“无限性”该如何引入?

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  “线段、直线、射线”是人教版四年级上册“角的度量”单元的起始课。学生曾在二年级直观地接触过线段,四年级的学习则更注重概念本质的理解。本节课,对于学生来说,有两个难点,一是对于直线、射线的无限性抽象认知,二是对三种线的表示方法的理解。笔者个人认为,只有深刻感受无限性,才能理解概念符号表征的不同。因此,情境创设和学习载体选择至关重要。
  一、第一次教学:借助具象,发挥想象
  【情境】外线发射器
  1.观察与想象
  观察第一条线:红外线发射器。
  师:如果把它想象地足够细,把它看作是一条线段的话,那么它的两个端点在那里?为了记写方便,我们把它记作1号线。
  观察第二条线:红外线发射器一端射出光。
  师:现在老师打开按钮,请大家仔细看,有一束光线从里面射出,如果这一束光线射出去,没有阻挡,这条线又是从哪儿到哪儿?(从一端出发,到无限远的地方)把这条线记作2号线。
  观察第三条线:红外线发射器两端射出光。
  师:如果老师手中的这个教鞭,两个方向都有光线射出去,且没有阻挡,这条线又是从哪儿到哪儿?(这边的无限远到那边的无限远)我们把它记作3号线。(并板书③)
  2.比较异同,发现特征
  学生区分三条线的不同点。(从端点、延长、度量)
  对学生而言,只要能看到躯体全貌,就是有限的,永远无法看到全貌,就是无限的。笔者尝试想象推理的过程,就需要借助对“实物”的判定来展开。借助红外线教具,引导学生插上想象的翅膀,在学生的头脑中建立起初步表象,让学生同时直观地感悟线段、射线、直线三种线,体会到无限延长和无限远的含义。可在实际教学中却出现了两场意想不到的风波:
  【课堂风波1】点与端点的不理解
  学习任务:与同桌讨论一下,直线、射线、线段有什么不同?
  师:说说直线的特征呢?
  生1:直线没有端点,可以无限延长,不可测量。
  生2:我不同意,我觉得直线有两个端点的,那延长出去的点,不是有两个吗?
  生1:我说的是端点,它们不是端点。
  师:其他同学认为呢?
  生3:我也觉得是两个,就是刚刚的教具的点。
  师:那两个是直线上的点,并非是端点。
  (不少学生还是不理解)
  由于受红外线发射器两个端点的影响,在归纳直线特征时,不少学生认为直线有两个端点。实际上是直线上的点与直线的端点产生了混淆。在小学阶段,教材里没有对点的概念进行教学,以直观感知为主,学生也很难理解直线上的到处都是点,直线是由点移动形成的。学生区分和理解直线上的点与直线上的端点存在一定的难度。
  【课堂风波2】点有大小之分
  学习任务:经过两点呢,你能画几条直线呢?
  学生动手操作,发现了不少孩子画出了两条直线,学生的解释为只要碰到点的边就可以了,可以画很多条。(如右图)
  从这一教学片段来看,问题的关键是学生把“点”进行了放大,而在数学概念中,“点”是没有大小之分,线也没有粗细之分。如果学生能明白“点”,那么就不会出现这个问题了。
  二、第二次教学:抓住本质,动态呈现
  两次风波,都是由“点”引起的。“点”是所有数学几何的基础,由“点”到“线”,由“线”到“面”,由“面”到“体”。点组成各种各样的线,曲的线、直的线都是由点组成的。直的线,根据其端点的不同,分为直线、线段、射线。基于概念本质属性,我重新创设了情境,并进行了教学实践。
  【情境】点动成线
  1.感知点和线
  师:(出示一个点)看到了什么?联想到了什么?(人、物等)
  师:(出示三个大小不同的点)哪个点表示汽车合适?
  小结:数学学习中,所有点是一样的,点没有大小。
  师:(汽车行驶),点形成了线,线也没有粗细。
  2.感知线段的形成过程
  用手指在桌面上确定一个点,点动起来,画了一条线。(如右图)
  学生把这些线分类。(曲的线、直的线)
  师:能找出我们学过的一条线?(线段)
  演示点动成线段的过程,学生指出两个端点。
  师:如果点再往左边动,还是线段吗?现在的端点在哪里?
  师:这个点(指着之前线段的端点)就不是端点了,只是线段上的一个点。线段上这样的点还有吗?(有,无数个)
  小結:线段……有始有终。
  3.感知射线和直线形成过程
  师:点继续动,一直沿着直线运动下去会到哪里?会怎么样?(到无限远的地方、没有终点等等)
  师:把线段一端无限延长,就得到了一条射线。(演示了不同方向的射线)
  小结:射线……有始无终。
  如果点换个方向移动,一直直线运动下去,会怎么样?(显示不同方向的射线)
  师:生活中哪些可以想象成射线?(学生自由答,教师给予适当补充)
  师:如果线段向两个方向延长,再延长,会怎么样?(演示动画)
  小结:直线……无始无终。
  首先,通过演示点运动形成线,理解线的形成过程,明确点无大小之分,线无粗细之分。其次,将点不同的运动曲线形成的线,进行分类,确定研究的重点为直的线。第三,突出线段“有限性”,理解“无限性”。理解直线和射线的“无限性”,不仅需要一定的想象力作支撑,更需要对“有限性”形成真正的理解。点的移动形成线段,再由线段某一个端点的继续无限移动,形成射线。这就是以有限性为基础,利用想象推理,让学生感知无限性。教师对于点与端点的追问,进一步有效深化了“无限性”的特征。
  优质的情境创设,凸显概念本质特性,寻找合适的表征方式尤为总要。重视几何图像形成的过程,点动成线,同时抓住“线段”这一逻辑起点,充分发挥学生想象力,经历从线段的两端向外无限延长、从有端点到没有端点、从有限长度到无限长度的过程,经由模糊的自我感知到多元表征表达,深刻体会三线之间的联系与区别,为今后进一步认识三线打下扎实的基础。
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