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一、抓两条主线编织知识网络
1.描述电场力性质的主线
（1）从数方面：电场的基本特性是对放入电场的电荷有电场力的作用.电场具有力的性质.为了描述这种特性引入电场强度这一概念.关于电场强度的常用公式有三个：
E=Fq、
E=kQr2和
E=Ud.可从物理意义、引入过程及适用范围三个方面进行比较.
E=Fq是电场强度的定义式.引入检验电荷q是为了研究电场的力的性质.实际上场强的大小跟检验电荷的电量q的大小无关，场强大小反映了电场的强弱，由电场本身的性质决定.这个公式适用于一切电场，包括变化磁场所产生的感应电场.
E=kQr2是真空中的点电荷Q产生的场强的决定式，即场强大小跟场源电荷的电量Q成正比，跟离场源电荷的距离r的平方成反比.它是根据定义式
E=Fq和库仑定律公式推出的.它只适用于点电荷在真空中所产生的电场.
E=UABd，其中d是A、B两点沿场强方向的距离.公式反映了匀强电场中场强跟电势差的关系.它是在匀强电场中根据求功公式和W电=
qUAB导出的.所以这个公式只适用于匀强电场.
（2）从形方面：电场线是人们画出来的用来形象地描述电场分布的一簇曲线.实验虽然可以模拟电场线的形状，但电场线不是真实存在的，是一种假想线.①电场线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致.②电场线起始于正电荷，终止于负电荷，在正电荷形成的电场中，电场线起于正电荷延伸到无穷远处；在负电荷形成的电场中，电场线起于无穷远处，止于负电荷.③电场线不闭合也不中断，且任何两条电场线在没有电荷的地方不会相交.④在与场强相垂直的单位面积上，所穿过的电场线条数与该处场强大小成正比，即电场线越密集的地方电场越强，电场线越稀疏的地方电场越弱.
2.描述电场能性质主线
（1）从数方面：电荷放入电场后就具有电势能.电场力做功是电势能变化的量度：电场力对电荷做正功，电荷的电势能减少；电荷克服电场力做功，电荷的电势能增加；电场力做功的多少和电势能的变化数值相等.引入电势：电场中某点的电势，等于单位正电荷由该点移动到参考点（零电势点）时电场力所做的功.电势用字母φA表示
φA=WAOq=εq
.电势是相对的，只有选择零电势的位置才能确定电势的值，通常取无限远或地球的电势为零.电势是标量只有大小，没有方向，但有正、负之分，这里正负只表示比零电势高还是低.
电荷q在电场中由一点A移动到另一点B时，电场力所做的功WAB与电荷量q的比值叫电势差，电势差UAB=
WABq这个物理量与场中的试探电荷无关，它是一个只属于电场的量.电势差是从能量角度表征电场的一个重要物理量.
电势差也等于电场中两点电势之差
UAB=φA-φB
UBA=φB-φA
UAB=-UBA
，电势差由电场的性质决定，与零电势点选择无关.
（2）从形方面：把电场中电势相等的点构成的面叫等势面.在同一等势面上的任意两点间移动电荷，电场力不做功；等势面一定跟电场线垂直，即跟场强的方向垂直；电场线由电势较高的等势面指向电势较低的等势面；等势面的疏密程度可以反映电场的强弱；处于静电平衡状态的导体是一个等势体，它的表面是一个等势面.
二、用两种观点求解问题
1.由力的观点求解
一般说来，若带电粒子在匀强电场中运动作匀速直线运动，由平衡条件列式；若作匀变速直线运动，可以用牛顿第二定律与匀变速直线运动规律求解；若是匀变速曲线运动，则先分解后列式.
图1
例1 如图1所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图.在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场Ⅰ和Ⅱ，两电场的边界均是边长为L的正方形（不计电子所受重力）.
（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置.
（2）在电场Ⅰ区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置.
（3）若将左侧电场Ⅱ整体水平向右移动L/n（n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随电场移动），求在电场Ⅰ区域内由静止释放电子的所有位置.
