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排列组合题的解题方法既有一般规律,也有特殊的解题技巧. 因为排列组合题中有许多同类型的问题,我们可以把解答这类题的技巧看作一种模板.
一、先总再分法
这个模板主要针对相邻的排列组合题. 具体方法是先把相邻的元素当作一个整体和其他的元素进行全排,然后将相邻的元素进行全排.其模型为:有[m+n]个元素排成一排,其中[n]个元素必须排在一起,共有[Am+1m+1?Ann]种不同的排法.
例1 利民商场计划在一柜台上展出10种不同的茶叶,其中1种白茶,4种红茶,5种青茶,排成一行陈列,要求同一品种的茶必须排一起,并且白茶不放在两端,那么不同的陈列方式有( )
A. [A44?A55] B. [A33?A44?A55]
C. [C13?A44?A55] D. [A22?A44?A55]
解析 红茶整体、青茶整体、白茶个“元素” 先排,考虑到白茶不能排两端,所以有[A22]种方法,又红茶的不同陈列方式有[A44]种,青茶的陈列方式有[A55]种.
因而柜台上茶叶的不同陈列方式有[A22?A44?A55]种.
答案 D
二、相间穿插法
这个模板主要针对相间的排列组合题. 具体方法是先把不要求相间的元素排好,再将相间的元素插空排列.其模型为:有[m+n][n≤m+1]个元素排成一排,其中[n]个元素不能相邻,共有[Amm?Anm+1]种不同的排法.
例2 某高中今年秋季有6项课改活动需要先后单独完成,其中活动乙必须在活动甲完成后才能进行,活动丙必须在活动乙完成后才能进行,活动丁又必须在活动丙完成后才能进行,那么安排这6项活动的不同排法种数是 (用数字作答).
解析 依题意,只需将剩余两个活动插在由甲、乙、丙、丁四个活动形成的5个空中,可得有[A25]=20种不同排法.
三、“客人住店”法
这个模板主要解决“允许重复排列问题”,解题时要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复. 把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解.
例3 某次田径运动会上,有7名运动员要争夺5项冠军,请问获得冠军的可能的种数有( )
A. 75 B. 57
C. [A57] D. [C57]
解析 因同一运动员可同时夺得几项冠军,故运动员可重复排列,将7名运动员看作7家“店”,5项冠军看作5名“客”,每个“客”有7种住宿法,由乘法原理得75种.
答案 A
点拨 对此类问题,有同学会有疑惑:为什么不以5项冠军作为5家“店”呢?因为几个运动员不能同时夺得同一冠军,即冠军不能重复.
四、先排后除法
这个模板主要针对定序类的排列组合题. 具体方法是,对于某些元素的顺序固定的排列问题,可以先全排,再除以定序元素的排列数.其模型为:分别有[m],[n],[r]个相同的元素排成一排,共有[Am+n+rm+n+rAmm?Ann?Arr]种不同的排法.
例4 张三、李四和王五3位爱心人士要安排在周一至周五的5天中参加一项慰问活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求张三安排在李四和王五之前.不同的安排方法共有( )
A. 20种 B. 30种
C. 40种 D. 60种
解析 将5天选出3天进行全排列,然后再除以张三在李四和王五前面、中间和后面的排序数3,共有[A353=20]种排法.
答案 A
五、隔板处理法
这个模板主要针对隔板类的排列组合题. 具体方法是,把[n]个相同的物放到[m][(m 例6 某工厂准备组建一支由18人组成的志愿者队伍,这18人由工程部的12个小组中的人员组建,每个小组至少挑选1名成员参加,问有多少种不同的分配方案?
解析 这18个人当作18枚棋子,即先将18枚棋子排成一排,在相邻的两枚棋子形成的17个间隙中选取11个插入隔板,将这18枚棋子分隔成12个区间,第[i(1≤i≤12)]个区间的棋子数对应于第[i]个小组成员的分配名额.因此,名额分配方案的种数与隔板插入数相同. 故共有[C1117=12376]种.
六、特定位置处理法
这个模板主要针对甲、乙不在指定位置问题的排列组合题,可以转化成模板“[n]个元素[a1,a2,…,an]排成一排,其中[a1]不在排头,[an]不在排尾,共有多少种排法?”. 具体解法是,逆向思维,先将[n]个元素全排有[Ann]种方法,再减去[a1]在排头的[An-1n-1]种方法,减去[an]在排尾的[An-1n-1]种方法,最后加上重复减去的[a1]在排头且[an]在排尾的[An-2n-2]种方法.故共有[Ann][-2An-1n-1][+An-2n-2]种不同的方法.
例6 某公司安排5名劳动模范的演讲顺序时,要求某名模范不第一个出场,另一名模范不最后一个出场,不同排法的总数是 .(用数字作答)
解析 [A55-2A44+A33=78].
七、间接处理法
这个模板主要针对“至少问题”的排列组合题.其模型为:在[m]个元素中选出[n]个元素,其中指定的[r]个元素至少有1个入选,有多少种不同的挑选方法?其解法是:在[m]个元素中选出[n]个元素的组合数减去在[m-r]个元素中选出[n]个元素的组合数,即[Cnm-Cnm-r]种不同的挑选方法(其中[n+r≤m]).
例7 高三(5)班要从张丽、王娟等10名同学中挑选4名参加区教育局举办的庆元旦联欢晚会,要求张丽、王娟中至少有1人参加,则不同的挑选方法共有 种.
解析 共有[C410-C48=140]种不同的挑选方法.
