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2020年11月落下帷幕的江苏省小学数学赛课活动精彩纷呈，让人久久回味。江苏省无锡市张泾实验小学杜丽娜老师的“有余数的除法”一课给笔者留下了深刻的印象，杜老师给学生充足的时间探索有余数除法的知识，学生从旧知的回顾、探索中获得新知，知识被赋予生长的力量。无论是有余数的除法的引入，还是有余数的除法算式的读写，乃至“余数要比除数小”法则的揭示，学生的课堂生成给我们很多启发。这节课也引发了笔者的一些思考，笔者特从中选择几个教学片段加以赏析。
【片段一】余数是从哪里来的
师：小朋友们，欢迎来到泡泡王国，我们一起来做圈一圈游戏。
……
师：10个泡泡，每几个一圈，可以分成几组？请大家想一想、圈一圈。
（学生在作业纸上操作）
师：谁来说说看，你是怎么圈的？
生：每组5个，有2组。
师：你是每5个一圈，2组正好。
师：有不同的圈法吗？
生：10个泡泡，每2个一圈，分成了5组。
师（课件出示圈法）：每2个一圈，分成了5组。还有不一样的吗？
生：10个泡泡，每3个一圈，分成了3组，还剩1个。
师：每3个一圈，伸出小手来圈圈看，是几组？
师：看这个泡泡，它不开心了，它为什么不开心？
生：因为它没被分到组。
师：3个泡泡一圈，规则变了，这个泡泡找不到伙伴了，被剩下了，还有不同的分法吗？
生：10个泡泡，每4个一圈，分成了2组，还剩2个。
师（课件出示圈法）：每4个一圈，分成了2组，这2个呢？
生：这2个被剩下了。
师：对呀，它们被剩下了。10个泡泡，每几个一圈，有不同的圈法。你能给这些圈法分类吗？
生：有剩余的一组，没有剩余的一组。
师：其他小朋友同意吗？
生：同意。
【赏析】教学中，杜老师用一个开放性的问题引入新课，学生在10个泡泡圈一圈的具体操作中发现，泡泡可以全部被平均分完（旧知识），也可以不被全部平均分完（新知识），学生会对不被全部平均分完的情况进行更多的思考，在具体圈一圈的过程中，学生能借助具体情境知晓余数是怎么来的，获得了余数概念的清晰表象，为理解余数的意义积累了丰富的感性经验。至此，余数以泡泡图被余下的直观图的形式第一次出现在学生的面前，但此时学生是只见其图，未闻其名。这样的教学設计，教师从数学知识内在的逻辑关系出发，从平均分能分完的旧知识引出平均分不能分完的新知识，给学生圈一圈、分一分的自由，为学生积累了丰富的活动体验，这一操作活动促进了除法意义的合理迁移，有助于难点的突破和学生构建完整的知识结构。
【片段二】余数写在哪里
师：是呀，10个泡泡，每2个一圈，可以分成5组。那每5个一圈呢？
生：10÷5=2（组）。
师：真棒！平均分正好分完，我们可以用一道除法算式来表示。
师：看这种分法，10个泡泡，每3个一圈，分成3组，还剩1个。你能用一道算式表示这个意思吗？
（学生试着写一写，教师收集作业纸）
师：老师收集了好几个同学的作业，先来看这个同学的。
[教师投影：3×3+1=10（个）]
师：算式的小主人，你来说说它表示什么意思？
生：圈了3个圈，每个圈里面有3个，加上1个，就是10个。
师：他的意思是3组3个泡泡加上剩下的1个泡泡就是10个泡泡，他把合起来的过程表示出来了。
[教师投影：10-3-3-3=1（个）]
师：这个同学来说说，连减表示什么意思？
生：它表示10个泡泡，每次减3个泡泡，还剩下1个泡泡。
师：你的意思是每次分3个泡泡，分了3次，就是3组，还剩1个，你用减法来表示了。小朋友们，平均分，正好分完，根据我们以前所学的知识，可以用什么算式？
生：除法算式。
[教师投影：10÷3=（ ）]
师：这个3表示什么？
生：这个3表示它分了3组。
师：表示完了吗？
生：分成了3组，还有多余的1个。
师：剩下的这一个也要想办法表示出来。
师：10个泡泡，每3个一组，我们可以用10除以3来表示，分成了几组呀？
生：3组。
师：分成3组，还剩下一个怎么表示呢？在商的后面再点6个小圆点，写上余下的1个。
[教师板书：10÷3=3（组）……1（个）]
师：10除以3等于3组余1个，在除法算式中，这个10叫被除数，3是除数，这个3是商。那余1个叫什么？
生：叫余数。
师：对，它就叫余数。今天我们就来学习有余数的除法。你会用除法算式表示这幅图了吗？
