论文部分内容阅读
【摘要】线性规划数学模型的求解软件很多。常用软件有matlab、lingo、lindo和Excel工具等等，这些软件都可以求最优解。但是他们的不足之处不能完整的系统的对线性规划问题做灵敏度分析，也就是输出的结果信息不全面。本文以奶制品产销计划模型为例介绍了运用winqsb[1]运筹学软件求解线性规划问题并对灵敏度做了全面分析。
【关键词】线性规划 ； winqsb软件； 灵敏度分析
1 问题[2]重述
一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品。一桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1，或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多能加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使得每天获利最大，并进一步讨论以下几个附加问题：
1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？
2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？
3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？
为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1，也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元。试为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大。并讨论以下问题：
4）若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否做这些投资？若每天投资150元，可赚回多少？
5）每公斤高级奶制品B1和B2的获利经常有10%的波动，对制定的计划有无影响？若每公斤B1的获利下降10%，计划应该变化？
2 模型的建立和求解
2.1 不深加工情况：
2.1.1 问题分析：
问题的目标是使每天的获利最大。要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2，决策受3个约束条件：原料（牛奶）供应、劳动时间和甲类设备的加工能力。
2.1.2 模型假设：
1）A1、A2两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1、A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；
2）A1、A2两种奶制品每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1、A2的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；
3）加工A1、A2的牛奶的桶数可以是任意的实数。
2.1.3 模型分析：
比例性：每个决策变量对目标函数的贡献，与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每一个约束条件右端项的贡献，与该决策变量的取值成正比。
可加性：每个决策变量对目标函数的贡献，与其它决策变量的取值无关；每个决策变量对每一个约束条件右端项的贡献，与其它决策变量的取值无关。
连续性：每个决策变量的取值都是连续的。
2.1.4 模型的建立：
决策变量：设每天用x1和x2桶牛奶分别生产A1和A2。
目标函数：设每天获利z元，则maxz=72x1+64x2 ——（1）
约束条件有以下四个：
原料供应约束：生产A1、A2的原料总量不得超过每天的供应，即x1+x2<=50 ——（2）
劳动时间约束：生产A1A2的总加工时间总量不得超过每天正式工人总的劳动时间，即12x1+8x2<=480 ——（3）
设备能力约束：A1的产量不得超过甲类设备每天的加工能力，即3x1<=100 ——（4）
非负约束：x1>=0,x2>=0 ——（5）
于是，得线性规划数学模型：
2.1.5 模型求解：
用winqsb软件，只需按照软件提示要求填上模型中相应数据即可求得其解如下图2-1所示：
中阴影的凸五边形内的区域为可行域，B点为最优解。
模型求解的结果总表如下表2-1：
2.1.6 结果分析：
除了知道最优解和最优值之外，还可以得到很多分析表。下面结合题目中的问题予以说明：
从下表我们知道最优解（x1=20,x2=30）和最优值(z=3360)，其中产品A1、A2对利润的贡献分别为1440元和1920元。如表2-2所示
2.1.6.1 资源系数分析：原料、劳动时间和甲类设备的加工能力。资源系数是随收益而及时调整的，它的改变会导致最优解和最优值的改变，不会导致检验系数的改变。松弛变量Slack or surplus给出了3种资源在最优解下是否有剩余：原料和劳动时间的剩余均为0，设备尚余40公斤加工能力。如下表2-3第6列所示：
