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【摘要】数学概念是反映事物在空间形式与数学关系方面的关键属性或本质属性的基本单位.数学概念的教学是数学教学中重要的内容之一，对于计算和应用题的解决起着重要的作用.多元表征是符号表征、语言表征、操作表征、情境表征、图形表征等外在表征形式的综合，多元表征有利于学生加深对数学知识的理解，有利于学生构建良好的知识结构，增强学生全面审视问题的能力，并且帮助学生形成最优化的解题策略，因此运用多元表征理论指导概念教学具有重要的意义.笔者对如何在概念教学中恰当运用多元表征进行实践研究，以北师大版五年级上“分数的再认识”一课的教学为例，探讨如何借多元表征悟数学概念，帮助学生达到正确地理解、运用分数的概念，发展学生数学理解和应用能力.
【关键词】多元表征;动作表征;表象表征;口语表征;概念教学
表征是指信息在心理活动中的表现和记载的方式[1].数学外在表征（简称数学表征）是指用某种形式表达数学概念或关系的行为，也是指形式的本身[2].美国教育心理学家布鲁纳认为：在人类智慧生长期，有三种表征方式在起作用，它们分别是动作表征、表象表征和符号表征.这三种表征系统的相互作用，是人类认知生长和智慧生长的核心.三种不同表征代表着思维活动的不同程度.学生获得数学概念往往是以线性方式从动作表征到表象表征，最后通过抽象思维形成符号表征.美国学者莱什从交流、认知的作用出发，在布鲁纳的表征系统的基础上增加了口语和实物情景两种表征，他认为数学学习中有五种外在表征形式：（1）实物情境;（2）教具模型;（3）图形或图表;（4）口语;（5）书写符号[3].他曾借助图形来说明数学概念的发展过程：实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表述方式如图形、书面语言、符号语言、现实情境等同样也发挥了十分重要的作用.莱什的论述显然具有重要的现实意义，即是指我们在教学中不应片面地强调“情境设置”或“动手实践”.另外，从更为一般的角度分析，这实际上也可以被看成为我们如何更好地去理解数学教育领域中这样一个普遍的发展趋势提供了直接的背景，即是指对于“联系”的突出强调（当然，对于这里所说的“联系”我们应作广义的理解，即这不仅是指同一概念不同心理表征之间的联系，也是指不同概念乃至不同学科或学科分支之间的联系）.例如，美国数学教师全国委员会在2000年颁布的新的数学课程标准就将“联系”与“数和运算”“模式、函数和代数”“几何与空间感”“度量”“数据分析、统计与概率”“问题解决”“推理与证明”“交流”“表述”等一起列为学校数学的“十项标准”.
20世纪80年代以来，随着现代信息技术在教育领域的应用，多元外在表征的研究成为认知科学、教育技术、教育心理学等领域的热门话题.多元表征是符号表征、语言表征、操作表征、情境表征、图形表征等外在表征形式的综合，多元表征有利于学生加深对数学知识的理解，有利于学生构建良好的知识结构，增强学生全面审视问题的能力，并且帮助学生形成最优化的解题策略.因此，运用多元表征理论指导概念教学具有重要的意义.数学学习中多元外在表征的研究主要趋势是：综合运用多种理论和多种研究方法，深入探讨多元外在表征研究对数学学习的价值与意义，建构数学学习中多元表征研究的基本理论;系统思考各种因素，探讨运用多元外在表征的教学设计，提高学习效率.
在数学学习中，数学多元表征是指同一数学学习对象的多种表征形式.南京大学哲学系郑毓信教授指出，“概念教学的一个主要目标是帮助学生建立概念的多元表征，并能根据需要与情境在表征的不同成分之间做出灵活的转换”.我们在概念教学中不应片面地强调“情境设置”或“动手实践”，应当注重不同表征之间的有机融合，帮助学生深刻领悟数学概念的本质[4].现以北师大版五年级上“分数的再认识”一课的教学为例，对概念教学的多元表征进行探讨.
一、在动作表征中初悟概念
所谓动作表征，是指通过动作反应对知识进行表征，有些数学概念的定义就是通过动作的描述来表征的.小学生的思维以直观、形象思维为主.教学概念时，教师应选择动态的直观材料，通过操作演示，引导学生观察、感知隐藏在动作或实物中的数学概念，帮助学生形成概念的直观表象.
