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在高考命题中，概率知识的考查多以填空的形式出现，而解答题则以概率应用题为主，特别要注意概率的定义、古典概型及几何概型问题，同时在试题中常常会渗透数学思想的考查．我们在学习中则应该强化对概念的理解，注意分类讨论、数形结合、等价转化、函数与方程、正难则反等数学思想方法的理解和训练．
一、认识古典概型，`兴致盎然
先认识古典概型：（1）定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型．
（2）特点：①试验结果的有限性；②所有结果的等可能性．
（3）古典概型的解题步骤：①求出试验的总基本事件数n；②求出事件A所包含的基本事件数m；③代入公式P=mn即可解答．
（4）基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）．
例1 已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2－bx+1，设集合P={1，2，3}，Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b．（1）求函数y=f（x）有零点的概率；（2）求函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率．
分析：本题是古典概型问题，要抓住求出基本事件数和基本事件总数，从而解决上述问题．
解：（a，b）共有（1，－1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15种情况．
（1）若函数y=f（x）有零点，则需Δ=b2－4ac≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），6种情况，所以函数y=f（x）有零点的概率为615=25．
（2）若函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数，需对称轴x=b2a≤1．
有（1，－1），（1，1），（1，2），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），13种情况．所以函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率为1315．
点评：利用古典概型公式求概率时，要注意学会把事件转化，如事件函数y=f（x）有零点等价于Δ≥0，即b2－4ac≥0，事件“函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数”则等价于事件“对称轴x=b2a≤1．”
二、认识几何概型，情趣盎然
认识几何概型的定义：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等，用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
几何概型的基本特点是：（1）在每次试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无穷多个；（2）在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等即基本事件的发生是等可能的．当然，在计算几何概型的概率时，则应该注意相应问题的着眼点．
例2 设点（p，q）在|p|≤3，|q|≤3均匀分布出现，求方程x2+2px－q2+1=0的两根都是实数的概率．
分析：根据一元二次方程有实数根的充要条件找出p、q的约束条件，进而确定区域的测度．
解：由于|p|≤3，|q|≤3，所以（p，q）的点集组成了边长为6的正方形，所以面积=62=36，
由方程x2+2px－q2+1=0的两根都是实数，得到Δ=（2p）2－4（－q2+1）≥0，则p2+q2≥1，所以当点（p，q）落在如图所示的阴影部分时，方程的两根都是实数．则由图象可知道区域
d=S正方形ABCD－S⊙O=36－π，所以原方程两根都是实数的概率P=36－π36=1－π36．
点评：对于与方程相结合的问题，则同样可以构造图形进行解决．
三、把握事件关系，正难则反
例3 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，三人中至少有一人达标的概率是_____________．
分析：若从正面考虑至少有一人达标有七种情形，三人中恰好有一人达标、三人中恰好有二人达标和三人全部达标，很繁，所以可运用正难反易思想，进行反面考虑．
解：先求三人无一人达标的概率．设甲、乙、丙分别达标为事件A、B、C，则P（A）=0.8，P（B）=0.6，
P（C）=0.5，且A、B、C相互独立，所以三人无一人达标的概率为P（）·P（）·P（）=0.2×0.4×0.5
=0.04，则所求的概率为1－0.04=0.96．
点评：有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时，可从其反面进行思考，通过否定结论的反面来肯定结论正确，这就是正难则反的思想，运用这一数学思想解决问题，往往能收到化难为易，化繁为简的奇效．
当然，对于概率及其应用的高考命题方向：主要是二项分布、超几何分布、条件概率和相互独立事件的概率等，它们有各自显著的特点，各有对应的计算公式，要能熟练应用．
认识独立重复试验及其概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率Pn（k）=CknPk（1-P）n-k．它是［（1-P）+P］n展开式的第k+1项．
