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1788年，法国数学家、物理学家拉格朗日在《分析力学》中把带有方向的物理量数学化，即用数学方法表示它们，但他没有使用“向量”一词.直到1844年,德国数学家格拉斯曼才引入有向线段的记号,称之为向量,并引入向量的一般运算.向量成为一种数学体系，成为处理数学问题的工具.
平面向量由于其具有几何形式和代数形式的“双重身份”，在研究许多问题时都有很广泛的应用.特别是在处理数学中的度量、角度、平行、垂直等问题时，平面向量有其独到之处.本文结合几个例题，说明平面向量在平面解析几何中的一些简单应用.
一、 证三点共线
例1.已知三点A（-1，0），B（2，4），C（5，8），求证：A、B、C三点共线.
分析：证明三点共线，证明有公共起点的两向量共线即可.
证明：AB=（3，4），AC=（6，8）.
∵ AC=2AB，
∴ AC与AB共线.
又 AC与AB有公共起点A，
∴ A，B，C三点共线.
例2已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C，D两点.
试利用相似形的知识，证明O，C，D在同一条直线上. ［苏教版必修一P95第32（1）题］.
分析：由题意知，
x1x2=yAyB=log8x1log8x2=log2x1log28•log28log2x2=log2x1log2x2=ycyd.
所以，O，C，D三点在同一条直线上.
本题可将共线证明转化为论证有公共起点的两个向量共线，十分简捷.
证明：设A（x1,log8x1）,B(x2,log8x2),
由已知OA与OB共线，OA=（x1,log8x1）,OB=（x2,log8x2).
∴ x1log8x2- x2log8x1=0.
又OC=（x1, log2x1），OD=(x2,log2x2)，则
x1log2x2- x2log2x1
= x1log32x32- x2log32x31
=3（x1log8x2- x2log8x1）=0.
∴ OC与OD共线，又OC，OD有公共点O，
所以O，C，D三点在一条直线上.
二、 度量角
例3椭圆x29+y24=1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是.
解：设P（x0,y0）,F1（-5，0）,F2（5，0）,则PF1=（-5-x0，-y0），PF2=（5-x0，-y0），
由题意,知
（-5-x0）（5-x0）+y02＜0.①
又点P在椭圆上，则x209+y204=1.②
由①，②可求得-355＜x0＜355.
三、 应用于线线垂直
例4过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作圆的切线 l，M为l上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求△MAQ的垂心的轨迹方程.
分析：过A，Q分别作QM，AM边的垂线AC，QB，则△MAQ的垂心H即为AC，QB的交点，故求出直线AC，QB的方程可得H的坐标，消去参数，即可得出H点的轨迹方程.但在设直线方程的时候，对直线的斜率是否存在需要讨论，而这恰是学生容易遗忘的，从而导致解题不严谨.本题里出现线线垂直，故可用向量知识来解决，而且用向量知识解题时不需要讨论直线斜率是否存在.
解：设M(m,2),m≠0,Q(x0,y0),△MAQ的垂心H(x,y),则
直线OM的方程为：y=2mx.
因为A，Q两点关于直线OM对称，
故有2+y02=2m•x02，①
y0-2x0-0•2m=-1.②
解由①，②联立的方程组，得
x0=8m4+m2，y0=2(4-m2)4+m2即
Q8m4+m2，2(4-m2)4+m2. 则AM=（m，0），
MQ=8m4+m2-m，2（4-m2）4+m2-2，
QH=x-8m4+m2，y-2（4-m2）4+m2，
AH=（x，y-2）.
因为AH⊥MQ，QH⊥AM，
∴ x8m4+m2-m+（y-2）2(4-m2)4+m2-2=0，且x-8m4+m2m=0.
解得，x=8m4+m2,y=164+m2,消去m,得x2+y2-4y=0.
故△MAQ的垂心的轨迹方程为x2+(y-2)2=4 (x≠0).
四、 证明直线与圆相切
例5已知可行域x≥0，
x-3y+2≥0，
3x+y-23≤0，的外接圆C与x轴交于点A1，A2，，椭圆C以线段A1A2 为长轴，离心率e=22.
(1) 求圆C及椭圆C1的方程；
（2） 设椭圆C1的右焦点为F，点P为圆C上异于A1，A2，的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=22于点Q，求证：直线PQ与圆C相切.