【赏析】有余数除法的书写格式是约定俗成的，教师可以用直接讲授的方式教学，在本课中，杜老师让学生自己先写一写，再引导学生写出有余数的除法算式。这一过程看似没有必要，实际上是学生数学思维提升的关键。学生在用算式表达题目意思的过程中，再次理解了除法算式中被除数、除数、商、余数各部分的意义和关系，对除法的意义、余数的概念有了更深入的认识和思考。课至此，学生再研究余数，知道余数是怎么来的，对余数表示什么、有余数除法算式怎么写有了进一步的认识。
【片段三】余数怎么了
师：现在泡泡更多了，每4个一组，余数可能是几呢？老师给大家准备了不一样的泡泡板，同桌合作找一找，余数可能是几呢？
（学生操作，教师请两组学生展示） 师：你来介绍一下，你们找到的余数有哪些？
生：我们找到的余数有1，2，3。
师：泡泡的个数不一样，每4个一组，余数却都有1，2，3，这里面肯定藏着数学道理的，想不想弄明白？我们一起来看看。每4个一组，余数可能是什么？
（教师利用课件逐个出示泡泡）
生：余1，余2，余3，余4？没余4。
师：改口了，你来说说看为什么不余4？
生：因为它们可以圈起来，没有多的。
师：每4个一圈，满4个又可以圈成一组，有没有余数？
生：余1，余2，余3，没有余数。
（教师继续出示泡泡）
师：除数是4，余数可能是几？现在知道了吗？
生：1，2，3。
师：余数都比4小，想明白了吗？如果每5个一圈呢？余数可能是什么？
生：1，2，3，4。
师：可能余5吗？
生：不可能。因為它们可以圈成一组。
（教师再次出示泡泡）
师：如果除数是6，余数可能是什么？
生：1，2，3，4，5。
师：嗯，都比6小，接着往下想，如果除数是7呢？一起说，余数可能是什么？
生：1，2，3，4，5，6。
师：都比除数小，那如果除数是100呢？
生：1到99。
师：1到99，真棒，所有的余数都比100小。现在你能用一句话概括余数和除数之间的关系了吗？
生：余数要比除数小。
师：大家同意吗？
生：同意。
师：是呀，所有的余数都比除数小。
【赏析】“余数要比除数小”是有余数除法计算的一个规律，理解“余数要比除数小”为进一步探索和理解试商方法奠定了逻辑基础。教学中，教师先让学生结合操作初步感知“除数是4时，余数可能是1，2，3”，随着泡泡的不断增加，可以不完全归纳出“余数要比除数小”这个结论，有利于学生在充分感知的基础上体会“余数要比除数小”这个数学道理，此时学生再研究余数，发现有余数的除法中余数的秘密，理解有余数的除法中余数意义的本质。
（作者单位：江苏省苏州高新区金色小学校）
【片段一】余数是从哪里来的
师：小朋友们，欢迎来到泡泡王国，我们一起来做圈一圈游戏。
……
师：10个泡泡，每几个一圈，可以分成几组？请大家想一想、圈一圈。
（学生在作业纸上操作）
师：谁来说说看，你是怎么圈的？
生：每组5个，有2组。
师：你是每5个一圈，2组正好。
师：有不同的圈法吗？
生：10个泡泡，每2个一圈，分成了5组。
师（课件出示圈法）：每2个一圈，分成了5组。还有不一样的吗？
生：10个泡泡，每3个一圈，分成了3组，还剩1个。
师：每3个一圈，伸出小手来圈圈看，是几组？
师：看这个泡泡，它不开心了，它为什么不开心？
生：因为它没被分到组。
师：3个泡泡一圈，规则变了，这个泡泡找不到伙伴了，被剩下了，还有不同的分法吗？
生：10个泡泡，每4个一圈，分成了2组，还剩2个。
师（课件出示圈法）：每4个一圈，分成了2组，这2个呢？
生：这2个被剩下了。
师：对呀，它们被剩下了。10个泡泡，每几个一圈，有不同的圈法。你能给这些圈法分类吗？
生：有剩余的一组，没有剩余的一组。
师：其他小朋友同意吗？
生：同意。
【赏析】教学中，杜老师用一个开放性的问题引入新课，学生在10个泡泡圈一圈的具体操作中发现，泡泡可以全部被平均分完（旧知识），也可以不被全部平均分完（新知识），学生会对不被全部平均分完的情况进行更多的思考，在具体圈一圈的过程中，学生能借助具体情境知晓余数是怎么来的，获得了余数概念的清晰表象，为理解余数的意义积累了丰富的感性经验。至此，余数以泡泡图被余下的直观图的形式第一次出现在学生的面前，但此时学生是只见其图，未闻其名。这样的教学設计，教师从数学知识内在的逻辑关系出发，从平均分能分完的旧知识引出平均分不能分完的新知识，给学生圈一圈、分一分的自由，为学生积累了丰富的活动体验，这一操作活动促进了除法意义的合理迁移，有助于难点的突破和学生构建完整的知识结构。