同时要特别注意二项分布问题：二项分布实际上是对n次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述，与n次独立重复试验恰有k次发生的概率与之对应，是概率论中最重要的分布之一，我们不妨来看看二项分布之基本知识应用题． 四、走进二项分布，探究关键
例4 100件产品中有3件不合格品，每次取一件，有放回取3次，求取得不合格品的件数X的分布列．
分析：因为每次抽取的结果只有两种，即合格与不合格，且有放回地抽取三次相当于做3次独立重复试验，从而随机变量X服从二项分布．
解：X可能取的值为0，1，2，3，由于是有放回地取每次取一件，连续取三次，所以这相当于做3次独立重复试验，一次抽取到不合格品的概率p=0.03．因此X～B（3，0.03）．
P（X=0）=C03×0.030×（1－0.03）3=0.912673．
P（X=1）=C13×0.03×（1－0.03）2=0.084681．
P（X=2）=C23×0.032×（1－0.03）1=0.002619．
P（X=3）=C33×0.033×（1－0.03）0=0.000027．
则X的概率分布如下表：
点评：二项分布的模型是可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体值的概率的过程．
五、思索超几何分布，发现内涵
一般地，若一个随机变量X的分布列为P（X=r）=CrMCn－rN－MChN，其中r=0，1，2，3，……，l，l=min（n，M），则称X服从超几何分布，记为X～H（n，M，N），并将P（X=r）=CrMCn－rN－MCrN记为H（r；n，M，N）．
例5 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任意取3件，求取得次品数的概率分布，并求至少取得一件次品的概率．
分析：本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解．
解：设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N=15，M=2，n=3，则ξ的可能取值为0，1，2，相应的概率依次是
P（ξ=0）=C02C313C315=2235，
P（ξ=1）=C12C213C315=1235，
P（ξ=2）=C22C113C315=135，
则ξ的概率分布表如下：
则至少取得一件次品的概率为P（ξ=1）+P（ξ=2）=1335．
点评：建立超几何分布的关键是求得P（ξ=k）的组合关系式，利用超几何分布的概率公式进行验证，然后利用公式求出取其它的值的概率，建立ξ的概率分布．
统计试题涉及的知识点主要是抽样方法、解读直方图、判定相关关系及了解独立性检验的含义和运用、回归分析等等，但其考查的形式则是填空题为主，且常常以实际问题为背景
六、走进抽样问题，分类重点
例6 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．
分析：因为机构改革关系到各种人的利益，个体差异较大，故采用分层抽样方法为妥．
解：因为10020＝5，∴105＝2，705＝14，205＝4，
所以从副处级以上干部人中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人，因副处以上干部与工人都人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部70人采用00，01，02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．
点评：分层抽样的特点是全面考察到各种层次不同代表合理比例，大大提高了样本的代表性．同时在利用分层抽样方法抽样时需注意：分层抽样要将性质相近的个体归入一层，性质差异较大的个体归入不同层；分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定．总的原则是，层内样本的差异要小，而层之间的样本差异要大，且互不重叠．
七、研究茎叶图，注意转化
例7 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高比较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173cm的同学，求身高至少为173cm的同学被抽中的概率．
分析：（1）根据茎叶图将甲、乙两组同学的身高的数据还原，结合平均数的计算公式算出10位同学的平均数，由此即可估计这两个班的平均身高；
（2）根据甲班10位同学身高的数据，结合方差计算公式算出10位同学身高的方差，即得甲班的样本方差；
（3）根据乙班10名同学身高的数据，找出身高至少为173cm的同学人数，结合随机事件的概率公式．
解：（1）由茎叶图，得甲班的10名同学的身高分别为
182 179 179 171 170 168 168 163 162 158，
得他们的平均身高为1=110（182+179+179+…+158）=170.0cm．
乙班的10名同学的身高分别为
181 170 173 176 178 179 162 165 168 159，
得他们的平均身高为2=110（181+170+173+…+159）=171.1cm
（2）甲班的样本方差为s2=110［（182－170）2+（179－170）2+…+（158－170）2］=57.2cm2
（3）∵乙班这10名同学中有5名同学的身高大于或等于173cm，
∴从这10名同学中任意取5名同学，身高至少为173cm的同学被抽中的概率为P=410=0.4．