课程开始，教师先请两名学生代表上台分别取出两个相同盒子里糖果的1[]2，其中一名学生代表取出了一个糖果.接着，教师让台下的同学猜一猜另一名学生可能会取出多少个糖果.学生在猜想的同时思考自己猜想的理由.当第二名学生取出3个糖果时，教师疑惑地请教台下的学生：“同样是盒子里糖果的1[]2，为什么取出来的糖果数量不一样呢？”随着学生的思考与解答，教师把两个盒子里的糖果总数同时展示给学生观察，并把取的过程再重新演示一遍，帮助学生感知动作表征与分数概念原型之间的内在联系，促进他们主动形成同一个分数表示多少的相对性直观表象，初步感悟整体.然后教师进行追问：“拿出来的数量不一样，为什么还都是1[]2？”学生在互动中初步感悟不管整体的数量是多少，只要把整体平均分成两份，取其中的一份，这一份就占这个整体的二分之一，从而构建了分数的概念，为接下来对分数概念的归纳概括打下基础.
二、在表象表征中领悟概念
所谓表象表征，是指用心理表象来表征知识.儿童对实物直觉和知觉后在记忆中会留下它的形象、肖像或图片等，通过表象可以获得知识.认知心理学研究表明，许多儿童在具体的活动经验与数学的形式之间的联结会有许多的困难，这其中的主要原因是缺乏表象操作（半具体、语言、抽象的数学符号）的中间层次，这就需要教师关注表象操作的层次[5].学生对分数概念的再认识，既不能仅仅停留在具体实物上，也不能一蹴而就地从实物原型直接抽象出分数概念.学生从动作表征中获得概念的初步表象后，教师应用表象操作，即半具体、语言、抽象的数学符号来揭示概念的本质属性.
教学时，教师应把教学的重点放在对3[]4的表象表征上.因为对分数概念的理解过程是不应该由教材或教师替代学生进行的，所以必须让学生自己经历，自己体验和感悟.只有这样，学生才会构建属于自己对分数概念的理解.信息加工理论的学者认为：有了正确的表征，问题就已经解决了一半.布鲁纳更是直接说：“学习的重点不在于记忆，而在于编码.”表征（编码）的重要性在“分数的再认识”的教学中表现得尤为突出.当学生乐于并有能力表征3[]4这个分数时，学生对分数的再认识已是水到渠成的事了.而学生获得用自己的方式表征的數学概念，才是对其后续学习最有价值的东西. 北师大版教材直接用三组不同的图画呈现对3[]4的表示，而教师进行了改编，鼓励学生用自己喜欢的方式表示3[]4.在这个环节里，教师为学生提供充足的探索时间，学生在独立探索、尝试表征的过程中在自己的脑海里对分数概念进行了回忆、提取、分析、构建与创编，联系第一个环节取糖果的动作表征学习，部分学生必然对分数有更多的、新的想法，这样的一个对分数的表象表征过程有利于学生对分数概念的深入领悟，同时，画一画、圈一圈、写一写使得学生的思维看得见.这时，教师可以走到学生中了解学生的真实思维，并选择有代表性的作品进行展示.教师在展示学生的作品时先展示多幅把一个物体看作一个整体的作品，再展示多幅把多个物体看作一个整体的作品，最后展示多幅把多组物体看作一个整体的作品.教师要充分尊重学生，鼓励学生结合自己的图形尝试用自己的语言多元表征对3[]4的理解.对于把多组物体看作一个整体的作品，鼓励学生大胆质疑，这是本课的一个难点.学生要尝试把多个物体分成多组物体，对分数构成中分母表示平均分成了几份，分子表示取这样的几份有一个非常清晰的概念，根据脑海中分数的概念才能用图形表征出来.当这些学生把自己对于3[]4的理解的作品介绍给同学们听时，其他同学随时提问，在生生互动、师生互动中帮助学生拓展分数概念的外延，对分数的本质属性的理解也由浅至深，使学生产生真问题、真思考，培养学生思维的灵活性.学生把新旧知识进行联系学习，将原来对分数的认知迁移到新知，进行深度学习，突破了教学的重难点.
三、在口语表征中顿悟概念
所谓口语表征，就是运用日常口语、数学特殊语言和专用名词表征知识.语言是思维的外壳，口语表征有助于概念的提炼.概念的外显特征易于识别，结构中隐含的本质属性则需要强化，否则，学生学习概念时极易出现只记表象而不知内涵的现象.因此，教师不仅要引导学生识别概念的外在特征，还要引导学生经历概念形成语言表征的过程.