以上介绍的排列、组合问题的常见求解策略,它们不是彼此孤立的,而是相互依存的. 有时解决某一问题时要综合运用几种求解策略,此外还有试验探索、构造模型、类比等策略,限于篇幅不一一赘述.
一、先总再分法
这个模板主要针对相邻的排列组合题. 具体方法是先把相邻的元素当作一个整体和其他的元素进行全排,然后将相邻的元素进行全排.其模型为:有[m+n]个元素排成一排,其中[n]个元素必须排在一起,共有[Am+1m+1?Ann]种不同的排法.
例1 利民商场计划在一柜台上展出10种不同的茶叶,其中1种白茶,4种红茶,5种青茶,排成一行陈列,要求同一品种的茶必须排一起,并且白茶不放在两端,那么不同的陈列方式有( )
A. [A44?A55] B. [A33?A44?A55]
C. [C13?A44?A55] D. [A22?A44?A55]
解析 红茶整体、青茶整体、白茶个“元素” 先排,考虑到白茶不能排两端,所以有[A22]种方法,又红茶的不同陈列方式有[A44]种,青茶的陈列方式有[A55]种.
因而柜台上茶叶的不同陈列方式有[A22?A44?A55]种.
答案 D
二、相间穿插法
这个模板主要针对相间的排列组合题. 具体方法是先把不要求相间的元素排好,再将相间的元素插空排列.其模型为:有[m+n][n≤m+1]个元素排成一排,其中[n]个元素不能相邻,共有[Amm?Anm+1]种不同的排法.
例2 某高中今年秋季有6项课改活动需要先后单独完成,其中活动乙必须在活动甲完成后才能进行,活动丙必须在活动乙完成后才能进行,活动丁又必须在活动丙完成后才能进行,那么安排这6项活动的不同排法种数是 (用数字作答).
解析 依题意,只需将剩余两个活动插在由甲、乙、丙、丁四个活动形成的5个空中,可得有[A25]=20种不同排法.
三、“客人住店”法
这个模板主要解决“允许重复排列问题”,解题时要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复. 把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解.
例3 某次田径运动会上,有7名运动员要争夺5项冠军,请问获得冠军的可能的种数有( )
A. 75 B. 57
C. [A57] D. [C57]
解析 因同一运动员可同时夺得几项冠军,故运动员可重复排列,将7名运动员看作7家“店”,5项冠军看作5名“客”,每个“客”有7种住宿法,由乘法原理得75种.
答案 A
点拨 对此类问题,有同学会有疑惑:为什么不以5项冠军作为5家“店”呢?因为几个运动员不能同时夺得同一冠军,即冠军不能重复.
四、先排后除法
这个模板主要针对定序类的排列组合题. 具体方法是,对于某些元素的顺序固定的排列问题,可以先全排,再除以定序元素的排列数.其模型为:分别有[m],[n],[r]个相同的元素排成一排,共有[Am+n+rm+n+rAmm?Ann?Arr]种不同的排法.
例4 张三、李四和王五3位爱心人士要安排在周一至周五的5天中参加一项慰问活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求张三安排在李四和王五之前.不同的安排方法共有( )
A. 20种 B. 30种
C. 40种 D. 60种
解析 将5天选出3天进行全排列,然后再除以张三在李四和王五前面、中间和后面的排序数3,共有[A353=20]种排法.
答案 A
五、隔板处理法
这个模板主要针对隔板类的排列组合题. 具体方法是,把[n]个相同的物放到[m][(m
解析 这18个人当作18枚棋子,即先将18枚棋子排成一排,在相邻的两枚棋子形成的17个间隙中选取11个插入隔板,将这18枚棋子分隔成12个区间,第[i(1≤i≤12)]个区间的棋子数对应于第[i]个小组成员的分配名额.因此,名额分配方案的种数与隔板插入数相同. 故共有[C1117=12376]种.
六、特定位置处理法
这个模板主要针对甲、乙不在指定位置问题的排列组合题,可以转化成模板“[n]个元素[a1,a2,…,an]排成一排,其中[a1]不在排头,[an]不在排尾,共有多少种排法?”. 具体解法是,逆向思维,先将[n]个元素全排有[Ann]种方法,再减去[a1]在排头的[An-1n-1]种方法,减去[an]在排尾的[An-1n-1]种方法,最后加上重复减去的[a1]在排头且[an]在排尾的[An-2n-2]种方法.故共有[Ann][-2An-1n-1][+An-2n-2]种不同的方法.
例6 某公司安排5名劳动模范的演讲顺序时,要求某名模范不第一个出场,另一名模范不最后一个出场,不同排法的总数是 .(用数字作答)
解析 [A55-2A44+A33=78].
七、间接处理法
这个模板主要针对“至少问题”的排列组合题.其模型为:在[m]个元素中选出[n]个元素,其中指定的[r]个元素至少有1个入选,有多少种不同的挑选方法?其解法是:在[m]个元素中选出[n]个元素的组合数减去在[m-r]个元素中选出[n]个元素的组合数,即[Cnm-Cnm-r]种不同的挑选方法(其中[n+r≤m]).
例7 高三(5)班要从张丽、王娟等10名同学中挑选4名参加区教育局举办的庆元旦联欢晚会,要求张丽、王娟中至少有1人参加,则不同的挑选方法共有 种.
解析 共有[C410-C48=140]种不同的挑选方法.
以上介绍的排列、组合问题的常见求解策略,它们不是彼此孤立的,而是相互依存的. 有时解决某一问题时要综合运用几种求解策略,此外还有试验探索、构造模型、类比等策略,限于篇幅不一一赘述.