点评：题给出茎叶图，要我们求出数据的平均数和方差，着重研究了茎叶图的认识、样本特征数的计算和随机事件的概率公式等知识，属于基本题，关键是理解．
（作者：周文国，江苏省张家港职业教育中心校）
一、认识古典概型，`兴致盎然
先认识古典概型：（1）定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型．
（2）特点：①试验结果的有限性；②所有结果的等可能性．
（3）古典概型的解题步骤：①求出试验的总基本事件数n；②求出事件A所包含的基本事件数m；③代入公式P=mn即可解答．
（4）基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）．
例1 已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2－bx+1，设集合P={1，2，3}，Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b．（1）求函数y=f（x）有零点的概率；（2）求函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率．
分析：本题是古典概型问题，要抓住求出基本事件数和基本事件总数，从而解决上述问题．
解：（a，b）共有（1，－1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15种情况．
（1）若函数y=f（x）有零点，则需Δ=b2－4ac≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），6种情况，所以函数y=f（x）有零点的概率为615=25．
（2）若函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数，需对称轴x=b2a≤1．
有（1，－1），（1，1），（1，2），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），13种情况．所以函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率为1315．
点评：利用古典概型公式求概率时，要注意学会把事件转化，如事件函数y=f（x）有零点等价于Δ≥0，即b2－4ac≥0，事件“函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数”则等价于事件“对称轴x=b2a≤1．”
二、认识几何概型，情趣盎然
认识几何概型的定义：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等，用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
几何概型的基本特点是：（1）在每次试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无穷多个；（2）在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等即基本事件的发生是等可能的．当然，在计算几何概型的概率时，则应该注意相应问题的着眼点．
例2 设点（p，q）在|p|≤3，|q|≤3均匀分布出现，求方程x2+2px－q2+1=0的两根都是实数的概率．
分析：根据一元二次方程有实数根的充要条件找出p、q的约束条件，进而确定区域的测度．
解：由于|p|≤3，|q|≤3，所以（p，q）的点集组成了边长为6的正方形，所以面积=62=36，
由方程x2+2px－q2+1=0的两根都是实数，得到Δ=（2p）2－4（－q2+1）≥0，则p2+q2≥1，所以当点（p，q）落在如图所示的阴影部分时，方程的两根都是实数．则由图象可知道区域
d=S正方形ABCD－S⊙O=36－π，所以原方程两根都是实数的概率P=36－π36=1－π36．
点评：对于与方程相结合的问题，则同样可以构造图形进行解决．
三、把握事件关系，正难则反
例3 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，三人中至少有一人达标的概率是_____________．
分析：若从正面考虑至少有一人达标有七种情形，三人中恰好有一人达标、三人中恰好有二人达标和三人全部达标，很繁，所以可运用正难反易思想，进行反面考虑．
解：先求三人无一人达标的概率．设甲、乙、丙分别达标为事件A、B、C，则P（A）=0.8，P（B）=0.6，
P（C）=0.5，且A、B、C相互独立，所以三人无一人达标的概率为P（）·P（）·P（）=0.2×0.4×0.5
=0.04，则所求的概率为1－0.04=0.96．
点评：有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时，可从其反面进行思考，通过否定结论的反面来肯定结论正确，这就是正难则反的思想，运用这一数学思想解决问题，往往能收到化难为易，化繁为简的奇效．
当然，对于概率及其应用的高考命题方向：主要是二项分布、超几何分布、条件概率和相互独立事件的概率等，它们有各自显著的特点，各有对应的计算公式，要能熟练应用．
认识独立重复试验及其概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率Pn（k）=CknPk（1-P）n-k．它是［（1-P）+P］n展开式的第k+1项．