解析：电子静止释放因为仅受电场力的作用做加速运动，出电场Ⅰ区域作匀速直线运动；进入左侧电场Ⅱ后做类平抛运动.
（1）设电子的质量为m，电量为e，电子在电场Ⅰ中做匀加速直线运动，出区域Ⅰ时的速度为v0，进入电场Ⅱ做类平抛运动，假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，有
eEL=12mv20，（L2-y）=
12at2=12
eEm（Lv0）2，
解得y=14L，所以原假设成立，即电子离开ABCD区域的位置坐标为（-2L，
14L）.
（2）设释放点在电场区域Ⅰ中，其坐标为（x，y），在电场Ⅰ中电子被加速到v1，然后进入电场Ⅱ做类平抛运动，并从D点离开，有
eEx=12mv21，y=12
at2=
12 eEm
（Lv1）2
解得xy=
L24，即在电场Ⅰ区域内满足方程的点即为所求位置.
（3）设电子从（x，y）点释放，在电场Ⅰ中加速到v2，进入电场Ⅱ后做类平抛运动，在高度为y′处离开电场Ⅱ时的情景与（2）中类似，然后电子做匀速直线运动，经过D点，则有
eEx=12mv22，y-y′=
12at2= 12 eEm
（Lv2）2，vy=at=
eELmv2，
y′=vyLnv2.
解得xy=L2（12n
+14），即在电场Ⅰ区域内满足方程的点即为所求位置.
点评：分清不同阶段的受力情况和运动情况，然后由力的观点列式是解决问题的关键.
图2
例2 如图2所示，一根光滑绝缘细杆与水平面成α=30°的角倾斜固定.细杆的一部分处在场强方向水平向右的匀强电场中，场强E=2×104 N/C.在细杆上套有一个带电量为q=-1.73×10-5 C、质量为m=3×10-2 kg的小球.现使小球从细杆的顶端A由静止开始沿杆滑下，并从B点进入电场，小球在电场中滑至最远处C点.已知AB间距离x1=0.4 m，g=10 m/s2.求：
（1）带电小球在B点的速度vB；
（2）带电小球进入电场后滑行最大距离x2；
（3）带电小球从A点滑至C点的时间是多少？
解析：小球没进入电场中受重力和杆的支持力做匀加速直线运动，进入电场后受三个力重力、杆的支持力和电场力做匀减速直线运动.
（1）小球在AB段滑动过程中，由机械能守恒
mg· x1sinα=12mv2B， 可得vB=
2 m/s.
（2）小球进入匀强电场后，在电场力和重力的作用下，由牛顿定律可得加速度a2
a2=
mgsinα-qEcosαm=-5 m/s2
小球进入电场后还能滑行到最远处C点，BC的距离为
x2=-v2B2a=
-42×（-5）=0.4 m.
（3）小球从A到B和从B到C的两段位移中的平均速度分别为
AB=
0+vB2， BC=
vB+02.
小球从A到C的的平均速度为vB2；
x1+x2=t=vB2t， 可得t=0.8 s.
点评：这类问题因叠加体受外力作用，加速度不同而存在相对运动，在具体求解时一般采用隔离法.即“锣作锣打，鼓作鼓敲”.认真分析每个物体在不同的阶段的受力情况和运动情况，建立清晰的物理图景，然后由力牛顿定律与匀变速直线运动公式列方程；同时抓住叠加体之间的位移关系或几何条件列式，再联立求解.
2.由能的观点求解
功是能量转化的量度，做功的过程就是能量转化的过程，在电场中，电场力对电荷做正功时，电荷的电势能减少；电场力对电荷做负功时，电荷的电势能增加；电势能增加或减少的数值等于电场力做功的数值，从功能观点出发分析带电粒子的运动问题，分析这一过程中各力做功的情况及其相应的能量转化情况，同时注意电场力做功与路径无关，再由动能定理或能量守恒定律列式求解，是处理带电体在电场中的运动的一条重要思路.