教学时，教师先让学生独立思考后小组讨论：为什么同样都表示3[]4，所表示的数量却不一样？学生在讨论中理解到整体不一样，它们的3[]4就不一样.这个整体可以是以前学过的1个图形，还可以扩展为多个图形、多组图形.教师接着再追问：“整体不同，为什么都可以用3[]4表示？”学生在交流中梳理出3[]4的意义，体会变与不变的数学思想.有了前面的铺垫，教师再鼓励学生用自己的语言尝试概括出分数的意义.学生通过口语表征完善构建分数概念的完整意义——把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示.这个环节需要注意让每个学生都有思考与口语表征的时间与空间，切忌过早用严格唯一的分数概念定义去束缚学生的思维.
四、在多元表征中彻悟概念
学生在前面已经学习了分数的初步认识，经历了分数概念的符号表征，现在经过动作表征、表象表征和口语表征后，学生已经能较完整地理解分数的概念了.如果教师再提供一些变式练习，将有助于学生对概念多元表征之间的互相转换，达到彻悟分数概念的目的.
巩固环节，教师设计了由易到难的变式练习：先看图找分数，由部分找整体，由部分找部分，实现符号表征到图形表征的转化.接着是说一说生活中分数的意义，重点引导学生关注分数对应的整体，让学生感受分数与生活的密切联系，利用情境表征帮助部分学习困难的学生更好地彻悟分数概念.紧接着是实践题：巴黎圣母院中圆形玻璃块数的1[]4需要修复，方形玻璃块数的3[]4需要修复，需要修复的圆形玻璃和方形玻璃哪个块数多呢？学生用自己喜欢的方式独立解决问题.在解决问题的过程中，有的学生是用图形表征，有的学生是用数学符号表征，有的学生是用口语表征，有的学生是用数学语言表征，有的学生甚至能用多种方法表征，并且能在不同的表征方法之间进行灵活的转化，他们都实现了对分数概念的深度学习，对分数大小的相对性有了深刻的认识，再次认识到整体的重要性，并学会用假设的数学方法来验证自己的方法是否正确.最后，布置課后多元表征作业：对分数的再认识做一张手抄报.
总之，遵循学生的认知规律与起点，引导他们经历多元表征过程，沟通联系各种表征，能够使他们从多维度彻悟概念.
【参考文献】
[1]荆其诚.简明心理学百科全书[M].长沙：湖南教育出版社，1992.
[2]巩子坤.程序性知识教与学研究[M].南宁：广西教育出版社，2009.
[3]唐剑岚.数学多元表征学习及教学[M].南京：南京师范大学出版社，2009.
[4]郑毓信.多元表征理论与概念教学[J].小学数学教学参考，2011（05）：2-4.
[5]顾泠沅等.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
【关键词】多元表征;动作表征;表象表征;口语表征;概念教学
表征是指信息在心理活动中的表现和记载的方式[1].数学外在表征（简称数学表征）是指用某种形式表达数学概念或关系的行为，也是指形式的本身[2].美国教育心理学家布鲁纳认为：在人类智慧生长期，有三种表征方式在起作用，它们分别是动作表征、表象表征和符号表征.这三种表征系统的相互作用，是人类认知生长和智慧生长的核心.三种不同表征代表着思维活动的不同程度.学生获得数学概念往往是以线性方式从动作表征到表象表征，最后通过抽象思维形成符号表征.美国学者莱什从交流、认知的作用出发，在布鲁纳的表征系统的基础上增加了口语和实物情景两种表征，他认为数学学习中有五种外在表征形式：（1）实物情境;（2）教具模型;（3）图形或图表;（4）口语;（5）书写符号[3].他曾借助图形来说明数学概念的发展过程：实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表述方式如图形、书面语言、符号语言、现实情境等同样也发挥了十分重要的作用.莱什的论述显然具有重要的现实意义，即是指我们在教学中不应片面地强调“情境设置”或“动手实践”.另外，从更为一般的角度分析，这实际上也可以被看成为我们如何更好地去理解数学教育领域中这样一个普遍的发展趋势提供了直接的背景，即是指对于“联系”的突出强调（当然，对于这里所说的“联系”我们应作广义的理解，即这不仅是指同一概念不同心理表征之间的联系，也是指不同概念乃至不同学科或学科分支之间的联系）.例如，美国数学教师全国委员会在2000年颁布的新的数学课程标准就将“联系”与“数和运算”“模式、函数和代数”“几何与空间感”“度量”“数据分析、统计与概率”“问题解决”“推理与证明”“交流”“表述”等一起列为学校数学的“十项标准”.
