243111,
4444 =(44)111= 256111,
5333 =(53)111 =125111,
∴有5333 < 3555 < 4444.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”