图3
例3 如图3所示，虚线为静电场中的等势面1，2，3，4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0.一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26 eV和5 eV.当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为-8 eV时，它的动能应为（ ）
（A） 8 eV （B） 13 eV （C） 20 eV （D） 34 eV
解析：由题意可知在静电场中相邻的等势面1，2，3，4之间的电势差相等，φ4-φ3=φ3-φ2=φ2-φ1，点电荷+q在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26 eV和5 eV，根据动能定理可得
-q（φ4-φ1）=（5-26）；
φ4-φ1=21q，又
φ3=0，可得
φ4=7q，因只有电场力做功，动能与电势能之和保持不变.由能量守恒可得
qφ4+5=-8+Ek，Ek=20 eV，所以选项（C）正确.
点评：带电粒子在电场中运动若只有电场力做功，则动能与电势能可以相互转化，但动能与电势能之和保持不变.
图4
例4 如图4所示，一个质量为m，电量为-q的小物体，可在水平轨道x上运动，O端有一与轨道垂直的固定墙，轨道处在场强大小为E，方向沿Ox轴正向的匀强磁场中，小物体以初速度v0从点x0沿Ox轨道运动，运动中受到大小不变的摩擦力
f 作用，且
f 解析： 首先要认真分析小物体的运动过程，建立物理图景.开始时，设物体从x0点，以速度v0向右运动，它在水平方向受电场力Eq和摩擦力
f，方向均向左，因此物体向右做匀减速直线运动，直到速度为零；而后，物体受向左的电场力和向右的摩擦力作用，因为f 动，直到以一定速度与墙壁碰撞，碰后物体的速度与碰前速度
大小相等，方向相反，然后物体将多次的往复运动.但由于摩擦力总是做负功，物体机械能不断损失，所以物体通过同一位置时的速度将不断减小，直到最后停止运动.物体停止时，所受合外力必定为零，因此物体只能停在O点.
对于这样幅度不断减小的往复运动，研究其全过程.电场力的功只跟始末位置有关，而跟路径无关，所以整个过程中，电势能减少了
qEx0，动能减少了
12mv20，内能增加了f s， 由能量守恒列式有：
f s=qEx0+12mv20，解得
s=2qEx0+mv202f.
点评：带电粒子在电场中运动除重力和电场力做功外，若还有其它力做功，则机械能、电势能和其实形式的能可以相互转化，但总能量保持不变.
1.描述电场力性质的主线
（1）从数方面：电场的基本特性是对放入电场的电荷有电场力的作用.电场具有力的性质.为了描述这种特性引入电场强度这一概念.关于电场强度的常用公式有三个：
E=Fq、
E=kQr2和
E=Ud.可从物理意义、引入过程及适用范围三个方面进行比较.
E=Fq是电场强度的定义式.引入检验电荷q是为了研究电场的力的性质.实际上场强的大小跟检验电荷的电量q的大小无关，场强大小反映了电场的强弱，由电场本身的性质决定.这个公式适用于一切电场，包括变化磁场所产生的感应电场.
E=kQr2是真空中的点电荷Q产生的场强的决定式，即场强大小跟场源电荷的电量Q成正比，跟离场源电荷的距离r的平方成反比.它是根据定义式
E=Fq和库仑定律公式推出的.它只适用于点电荷在真空中所产生的电场.
E=UABd，其中d是A、B两点沿场强方向的距离.公式反映了匀强电场中场强跟电势差的关系.它是在匀强电场中根据求功公式和W电=
qUAB导出的.所以这个公式只适用于匀强电场.
（2）从形方面：电场线是人们画出来的用来形象地描述电场分布的一簇曲线.实验虽然可以模拟电场线的形状，但电场线不是真实存在的，是一种假想线.①电场线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致.②电场线起始于正电荷，终止于负电荷，在正电荷形成的电场中，电场线起于正电荷延伸到无穷远处；在负电荷形成的电场中，电场线起于无穷远处，止于负电荷.③电场线不闭合也不中断，且任何两条电场线在没有电荷的地方不会相交.④在与场强相垂直的单位面积上，所穿过的电场线条数与该处场强大小成正比，即电场线越密集的地方电场越强，电场线越稀疏的地方电场越弱.
