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一、数学概念的特点及重要性
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式,具有抽象与具体的双重性。数学概念之间又有逻辑联系。数学概念是导出数学定理和数学法则的基础。因此数学概念教学是数学教学中至关重要的一个环节,是基础知识和基本技能教学的核心。学生数学素养的差异主要是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件及必要保障。因此抓好概念教学对提高数学教学质量具有决定意义。
二.数学概念的教学应注重的几个环节
1.注重概念的本源,概念产生的基础,感悟数学概念的形成过程。每个概念的产生都有丰富的知识背景,舍弃这些背景,直接抛给学生概念是教学中欲速而不达的做法,这种做法常常使学生感到茫然,同时也丢弃培养学生概括能力的一个好机会。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确性,而传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性,在方式上以“告诉”为主,让学生“占有”新概念,置学生于被动地位。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“创造数学”,经历一次发现、总结的过程,那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。我们应重视在数学概念教学中培养学生的创造性思维。引入是概念教学的第一步,也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想,即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象,让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表现形式的最高层次,属于创造性想象,是推动数学发展的强大动力,因此,在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯,是形成数学直觉,发展数学思维,获得数学发现的基本素质,也是培养创造性思维的重要因素。例如,在立体几何中异面直线距离的概念,传统的方法是给出异面直线公垂线的概念,然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教学可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念,如两点之间的距离,点到直线的距离,两平行线之间的距离,引导学生思考这些距离有什么特点,发现共同的特点是最短与垂直。然后,启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的两点,它们间的距离是最短的?如果存在,应当有什么特征?于是经过共同探索,得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直,则其长是最短的,并通过实物模型演示确认这样的线段存在,在此基础上,自然地给出异面直线距离的概念。这样做,不仅使学生得到了概括能力的训练,还尝到了数学发现的滋味,认识到距离这个概念的本质属性。
2.深入挖掘概念的内涵与外延,充分理解概念。新概念的引入,是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因,很难一步到位,需要分成若干个层次,逐步加深提高。如三角函数的定义,经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程:①用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义;②用点的坐标表示的锐角三角函数的定义;③任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出:①三角函数的值在各个象限的符号;②三角函数线;③同角三角函数的基本关系式;④三角函数的图象与性质;⑤三角函数的诱导公式等。显然,三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的奠基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”,重视概念教学,挖掘概念的内涵与外延,有利于学生理解概念。
3.把握新旧概念之间的联系,系统掌握概念。数学中有许多概念都有着密切的联系,如平行线段与平行向量,平面角与空间角,方程与不等式,映射与函数等等,在教学中及时联系,分析区别,有利于学生掌握概念的本质。又如,函数概念有两种定义,一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发,其中的对应关系是将自变量 的每一个取值,与唯一确定的函数值 对应起来;另一种是高中给出的定义,从集合、对应的观点出发,其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素相对应。初中给出的定义来源于物理公式,而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,函数可用图象、表格、公式等表示,所以高中用集合与对应的语言来刻画函数,抓住了函数的本质属性,更具有一般性。认真分析两种函数定义,其定义域与值域的含义完全相同,对应关系本质也一样,只不过叙述的出发点不同,所以两种函数的定义,本质是一致的。当然,对于函数概念真正的认识和理解是不容易的,要经历一个反复接触不断加深理解的过程。
4.掌握概念、运用概念、巩固概念。数学概念形成之后,及时通过具体例子,说明概念的内涵,引导学生利用概念解决问题同时发现概念在解决问题中的作用,是数学概念教学的一个重要环节,此环节将直接影响学生的对数学概念的巩固,及解题能力的形成。例如,当我们学习完“向量的坐标”这一概念之后,进行向量的坐标运算,提出问题:已知平行四边形的三个顶点坐标试求第四个顶点的坐标。学生展开充分的讨论,不少学生运用平面解析几何中学过的知识(两点间的距离公式、直线斜率、直线方程、中点坐标公式等),结合平行四边形的性质,提出了多种解法,有的学生则应用共线向量的概念给出了解法,还有一些学生运用所学过向量坐标的概念,把点的坐标和向量坐标联系起来,巧妙地解答了这一问题。学生通过对问题的思考,尽快地投入到新概念的探索中去,从而激发了学生兴趣以及探索和创造的欲望,使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外,教师通过反例、错解等进行辨析,也有利于学生巩固概念。
总之,要做好数学概念的教学,使学生透彻地牢固地掌握数学概念是提高数学教学质量的关键所在,教师首先应认识到数学概念教学对数学基础知识教学,培养学生解决实际问题的能力,以及发展学生逻辑思维和数学思想培养的影响,在思想上重视它,在教学中丰富它,挖掘它。使我们在教学时目的明确,方法对头,提高教学效率。