2.1.6.2 目标函数可以看做效益。资源增加，必然效益增加。影子价格Shadow price给出了这3种资源在最优解下，资源每增加一个单位时，效益的增量。原料增加一个单位（一桶牛奶）时利润增加48元；劳动时间增加一个单位（1小时）时，利润增加2元；增加设备的能力时，利润不增加。“问题1）”：用35元可以买到1桶牛奶，低于1桶牛奶的影子价格，当然应当作这项投资。“问题2）”：聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工资最多是每小时2元。如表2-3最后一列所示。
2.1.6.3 价值系数分析：价值系数下限Allowable Min 和价值系数上限Allowable Max给出了最优解不变的条件下，目标函数的价值系数的允许变化范围：x1的系数为（64，96）；x2的系数为（48，72）。“问题3）”：若每公斤A1的获利增加到30元，则x1系数变为30*3=90，在允许范围，所以不应该变生产计划。如表2-4最后两列所示：
2.1.6.4 对资源的影子价格作进一步分析：随B点（最优解）移到A点的过程中，每增加1桶牛奶，利润增加48元。但是当B与A重合后再增加牛奶就不可能使利润增加了。Allowable Min RHS和Allowable Max RHS给出了影子价格有意义条件下，约束右端的限制范围。“问题1）第二问”：虽然应该批准用35元买一桶牛奶的投资，但每天最多购买10桶（60-50=10），可以用低于每小时的工资聘用临时工人以增加劳动时间，但最多增加53.3小时（533.3-480=53.3）。如表2-5所示：
2.2 深加工情况：
为了增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术。
2.2.1 问题分析：
问题的目标仍然是使每天的获利最大。要作的决策是生产和销售计划，即既要考虑每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2，还要考虑用多少公斤的A1加工成B1，用多少公斤的A2加工成B2。决策受3个约束条件：原料（牛奶）供应、劳动时间和甲类设备的加工能力。
2.2.2 模型假设：
1）A1、A2、B1、B2四种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1、A2的数量和所需的时间以及加工出B1、B2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；2）A1、A2、B1、B2四种奶制品每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1、A2以及加工出B1、B2的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；
3）加工A1、A2的牛奶的桶数可以是任意的实数,确保牛奶不会被浪费；
4）将A1、A2加工成B1、B2时重量没有改变。
2.2.3 模型分析：
比例性：每个决策变量对目标函数的贡献，与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每一个约束条件右端项的贡献，与该决策变量的取值成正比。
可加性：每个决策变量对目标函数的贡献，与其它决策变量的取值无关；每个决策变量对每一个约束条件右端项的贡献，与其它决策变量的取值无关。
连续性：每个决策变量的取值都是连续的。
2.2.4 模型的建立：
决策变量：每天销售x1公斤A1，x2公斤A2，x3公斤B1，x4公斤B2，用x5公斤A1加工B1，x6公斤A2加工B2。
目标函数：设每天净利润为z，则 maxz=24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6 ——（6）
约束条件有以下四个：
原料供应约束：A1每天生产x1+x2公斤，用牛奶(x1+x5)/3桶，A2每天生产x2+x6公斤，用牛奶(x2+x6)/4桶，二者之和不得超过每天的供应量50桶，
即：(x1+x5)/3+(x2+x6)/4<=50 ——（7）
劳动时间约束：每天生产A1A2的劳动时间分别为4(x1+x5)和2（ x2+x6），加工B1B2的时间分别为2x5和2x6，二者之和不得超过总的劳动时间480小时，
即4(x1+x5)+ 2（x2+x6）+2（x5+x6）<=480 ——（8）
设备能力约束：A1的产量x1+x5不得超过甲类设备每天的加工能力100公斤，
即：x1+x5<=100——（9）
非负约束：x1,….,x6均为非负。
附加约束：1公斤A1加工成0.8公斤B1，故x3=0.8x5——（10）；
同理：x4=0.75x6 ——（11）
于是，得数学模型：
2.2.5 模型求解：
Winqsb求得最优值3460.8，如表2-7所示，说明深加工可以提高获取的利润3460.8-3360=100.8元。
2.2.6 结果分析：
每天将加工成的A1全部深加工成B1,将加工出的168公斤的A2直接销售，销售19.2公斤的B1，不销售A1和B2；此时，8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2，将24公斤的A1全部再加工成B1。产品A1对利润的贡献表现为亏72元（因为没有出售），A2对利润的贡献为2688元，B1对利润的贡献为844元，B2对利润没有贡献（因为没有生产）。如下表2-8和2-9所示：