2.描述电场能性质主线
（1）从数方面：电荷放入电场后就具有电势能.电场力做功是电势能变化的量度：电场力对电荷做正功，电荷的电势能减少；电荷克服电场力做功，电荷的电势能增加；电场力做功的多少和电势能的变化数值相等.引入电势：电场中某点的电势，等于单位正电荷由该点移动到参考点（零电势点）时电场力所做的功.电势用字母φA表示
φA=WAOq=εq
.电势是相对的，只有选择零电势的位置才能确定电势的值，通常取无限远或地球的电势为零.电势是标量只有大小，没有方向，但有正、负之分，这里正负只表示比零电势高还是低.
电荷q在电场中由一点A移动到另一点B时，电场力所做的功WAB与电荷量q的比值叫电势差，电势差UAB=
WABq这个物理量与场中的试探电荷无关，它是一个只属于电场的量.电势差是从能量角度表征电场的一个重要物理量.
电势差也等于电场中两点电势之差
UAB=φA-φB
UBA=φB-φA
UAB=-UBA
，电势差由电场的性质决定，与零电势点选择无关.
（2）从形方面：把电场中电势相等的点构成的面叫等势面.在同一等势面上的任意两点间移动电荷，电场力不做功；等势面一定跟电场线垂直，即跟场强的方向垂直；电场线由电势较高的等势面指向电势较低的等势面；等势面的疏密程度可以反映电场的强弱；处于静电平衡状态的导体是一个等势体，它的表面是一个等势面.
二、用两种观点求解问题
1.由力的观点求解
一般说来，若带电粒子在匀强电场中运动作匀速直线运动，由平衡条件列式；若作匀变速直线运动，可以用牛顿第二定律与匀变速直线运动规律求解；若是匀变速曲线运动，则先分解后列式.
图1
例1 如图1所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图.在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场Ⅰ和Ⅱ，两电场的边界均是边长为L的正方形（不计电子所受重力）.
（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置.
（2）在电场Ⅰ区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置.
（3）若将左侧电场Ⅱ整体水平向右移动L/n（n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随电场移动），求在电场Ⅰ区域内由静止释放电子的所有位置.
解析：电子静止释放因为仅受电场力的作用做加速运动，出电场Ⅰ区域作匀速直线运动；进入左侧电场Ⅱ后做类平抛运动.
（1）设电子的质量为m，电量为e，电子在电场Ⅰ中做匀加速直线运动，出区域Ⅰ时的速度为v0，进入电场Ⅱ做类平抛运动，假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，有
eEL=12mv20，（L2-y）=
12at2=12
eEm（Lv0）2，
解得y=14L，所以原假设成立，即电子离开ABCD区域的位置坐标为（-2L，
14L）.
（2）设释放点在电场区域Ⅰ中，其坐标为（x，y），在电场Ⅰ中电子被加速到v1，然后进入电场Ⅱ做类平抛运动，并从D点离开，有
eEx=12mv21，y=12
at2=
12 eEm
（Lv1）2
解得xy=
L24，即在电场Ⅰ区域内满足方程的点即为所求位置.
（3）设电子从（x，y）点释放，在电场Ⅰ中加速到v2，进入电场Ⅱ后做类平抛运动，在高度为y′处离开电场Ⅱ时的情景与（2）中类似，然后电子做匀速直线运动，经过D点，则有
eEx=12mv22，y-y′=
12at2= 12 eEm
（Lv2）2，vy=at=
eELmv2，
y′=vyLnv2.
解得xy=L2（12n
+14），即在电场Ⅰ区域内满足方程的点即为所求位置.
点评：分清不同阶段的受力情况和运动情况，然后由力的观点列式是解决问题的关键.
图2
例2 如图2所示，一根光滑绝缘细杆与水平面成α=30°的角倾斜固定.细杆的一部分处在场强方向水平向右的匀强电场中，场强E=2×104 N/C.在细杆上套有一个带电量为q=-1.73×10-5 C、质量为m=3×10-2 kg的小球.现使小球从细杆的顶端A由静止开始沿杆滑下，并从B点进入电场，小球在电场中滑至最远处C点.已知AB间距离x1=0.4 m，g=10 m/s2.求：
（1）带电小球在B点的速度vB；
（2）带电小球进入电场后滑行最大距离x2；
（3）带电小球从A点滑至C点的时间是多少？
解析：小球没进入电场中受重力和杆的支持力做匀加速直线运动，进入电场后受三个力重力、杆的支持力和电场力做匀减速直线运动.