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式,具有抽象与具体的双重性。数学概念之间又有逻辑联系。数学概念是导出数学定理和数学法则的基础。因此数学概念教学是数学教学中至关重要的一个环节,是基础知识和基本技能教学的核心。学生数学素养的差异主要是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件及必要保障。因此抓好概念教学对提高数学教学质量具有决定意义。
二.数学概念的教学应注重的几个环节
1.注重概念的本源,概念产生的基础,感悟数学概念的形成过程。每个概念的产生都有丰富的知识背景,舍弃这些背景,直接抛给学生概念是教学中欲速而不达的做法,这种做法常常使学生感到茫然,同时也丢弃培养学生概括能力的一个好机会。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确性,而传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性,在方式上以“告诉”为主,让学生“占有”新概念,置学生于被动地位。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“创造数学”,经历一次发现、总结的过程,那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。我们应重视在数学概念教学中培养学生的创造性思维。引入是概念教学的第一步,也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想,即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象,让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表现形式的最高层次,属于创造性想象,是推动数学发展的强大动力,因此,在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯,是形成数学直觉,发展数学思维,获得数学发现的基本素质,也是培养创造性思维的重要因素。例如,在立体几何中异面直线距离的概念,传统的方法是给出异面直线公垂线的概念,然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教学可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念,如两点之间的距离,点到直线的距离,两平行线之间的距离,引导学生思考这些距离有什么特点,发现共同的特点是最短与垂直。然后,启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的两点,它们间的距离是最短的?如果存在,应当有什么特征?于是经过共同探索,得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直,则其长是最短的,并通过实物模型演示确认这样的线段存在,在此基础上,自然地给出异面直线距离的概念。这样做,不仅使学生得到了概括能力的训练,还尝到了数学发现的滋味,认识到距离这个概念的本质属性。
2.深入挖掘概念的内涵与外延,充分理解概念。新概念的引入,是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因,很难一步到位,需要分成若干个层次,逐步加深提高。如三角函数的定义,经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程:①用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义;②用点的坐标表示的锐角三角函数的定义;③任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出:①三角函数的值在各个象限的符号;②三角函数线;③同角三角函数的基本关系式;④三角函数的图象与性质;⑤三角函数的诱导公式等。显然,三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的奠基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”,重视概念教学,挖掘概念的内涵与外延,有利于学生理解概念。
3.把握新旧概念之间的联系,系统掌握概念。数学中有许多概念都有着密切的联系,如平行线段与平行向量,平面角与空间角,方程与不等式,映射与函数等等,在教学中及时联系,分析区别,有利于学生掌握概念的本质。又如,函数概念有两种定义,一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发,其中的对应关系是将自变量 的每一个取值,与唯一确定的函数值 对应起来;另一种是高中给出的定义,从集合、对应的观点出发,其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素相对应。初中给出的定义来源于物理公式,而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,函数可用图象、表格、公式等表示,所以高中用集合与对应的语言来刻画函数,抓住了函数的本质属性,更具有一般性。认真分析两种函数定义,其定义域与值域的含义完全相同,对应关系本质也一样,只不过叙述的出发点不同,所以两种函数的定义,本质是一致的。当然,对于函数概念真正的认识和理解是不容易的,要经历一个反复接触不断加深理解的过程。
4.掌握概念、运用概念、巩固概念。数学概念形成之后,及时通过具体例子,说明概念的内涵,引导学生利用概念解决问题同时发现概念在解决问题中的作用,是数学概念教学的一个重要环节,此环节将直接影响学生的对数学概念的巩固,及解题能力的形成。例如,当我们学习完“向量的坐标”这一概念之后,进行向量的坐标运算,提出问题:已知平行四边形的三个顶点坐标试求第四个顶点的坐标。学生展开充分的讨论,不少学生运用平面解析几何中学过的知识(两点间的距离公式、直线斜率、直线方程、中点坐标公式等),结合平行四边形的性质,提出了多种解法,有的学生则应用共线向量的概念给出了解法,还有一些学生运用所学过向量坐标的概念,把点的坐标和向量坐标联系起来,巧妙地解答了这一问题。学生通过对问题的思考,尽快地投入到新概念的探索中去,从而激发了学生兴趣以及探索和创造的欲望,使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外,教师通过反例、错解等进行辨析,也有利于学生巩固概念。
总之,要做好数学概念的教学,使学生透彻地牢固地掌握数学概念是提高数学教学质量的关键所在,教师首先应认识到数学概念教学对数学基础知识教学,培养学生解决实际问题的能力,以及发展学生逻辑思维和数学思想培养的影响,在思想上重视它,在教学中丰富它,挖掘它。使我们在教学时目的明确,方法对头,提高教学效率。