2.2.6.1 影子价格分析：约束2）、3）的影子价格分别为3.16和6.52，所以由（7）式可知，增加1桶牛奶可是净利润增长3.16*12=37.92元；增加1小时劳动时间可使净利润增长3.26元。所以应该投资30元增加供应一桶牛奶，或投资3元增加1小时劳动时间。若每天投资150元，增加供应5桶牛奶，可赚回37.92*5=189.6元。但是，通过投资增加牛奶的数量是有限的，输出结果表明，约束2）右端的允许变化范围是 ，相当于（7）式右端的允许变化范围是 ，即最多增加供应60-50=10桶牛奶。如下表2-10所示：
2.2.6.2.灵敏度分析：最优解不变条件下，目标函数价值系数的允许变化范围：x3的系数为（40.83，63.75）；x4的系数为（-∞，34.0267）。所以当B1的获利向下波动10%，或B2的获利向上波动10%时，上面得到的生产销售计划将不再一定是最优的，应该重新制定。如若每公斤B1的获利下降10%，应将原模型（6）中式x3的系数改为39.6，重新计算，得到最优解为：x1=0,x2=160,x3=0,x4=30,x5=0,x6=40，最优值z=3400。，可见计划变化很大，也就是说，（最优）生产计划对B1或B2获利的波动是很敏感的。如下表2-11所示：
3 模型的检验
3.1 在不深加工模型：
取价值系数c1=70,c2=50其余不变，得结果表3-1：
结果分析：结果显示，目标函数的价值系数在一定范围内发生变化时（假定约束条件不变），最优值改变，3360变成2900但最优解不会改变（x1=20,x2=30）。
3.2 深加工模型：
取资源系数b1=400，b2=300，b3=50，其余不变。得结果如表3-2：
表明模型的稳定性较好。
4 模型和winqsb软件评价
该模型没有考虑产品的成本与产量的关系，实际上产量越高，成本在一定范围内是有所减低的；也没有考虑产品的生产过程中所用牛奶的桶数只能是整数，而不是任意实数，这样可能导致一些浪费。但是，在具体情况不明细的情况下，做出这种假设是基本合理的。该模型是运筹学和系统工程中常见的基本模型，早已经广泛运用于解决实际工作生活中的线性规划问题中。winqsb软件就有极其广阔的用途，其中有19个软件包，分别解决抽样分析、综合计划、决策分析、动态分析、设备场地布局、预测与线性回归、目标与整线性规划、存储论与控制系统、排队分析、质量管理控制图等19大类的系统工程问题。该软件易学易用。它输出的结果不但全面而且一目了然。缺点就是该软件到目前为止还是全英文版，尚无汉化版面世。
参考文献
[1]牛映武.运筹学.西安交通大学出版社，2006.5.
[2]姜启源.数学模型.高等教育出版社，2003.8.
【关键词】线性规划 ； winqsb软件； 灵敏度分析
1 问题[2]重述
一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品。一桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1，或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多能加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使得每天获利最大，并进一步讨论以下几个附加问题：
1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？
2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？
3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？
为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1，也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元。试为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大。并讨论以下问题：
4）若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否做这些投资？若每天投资150元，可赚回多少？
5）每公斤高级奶制品B1和B2的获利经常有10%的波动，对制定的计划有无影响？若每公斤B1的获利下降10%，计划应该变化？
2 模型的建立和求解
2.1 不深加工情况：
2.1.1 问题分析：
问题的目标是使每天的获利最大。要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2，决策受3个约束条件：原料（牛奶）供应、劳动时间和甲类设备的加工能力。
2.1.2 模型假设：
1）A1、A2两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1、A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；