（1）小球在AB段滑动过程中，由机械能守恒
mg· x1sinα=12mv2B， 可得vB=
2 m/s.
（2）小球进入匀强电场后，在电场力和重力的作用下，由牛顿定律可得加速度a2
a2=
mgsinα-qEcosαm=-5 m/s2
小球进入电场后还能滑行到最远处C点，BC的距离为
x2=-v2B2a=
-42×（-5）=0.4 m.
（3）小球从A到B和从B到C的两段位移中的平均速度分别为
AB=
0+vB2， BC=
vB+02.
小球从A到C的的平均速度为vB2；
x1+x2=t=vB2t， 可得t=0.8 s.
点评：这类问题因叠加体受外力作用，加速度不同而存在相对运动，在具体求解时一般采用隔离法.即“锣作锣打，鼓作鼓敲”.认真分析每个物体在不同的阶段的受力情况和运动情况，建立清晰的物理图景，然后由力牛顿定律与匀变速直线运动公式列方程；同时抓住叠加体之间的位移关系或几何条件列式，再联立求解.
2.由能的观点求解
功是能量转化的量度，做功的过程就是能量转化的过程，在电场中，电场力对电荷做正功时，电荷的电势能减少；电场力对电荷做负功时，电荷的电势能增加；电势能增加或减少的数值等于电场力做功的数值，从功能观点出发分析带电粒子的运动问题，分析这一过程中各力做功的情况及其相应的能量转化情况，同时注意电场力做功与路径无关，再由动能定理或能量守恒定律列式求解，是处理带电体在电场中的运动的一条重要思路.
图3
例3 如图3所示，虚线为静电场中的等势面1，2，3，4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0.一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26 eV和5 eV.当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为-8 eV时，它的动能应为（ ）
（A） 8 eV （B） 13 eV （C） 20 eV （D） 34 eV
解析：由题意可知在静电场中相邻的等势面1，2，3，4之间的电势差相等，φ4-φ3=φ3-φ2=φ2-φ1，点电荷+q在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26 eV和5 eV，根据动能定理可得
-q（φ4-φ1）=（5-26）；
φ4-φ1=21q，又
φ3=0，可得
φ4=7q，因只有电场力做功，动能与电势能之和保持不变.由能量守恒可得
qφ4+5=-8+Ek，Ek=20 eV，所以选项（C）正确.
点评：带电粒子在电场中运动若只有电场力做功，则动能与电势能可以相互转化，但动能与电势能之和保持不变.
图4
例4 如图4所示，一个质量为m，电量为-q的小物体，可在水平轨道x上运动，O端有一与轨道垂直的固定墙，轨道处在场强大小为E，方向沿Ox轴正向的匀强磁场中，小物体以初速度v0从点x0沿Ox轨道运动，运动中受到大小不变的摩擦力
f 作用，且
f
f，方向均向左，因此物体向右做匀减速直线运动，直到速度为零；而后，物体受向左的电场力和向右的摩擦力作用，因为f
大小相等，方向相反，然后物体将多次的往复运动.但由于摩擦力总是做负功，物体机械能不断损失，所以物体通过同一位置时的速度将不断减小，直到最后停止运动.物体停止时，所受合外力必定为零，因此物体只能停在O点.
对于这样幅度不断减小的往复运动，研究其全过程.电场力的功只跟始末位置有关，而跟路径无关，所以整个过程中，电势能减少了
qEx0，动能减少了
12mv20，内能增加了f s， 由能量守恒列式有：
f s=qEx0+12mv20，解得
s=2qEx0+mv202f.
点评：带电粒子在电场中运动除重力和电场力做功外，若还有其它力做功，则机械能、电势能和其实形式的能可以相互转化，但总能量保持不变.