20世纪80年代以来，随着现代信息技术在教育领域的应用，多元外在表征的研究成为认知科学、教育技术、教育心理学等领域的热门话题.多元表征是符号表征、语言表征、操作表征、情境表征、图形表征等外在表征形式的综合，多元表征有利于学生加深对数学知识的理解，有利于学生构建良好的知识结构，增强学生全面审视问题的能力，并且帮助学生形成最优化的解题策略.因此，运用多元表征理论指导概念教学具有重要的意义.数学学习中多元外在表征的研究主要趋势是：综合运用多种理论和多种研究方法，深入探讨多元外在表征研究对数学学习的价值与意义，建构数学学习中多元表征研究的基本理论;系统思考各种因素，探讨运用多元外在表征的教学设计，提高学习效率.
在数学学习中，数学多元表征是指同一数学学习对象的多种表征形式.南京大学哲学系郑毓信教授指出，“概念教学的一个主要目标是帮助学生建立概念的多元表征，并能根据需要与情境在表征的不同成分之间做出灵活的转换”.我们在概念教学中不应片面地强调“情境设置”或“动手实践”，应当注重不同表征之间的有机融合，帮助学生深刻领悟数学概念的本质[4].现以北师大版五年级上“分数的再认识”一课的教学为例，对概念教学的多元表征进行探讨.
一、在动作表征中初悟概念
所谓动作表征，是指通过动作反应对知识进行表征，有些数学概念的定义就是通过动作的描述来表征的.小学生的思维以直观、形象思维为主.教学概念时，教师应选择动态的直观材料，通过操作演示，引导学生观察、感知隐藏在动作或实物中的数学概念，帮助学生形成概念的直观表象.
课程开始，教师先请两名学生代表上台分别取出两个相同盒子里糖果的1[]2，其中一名学生代表取出了一个糖果.接着，教师让台下的同学猜一猜另一名学生可能会取出多少个糖果.学生在猜想的同时思考自己猜想的理由.当第二名学生取出3个糖果时，教师疑惑地请教台下的学生：“同样是盒子里糖果的1[]2，为什么取出来的糖果数量不一样呢？”随着学生的思考与解答，教师把两个盒子里的糖果总数同时展示给学生观察，并把取的过程再重新演示一遍，帮助学生感知动作表征与分数概念原型之间的内在联系，促进他们主动形成同一个分数表示多少的相对性直观表象，初步感悟整体.然后教师进行追问：“拿出来的数量不一样，为什么还都是1[]2？”学生在互动中初步感悟不管整体的数量是多少，只要把整体平均分成两份，取其中的一份，这一份就占这个整体的二分之一，从而构建了分数的概念，为接下来对分数概念的归纳概括打下基础.
二、在表象表征中领悟概念
所谓表象表征，是指用心理表象来表征知识.儿童对实物直觉和知觉后在记忆中会留下它的形象、肖像或图片等，通过表象可以获得知识.认知心理学研究表明，许多儿童在具体的活动经验与数学的形式之间的联结会有许多的困难，这其中的主要原因是缺乏表象操作（半具体、语言、抽象的数学符号）的中间层次，这就需要教师关注表象操作的层次[5].学生对分数概念的再认识，既不能仅仅停留在具体实物上，也不能一蹴而就地从实物原型直接抽象出分数概念.学生从动作表征中获得概念的初步表象后，教师应用表象操作，即半具体、语言、抽象的数学符号来揭示概念的本质属性.