2）A1、A2两种奶制品每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1、A2的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；
3）加工A1、A2的牛奶的桶数可以是任意的实数。
2.1.3 模型分析：
比例性：每个决策变量对目标函数的贡献，与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每一个约束条件右端项的贡献，与该决策变量的取值成正比。
可加性：每个决策变量对目标函数的贡献，与其它决策变量的取值无关；每个决策变量对每一个约束条件右端项的贡献，与其它决策变量的取值无关。
连续性：每个决策变量的取值都是连续的。
2.1.4 模型的建立：
决策变量：设每天用x1和x2桶牛奶分别生产A1和A2。
目标函数：设每天获利z元，则maxz=72x1+64x2 ——（1）
约束条件有以下四个：
原料供应约束：生产A1、A2的原料总量不得超过每天的供应，即x1+x2<=50 ——（2）
劳动时间约束：生产A1A2的总加工时间总量不得超过每天正式工人总的劳动时间，即12x1+8x2<=480 ——（3）
设备能力约束：A1的产量不得超过甲类设备每天的加工能力，即3x1<=100 ——（4）
非负约束：x1>=0,x2>=0 ——（5）
于是，得线性规划数学模型：
2.1.5 模型求解：
用winqsb软件，只需按照软件提示要求填上模型中相应数据即可求得其解如下图2-1所示：
中阴影的凸五边形内的区域为可行域，B点为最优解。
模型求解的结果总表如下表2-1：
2.1.6 结果分析：
除了知道最优解和最优值之外，还可以得到很多分析表。下面结合题目中的问题予以说明：
从下表我们知道最优解（x1=20,x2=30）和最优值(z=3360)，其中产品A1、A2对利润的贡献分别为1440元和1920元。如表2-2所示
2.1.6.1 资源系数分析：原料、劳动时间和甲类设备的加工能力。资源系数是随收益而及时调整的，它的改变会导致最优解和最优值的改变，不会导致检验系数的改变。松弛变量Slack or surplus给出了3种资源在最优解下是否有剩余：原料和劳动时间的剩余均为0，设备尚余40公斤加工能力。如下表2-3第6列所示：
2.1.6.2 目标函数可以看做效益。资源增加，必然效益增加。影子价格Shadow price给出了这3种资源在最优解下，资源每增加一个单位时，效益的增量。原料增加一个单位（一桶牛奶）时利润增加48元；劳动时间增加一个单位（1小时）时，利润增加2元；增加设备的能力时，利润不增加。“问题1）”：用35元可以买到1桶牛奶，低于1桶牛奶的影子价格，当然应当作这项投资。“问题2）”：聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工资最多是每小时2元。如表2-3最后一列所示。
2.1.6.3 价值系数分析：价值系数下限Allowable Min 和价值系数上限Allowable Max给出了最优解不变的条件下，目标函数的价值系数的允许变化范围：x1的系数为（64，96）；x2的系数为（48，72）。“问题3）”：若每公斤A1的获利增加到30元，则x1系数变为30*3=90，在允许范围，所以不应该变生产计划。如表2-4最后两列所示：
2.1.6.4 对资源的影子价格作进一步分析：随B点（最优解）移到A点的过程中，每增加1桶牛奶，利润增加48元。但是当B与A重合后再增加牛奶就不可能使利润增加了。Allowable Min RHS和Allowable Max RHS给出了影子价格有意义条件下，约束右端的限制范围。“问题1）第二问”：虽然应该批准用35元买一桶牛奶的投资，但每天最多购买10桶（60-50=10），可以用低于每小时的工资聘用临时工人以增加劳动时间，但最多增加53.3小时（533.3-480=53.3）。如表2-5所示：
2.2 深加工情况：
为了增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术。
2.2.1 问题分析：
问题的目标仍然是使每天的获利最大。要作的决策是生产和销售计划，即既要考虑每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2，还要考虑用多少公斤的A1加工成B1，用多少公斤的A2加工成B2。决策受3个约束条件：原料（牛奶）供应、劳动时间和甲类设备的加工能力。
2.2.2 模型假设：
1）A1、A2、B1、B2四种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1、A2的数量和所需的时间以及加工出B1、B2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；2）A1、A2、B1、B2四种奶制品每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1、A2以及加工出B1、B2的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；