【片段二】余数写在哪里
师：是呀，10个泡泡，每2个一圈，可以分成5组。那每5个一圈呢？
生：10÷5=2（组）。
师：真棒！平均分正好分完，我们可以用一道除法算式来表示。
师：看这种分法，10个泡泡，每3个一圈，分成3组，还剩1个。你能用一道算式表示这个意思吗？
（学生试着写一写，教师收集作业纸）
师：老师收集了好几个同学的作业，先来看这个同学的。
[教师投影：3×3+1=10（个）]
师：算式的小主人，你来说说它表示什么意思？
生：圈了3个圈，每个圈里面有3个，加上1个，就是10个。
师：他的意思是3组3个泡泡加上剩下的1个泡泡就是10个泡泡，他把合起来的过程表示出来了。
[教师投影：10-3-3-3=1（个）]
师：这个同学来说说，连减表示什么意思？
生：它表示10个泡泡，每次减3个泡泡，还剩下1个泡泡。
师：你的意思是每次分3个泡泡，分了3次，就是3组，还剩1个，你用减法来表示了。小朋友们，平均分，正好分完，根据我们以前所学的知识，可以用什么算式？
生：除法算式。
[教师投影：10÷3=（ ）]
师：这个3表示什么？
生：这个3表示它分了3组。
师：表示完了吗？
生：分成了3组，还有多余的1个。
师：剩下的这一个也要想办法表示出来。
师：10个泡泡，每3个一组，我们可以用10除以3来表示，分成了几组呀？
生：3组。
师：分成3组，还剩下一个怎么表示呢？在商的后面再点6个小圆点，写上余下的1个。
[教师板书：10÷3=3（组）……1（个）]
师：10除以3等于3组余1个，在除法算式中，这个10叫被除数，3是除数，这个3是商。那余1个叫什么？
生：叫余数。
师：对，它就叫余数。今天我们就来学习有余数的除法。你会用除法算式表示这幅图了吗？
【赏析】有余数除法的书写格式是约定俗成的，教师可以用直接讲授的方式教学，在本课中，杜老师让学生自己先写一写，再引导学生写出有余数的除法算式。这一过程看似没有必要，实际上是学生数学思维提升的关键。学生在用算式表达题目意思的过程中，再次理解了除法算式中被除数、除数、商、余数各部分的意义和关系，对除法的意义、余数的概念有了更深入的认识和思考。课至此，学生再研究余数，知道余数是怎么来的，对余数表示什么、有余数除法算式怎么写有了进一步的认识。
【片段三】余数怎么了
师：现在泡泡更多了，每4个一组，余数可能是几呢？老师给大家准备了不一样的泡泡板，同桌合作找一找，余数可能是几呢？
（学生操作，教师请两组学生展示） 师：你来介绍一下，你们找到的余数有哪些？
生：我们找到的余数有1，2，3。
师：泡泡的个数不一样，每4个一组，余数却都有1，2，3，这里面肯定藏着数学道理的，想不想弄明白？我们一起来看看。每4个一组，余数可能是什么？
（教师利用课件逐个出示泡泡）
生：余1，余2，余3，余4？没余4。
师：改口了，你来说说看为什么不余4？
生：因为它们可以圈起来，没有多的。
师：每4个一圈，满4个又可以圈成一组，有没有余数？
生：余1，余2，余3，没有余数。
（教师继续出示泡泡）
师：除数是4，余数可能是几？现在知道了吗？
生：1，2，3。
师：余数都比4小，想明白了吗？如果每5个一圈呢？余数可能是什么？
生：1，2，3，4。
师：可能余5吗？
生：不可能。因為它们可以圈成一组。
（教师再次出示泡泡）
师：如果除数是6，余数可能是什么？
生：1，2，3，4，5。
师：嗯，都比6小，接着往下想，如果除数是7呢？一起说，余数可能是什么？
生：1，2，3，4，5，6。
师：都比除数小，那如果除数是100呢？
生：1到99。
师：1到99，真棒，所有的余数都比100小。现在你能用一句话概括余数和除数之间的关系了吗？
生：余数要比除数小。
师：大家同意吗？
生：同意。
师：是呀，所有的余数都比除数小。
【赏析】“余数要比除数小”是有余数除法计算的一个规律，理解“余数要比除数小”为进一步探索和理解试商方法奠定了逻辑基础。教学中，教师先让学生结合操作初步感知“除数是4时，余数可能是1，2，3”，随着泡泡的不断增加，可以不完全归纳出“余数要比除数小”这个结论，有利于学生在充分感知的基础上体会“余数要比除数小”这个数学道理，此时学生再研究余数，发现有余数的除法中余数的秘密，理解有余数的除法中余数意义的本质。
（作者单位：江苏省苏州高新区金色小学校）