分析：直线与圆相切可转化成向量垂直来解.当两个非零向量的数量积为0时，两向量垂直.
解：（1） 可知可行域是一个直角三角形，斜边长为4，故圆C的方程为：
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
平面向量由于其具有几何形式和代数形式的“双重身份”，在研究许多问题时都有很广泛的应用.特别是在处理数学中的度量、角度、平行、垂直等问题时，平面向量有其独到之处.本文结合几个例题，说明平面向量在平面解析几何中的一些简单应用.
一、 证三点共线
例1.已知三点A（-1，0），B（2，4），C（5，8），求证：A、B、C三点共线.
分析：证明三点共线，证明有公共起点的两向量共线即可.
证明：AB=（3，4），AC=（6，8）.
∵ AC=2AB，
∴ AC与AB共线.
又 AC与AB有公共起点A，
∴ A，B，C三点共线.
例2已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C，D两点.
试利用相似形的知识，证明O，C，D在同一条直线上. ［苏教版必修一P95第32（1）题］.
分析：由题意知，
x1x2=yAyB=log8x1log8x2=log2x1log28•log28log2x2=log2x1log2x2=ycyd.
所以，O，C，D三点在同一条直线上.
本题可将共线证明转化为论证有公共起点的两个向量共线，十分简捷.
证明：设A（x1,log8x1）,B(x2,log8x2),
由已知OA与OB共线，OA=（x1,log8x1）,OB=（x2,log8x2).
∴ x1log8x2- x2log8x1=0.
又OC=（x1, log2x1），OD=(x2,log2x2)，则
x1log2x2- x2log2x1
= x1log32x32- x2log32x31
=3（x1log8x2- x2log8x1）=0.
∴ OC与OD共线，又OC，OD有公共点O，
所以O，C，D三点在一条直线上.
二、 度量角
例3椭圆x29+y24=1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是.
解：设P（x0,y0）,F1（-5，0）,F2（5，0）,则PF1=（-5-x0，-y0），PF2=（5-x0，-y0），
由题意,知
（-5-x0）（5-x0）+y02＜0.①
又点P在椭圆上，则x209+y204=1.②
由①，②可求得-355＜x0＜355.
三、 应用于线线垂直
例4过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作圆的切线 l，M为l上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求△MAQ的垂心的轨迹方程.
分析：过A，Q分别作QM，AM边的垂线AC，QB，则△MAQ的垂心H即为AC，QB的交点，故求出直线AC，QB的方程可得H的坐标，消去参数，即可得出H点的轨迹方程.但在设直线方程的时候，对直线的斜率是否存在需要讨论，而这恰是学生容易遗忘的，从而导致解题不严谨.本题里出现线线垂直，故可用向量知识来解决，而且用向量知识解题时不需要讨论直线斜率是否存在.
解：设M(m,2),m≠0,Q(x0,y0),△MAQ的垂心H(x,y),则
直线OM的方程为：y=2mx.
因为A，Q两点关于直线OM对称，
故有2+y02=2m•x02，①
y0-2x0-0•2m=-1.②
解由①，②联立的方程组，得
x0=8m4+m2，y0=2(4-m2)4+m2即
Q8m4+m2，2(4-m2)4+m2. 则AM=（m，0），
MQ=8m4+m2-m，2（4-m2）4+m2-2，
QH=x-8m4+m2，y-2（4-m2）4+m2，
AH=（x，y-2）.
因为AH⊥MQ，QH⊥AM，
∴ x8m4+m2-m+（y-2）2(4-m2)4+m2-2=0，且x-8m4+m2m=0.
解得，x=8m4+m2,y=164+m2,消去m,得x2+y2-4y=0.
故△MAQ的垂心的轨迹方程为x2+(y-2)2=4 (x≠0).
四、 证明直线与圆相切
例5已知可行域x≥0，
x-3y+2≥0，
3x+y-23≤0，的外接圆C与x轴交于点A1，A2，，椭圆C以线段A1A2 为长轴，离心率e=22.
(1) 求圆C及椭圆C1的方程；
（2） 设椭圆C1的右焦点为F，点P为圆C上异于A1，A2，的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=22于点Q，求证：直线PQ与圆C相切.
分析：直线与圆相切可转化成向量垂直来解.当两个非零向量的数量积为0时，两向量垂直.
解：（1） 可知可行域是一个直角三角形，斜边长为4，故圆C的方程为：
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文