3）加工A1、A2的牛奶的桶数可以是任意的实数,确保牛奶不会被浪费；
4）将A1、A2加工成B1、B2时重量没有改变。
2.2.3 模型分析：
比例性：每个决策变量对目标函数的贡献，与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每一个约束条件右端项的贡献，与该决策变量的取值成正比。
可加性：每个决策变量对目标函数的贡献，与其它决策变量的取值无关；每个决策变量对每一个约束条件右端项的贡献，与其它决策变量的取值无关。
连续性：每个决策变量的取值都是连续的。
2.2.4 模型的建立：
决策变量：每天销售x1公斤A1，x2公斤A2，x3公斤B1，x4公斤B2，用x5公斤A1加工B1，x6公斤A2加工B2。
目标函数：设每天净利润为z，则 maxz=24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6 ——（6）
约束条件有以下四个：
原料供应约束：A1每天生产x1+x2公斤，用牛奶(x1+x5)/3桶，A2每天生产x2+x6公斤，用牛奶(x2+x6)/4桶，二者之和不得超过每天的供应量50桶，
即：(x1+x5)/3+(x2+x6)/4<=50 ——（7）
劳动时间约束：每天生产A1A2的劳动时间分别为4(x1+x5)和2（ x2+x6），加工B1B2的时间分别为2x5和2x6，二者之和不得超过总的劳动时间480小时，
即4(x1+x5)+ 2（x2+x6）+2（x5+x6）<=480 ——（8）
设备能力约束：A1的产量x1+x5不得超过甲类设备每天的加工能力100公斤，
即：x1+x5<=100——（9）
非负约束：x1,….,x6均为非负。
附加约束：1公斤A1加工成0.8公斤B1，故x3=0.8x5——（10）；
同理：x4=0.75x6 ——（11）
于是，得数学模型：
2.2.5 模型求解：
Winqsb求得最优值3460.8，如表2-7所示，说明深加工可以提高获取的利润3460.8-3360=100.8元。
2.2.6 结果分析：
每天将加工成的A1全部深加工成B1,将加工出的168公斤的A2直接销售，销售19.2公斤的B1，不销售A1和B2；此时，8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2，将24公斤的A1全部再加工成B1。产品A1对利润的贡献表现为亏72元（因为没有出售），A2对利润的贡献为2688元，B1对利润的贡献为844元，B2对利润没有贡献（因为没有生产）。如下表2-8和2-9所示：
2.2.6.1 影子价格分析：约束2）、3）的影子价格分别为3.16和6.52，所以由（7）式可知，增加1桶牛奶可是净利润增长3.16*12=37.92元；增加1小时劳动时间可使净利润增长3.26元。所以应该投资30元增加供应一桶牛奶，或投资3元增加1小时劳动时间。若每天投资150元，增加供应5桶牛奶，可赚回37.92*5=189.6元。但是，通过投资增加牛奶的数量是有限的，输出结果表明，约束2）右端的允许变化范围是 ，相当于（7）式右端的允许变化范围是 ，即最多增加供应60-50=10桶牛奶。如下表2-10所示：
2.2.6.2.灵敏度分析：最优解不变条件下，目标函数价值系数的允许变化范围：x3的系数为（40.83，63.75）；x4的系数为（-∞，34.0267）。所以当B1的获利向下波动10%，或B2的获利向上波动10%时，上面得到的生产销售计划将不再一定是最优的，应该重新制定。如若每公斤B1的获利下降10%，应将原模型（6）中式x3的系数改为39.6，重新计算，得到最优解为：x1=0,x2=160,x3=0,x4=30,x5=0,x6=40，最优值z=3400。，可见计划变化很大，也就是说，（最优）生产计划对B1或B2获利的波动是很敏感的。如下表2-11所示：
3 模型的检验
3.1 在不深加工模型：
取价值系数c1=70,c2=50其余不变，得结果表3-1：
结果分析：结果显示，目标函数的价值系数在一定范围内发生变化时（假定约束条件不变），最优值改变，3360变成2900但最优解不会改变（x1=20,x2=30）。
3.2 深加工模型：
取资源系数b1=400，b2=300，b3=50，其余不变。得结果如表3-2：
表明模型的稳定性较好。
4 模型和winqsb软件评价
该模型没有考虑产品的成本与产量的关系，实际上产量越高，成本在一定范围内是有所减低的；也没有考虑产品的生产过程中所用牛奶的桶数只能是整数，而不是任意实数，这样可能导致一些浪费。但是，在具体情况不明细的情况下，做出这种假设是基本合理的。该模型是运筹学和系统工程中常见的基本模型，早已经广泛运用于解决实际工作生活中的线性规划问题中。winqsb软件就有极其广阔的用途，其中有19个软件包，分别解决抽样分析、综合计划、决策分析、动态分析、设备场地布局、预测与线性回归、目标与整线性规划、存储论与控制系统、排队分析、质量管理控制图等19大类的系统工程问题。该软件易学易用。它输出的结果不但全面而且一目了然。缺点就是该软件到目前为止还是全英文版，尚无汉化版面世。
参考文献
[1]牛映武.运筹学.西安交通大学出版社，2006.5.
[2]姜启源.数学模型.高等教育出版社，2003.8.