同时要特别注意二项分布问题：二项分布实际上是对n次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述，与n次独立重复试验恰有k次发生的概率与之对应，是概率论中最重要的分布之一，我们不妨来看看二项分布之基本知识应用题． 四、走进二项分布，探究关键
例4 100件产品中有3件不合格品，每次取一件，有放回取3次，求取得不合格品的件数X的分布列．
分析：因为每次抽取的结果只有两种，即合格与不合格，且有放回地抽取三次相当于做3次独立重复试验，从而随机变量X服从二项分布．
解：X可能取的值为0，1，2，3，由于是有放回地取每次取一件，连续取三次，所以这相当于做3次独立重复试验，一次抽取到不合格品的概率p=0.03．因此X～B（3，0.03）．
P（X=0）=C03×0.030×（1－0.03）3=0.912673．
P（X=1）=C13×0.03×（1－0.03）2=0.084681．
P（X=2）=C23×0.032×（1－0.03）1=0.002619．
P（X=3）=C33×0.033×（1－0.03）0=0.000027．
则X的概率分布如下表：
点评：二项分布的模型是可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体值的概率的过程．
五、思索超几何分布，发现内涵
一般地，若一个随机变量X的分布列为P（X=r）=CrMCn－rN－MChN，其中r=0，1，2，3，……，l，l=min（n，M），则称X服从超几何分布，记为X～H（n，M，N），并将P（X=r）=CrMCn－rN－MCrN记为H（r；n，M，N）．
例5 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任意取3件，求取得次品数的概率分布，并求至少取得一件次品的概率．
分析：本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解．
解：设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N=15，M=2，n=3，则ξ的可能取值为0，1，2，相应的概率依次是
P（ξ=0）=C02C313C315=2235，
P（ξ=1）=C12C213C315=1235，
P（ξ=2）=C22C113C315=135，
则ξ的概率分布表如下：
则至少取得一件次品的概率为P（ξ=1）+P（ξ=2）=1335．
点评：建立超几何分布的关键是求得P（ξ=k）的组合关系式，利用超几何分布的概率公式进行验证，然后利用公式求出取其它的值的概率，建立ξ的概率分布．
统计试题涉及的知识点主要是抽样方法、解读直方图、判定相关关系及了解独立性检验的含义和运用、回归分析等等，但其考查的形式则是填空题为主，且常常以实际问题为背景
六、走进抽样问题，分类重点
例6 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．
分析：因为机构改革关系到各种人的利益，个体差异较大，故采用分层抽样方法为妥．
解：因为10020＝5，∴105＝2，705＝14，205＝4，
所以从副处级以上干部人中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人，因副处以上干部与工人都人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部70人采用00，01，02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．
点评：分层抽样的特点是全面考察到各种层次不同代表合理比例，大大提高了样本的代表性．同时在利用分层抽样方法抽样时需注意：分层抽样要将性质相近的个体归入一层，性质差异较大的个体归入不同层；分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定．总的原则是，层内样本的差异要小，而层之间的样本差异要大，且互不重叠．
七、研究茎叶图，注意转化
例7 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高比较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173cm的同学，求身高至少为173cm的同学被抽中的概率．
分析：（1）根据茎叶图将甲、乙两组同学的身高的数据还原，结合平均数的计算公式算出10位同学的平均数，由此即可估计这两个班的平均身高；
（2）根据甲班10位同学身高的数据，结合方差计算公式算出10位同学身高的方差，即得甲班的样本方差；
（3）根据乙班10名同学身高的数据，找出身高至少为173cm的同学人数，结合随机事件的概率公式．
解：（1）由茎叶图，得甲班的10名同学的身高分别为
182 179 179 171 170 168 168 163 162 158，
得他们的平均身高为1=110（182+179+179+…+158）=170.0cm．
乙班的10名同学的身高分别为
181 170 173 176 178 179 162 165 168 159，
得他们的平均身高为2=110（181+170+173+…+159）=171.1cm
（2）甲班的样本方差为s2=110［（182－170）2+（179－170）2+…+（158－170）2］=57.2cm2
（3）∵乙班这10名同学中有5名同学的身高大于或等于173cm，
∴从这10名同学中任意取5名同学，身高至少为173cm的同学被抽中的概率为P=410=0.4．
点评：题给出茎叶图，要我们求出数据的平均数和方差，着重研究了茎叶图的认识、样本特征数的计算和随机事件的概率公式等知识，属于基本题，关键是理解．
（作者：周文国，江苏省张家港职业教育中心校）