教学时，教师应把教学的重点放在对3[]4的表象表征上.因为对分数概念的理解过程是不应该由教材或教师替代学生进行的，所以必须让学生自己经历，自己体验和感悟.只有这样，学生才会构建属于自己对分数概念的理解.信息加工理论的学者认为：有了正确的表征，问题就已经解决了一半.布鲁纳更是直接说：“学习的重点不在于记忆，而在于编码.”表征（编码）的重要性在“分数的再认识”的教学中表现得尤为突出.当学生乐于并有能力表征3[]4这个分数时，学生对分数的再认识已是水到渠成的事了.而学生获得用自己的方式表征的數学概念，才是对其后续学习最有价值的东西. 北师大版教材直接用三组不同的图画呈现对3[]4的表示，而教师进行了改编，鼓励学生用自己喜欢的方式表示3[]4.在这个环节里，教师为学生提供充足的探索时间，学生在独立探索、尝试表征的过程中在自己的脑海里对分数概念进行了回忆、提取、分析、构建与创编，联系第一个环节取糖果的动作表征学习，部分学生必然对分数有更多的、新的想法，这样的一个对分数的表象表征过程有利于学生对分数概念的深入领悟，同时，画一画、圈一圈、写一写使得学生的思维看得见.这时，教师可以走到学生中了解学生的真实思维，并选择有代表性的作品进行展示.教师在展示学生的作品时先展示多幅把一个物体看作一个整体的作品，再展示多幅把多个物体看作一个整体的作品，最后展示多幅把多组物体看作一个整体的作品.教师要充分尊重学生，鼓励学生结合自己的图形尝试用自己的语言多元表征对3[]4的理解.对于把多组物体看作一个整体的作品，鼓励学生大胆质疑，这是本课的一个难点.学生要尝试把多个物体分成多组物体，对分数构成中分母表示平均分成了几份，分子表示取这样的几份有一个非常清晰的概念，根据脑海中分数的概念才能用图形表征出来.当这些学生把自己对于3[]4的理解的作品介绍给同学们听时，其他同学随时提问，在生生互动、师生互动中帮助学生拓展分数概念的外延，对分数的本质属性的理解也由浅至深，使学生产生真问题、真思考，培养学生思维的灵活性.学生把新旧知识进行联系学习，将原来对分数的认知迁移到新知，进行深度学习，突破了教学的重难点.
三、在口语表征中顿悟概念
所谓口语表征，就是运用日常口语、数学特殊语言和专用名词表征知识.语言是思维的外壳，口语表征有助于概念的提炼.概念的外显特征易于识别，结构中隐含的本质属性则需要强化，否则，学生学习概念时极易出现只记表象而不知内涵的现象.因此，教师不仅要引导学生识别概念的外在特征，还要引导学生经历概念形成语言表征的过程.
教学时，教师先让学生独立思考后小组讨论：为什么同样都表示3[]4，所表示的数量却不一样？学生在讨论中理解到整体不一样，它们的3[]4就不一样.这个整体可以是以前学过的1个图形，还可以扩展为多个图形、多组图形.教师接着再追问：“整体不同，为什么都可以用3[]4表示？”学生在交流中梳理出3[]4的意义，体会变与不变的数学思想.有了前面的铺垫，教师再鼓励学生用自己的语言尝试概括出分数的意义.学生通过口语表征完善构建分数概念的完整意义——把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示.这个环节需要注意让每个学生都有思考与口语表征的时间与空间，切忌过早用严格唯一的分数概念定义去束缚学生的思维.
四、在多元表征中彻悟概念
学生在前面已经学习了分数的初步认识，经历了分数概念的符号表征，现在经过动作表征、表象表征和口语表征后，学生已经能较完整地理解分数的概念了.如果教师再提供一些变式练习，将有助于学生对概念多元表征之间的互相转换，达到彻悟分数概念的目的.
巩固环节，教师设计了由易到难的变式练习：先看图找分数，由部分找整体，由部分找部分，实现符号表征到图形表征的转化.接着是说一说生活中分数的意义，重点引导学生关注分数对应的整体，让学生感受分数与生活的密切联系，利用情境表征帮助部分学习困难的学生更好地彻悟分数概念.紧接着是实践题：巴黎圣母院中圆形玻璃块数的1[]4需要修复，方形玻璃块数的3[]4需要修复，需要修复的圆形玻璃和方形玻璃哪个块数多呢？学生用自己喜欢的方式独立解决问题.在解决问题的过程中，有的学生是用图形表征，有的学生是用数学符号表征，有的学生是用口语表征，有的学生是用数学语言表征，有的学生甚至能用多种方法表征，并且能在不同的表征方法之间进行灵活的转化，他们都实现了对分数概念的深度学习，对分数大小的相对性有了深刻的认识，再次认识到整体的重要性，并学会用假设的数学方法来验证自己的方法是否正确.最后，布置課后多元表征作业：对分数的再认识做一张手抄报.
总之，遵循学生的认知规律与起点，引导他们经历多元表征过程，沟通联系各种表征，能够使他们从多维度彻悟概念.
【参考文献】
[1]荆其诚.简明心理学百科全书[M].长沙：湖南教育出版社，1992.
[2]巩子坤.程序性知识教与学研究[M].南宁：广西教育出版社，2009.
[3]唐剑岚.数学多元表征学习及教学[M].南京：南京师范大学出版社，2009.
[4]郑毓信.多元表征理论与概念教学[J].小学数学教学参考，2011（05）：2-4.
[5]顾泠沅等.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.