论文部分内容阅读
【摘要】21世纪的数学教育要求我们的教学必须培养学生的独立工作能力；培养处理自然、社会的能力；培养具有创新意识的创造性人才。而构造性解题方法就是一种能较好地开发学生创造性思维，在培养学生灵活性、创造性方面具有积极作用的方法。构造性思维不同于一般的逻辑方法，它体现了数学发现的思想，在中学数学解题中常常能化繁为简，事半功倍，本文介绍了几种常用的构造方法,如构造函数法、类比构造法、构造图形法、构造复数法、赋义构造法、构造反例法，并通过一些典型例题的分析、求解来体现构造性思维在解题过程中的应用及一些规律。
【关键词】构造；数学；解题；思维
Mathematics constructivity solves problems method
Wang Hongyan
【Abstract】Independent service ability 21 centuries mathematicses must foster a student as educating demanding our teaching; The natural world culture is handled , society's ability; Train the creativeness having the consciousness being innovative talented person. But constructivity solves problems method it is one kind to be able to develop the student creative thinking fairly good, have the positive role method in the respect of training a student flexibility, creativeness. Constructivity thought has been unlike the same logical method , it has embodied the thought that the mathematics discovers, before middle school mathematics can make a mole hill out of a mountain , get twice the result with half the effort average solving problems, the main body of a book has been introduced almost growing structure method in common use, application and a few laws that process hits the target in solving problems if structure function law , analogy structure law , structure artwork law , structure complex number law , tax righteousness structure law , structure embody constructivity thought coming opposing example law, and finding the solution by a few representative examples analysis.
【Key words】Structure; Mathematics; Solve problems; Thought
所谓构造性思维是指当某些数学问题使用通常方法、按定势思维去解决很难奏效时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点观察、分析、解释对象，抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，把握问题的外形、数值、位置等特征，以已知条件中的元素为“元件”，用已知数学关系作“支架”，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造的数学对象中清楚地展现出来，从而借助该数学对象简捷地解决数学问题的思维方式。
构造性思维属于非常规思维，其本质特征是“构造”运用构造性思维解题，没有固定的程序和模式，表现出思维的试探性、不规则性和创造性，其关键是借助对问题特征的敏锐观察，展开丰富的联想，实施正确的转化。因此，我们应当向学生提供接受构造训练的机会，发展学生的构造能力。下面就解题教学中如何教学构造方法谈点体会。
1. 构造函数法
函数在中学数学领域内像一根主轴，凝聚着式、方程、不等式、数列、曲线和方程等等问题。因此，为构造函数解题提供了广阔的天地，构造函数法就是由题设条件及数量关系，构想、组合成一个新的函数关系，使问题在新的关系下实现转化。
例1：已知a、b、c、d均为实数，求证：(a2+b2) (c2+d2) ≥ (ac+bc) 2
分析：由结论联想到一元二次函数判别式，于是构造函数y = (a2+b2)x2-2 ( ac+bd ) x + (c2+d2 ) (a、b至少有一个不为零 )，问题转化为证明函数y的Δ≤0，事实上，y = ( a2x2 +2acx + c2) + ( b2x - 2bdx + d2 ) = ( ax-c)2 + ( bx - d )2 ≥ 0，而a2+b2 > 0，故二次函数y的判别式 Δ≤0。
例2：判别方程sinx = lgx 实数根的个数。
分析：题设方程是一超越方程，用初等的方法无法解答。但若根据方程的特征，可构造三角函数y1=sinx 和对数函数y2=lgx，这样方程sinx = lgx的实数根的个数就等于函数y1 和y2图象交点的个数，作出图象易知，有3个交点。故原方程有3个实数根。
2. 类比构造法
数学解题时，不妨先看看比比，察觉面对的问题与头脑中的“已知”之间在结构、规律等方面的相似因素。通过联想，类比构造出数学模型，找到解决问题的路径。
用类比构造法解题是目前普遍引起师生们重视的一种解题方法。
例：解方程组y=4x3-3xz=4y2-3xx=4z2-3z
分析：观察方程组中每个方程式的结构特征，有似曾相似之感，再注意每个方程式有右边的三个数字“4，3，3”，容易联想到公式cos3θ = 4cosθ - 3cosθ，于是设想构造三倍角公式求解。
解：若∣x∣> 1，则∣y∣=∣x3 + 3(x3 - x)∣=∣x2+3(x2-1)∣>∣x∣，同理可得∣z ∣>∣y∣，∣x∣>∣z∣，这是互相矛盾的。所以，∣x∣ ≤ 1，同理可证∣y∣≤1, ∣z∣≤1。
这样可设x = cos θ (0≤θ≤π)，则y = 4cos3 θ- 3cosθ=cos3θ,z = cos9θ,x =cos27θ，故cosθ- cos27θ= 0，易得到2sin13θ·sin14θ=0，在［0,π］内，θ有27个解：θ＝Kπ13（Ｋ＝ 0,1,2,……,13），θ＝Kπ14（Ｋ＝1,2,3,……,13）
【关键词】构造；数学；解题；思维
Mathematics constructivity solves problems method
Wang Hongyan
【Abstract】Independent service ability 21 centuries mathematicses must foster a student as educating demanding our teaching; The natural world culture is handled , society's ability; Train the creativeness having the consciousness being innovative talented person. But constructivity solves problems method it is one kind to be able to develop the student creative thinking fairly good, have the positive role method in the respect of training a student flexibility, creativeness. Constructivity thought has been unlike the same logical method , it has embodied the thought that the mathematics discovers, before middle school mathematics can make a mole hill out of a mountain , get twice the result with half the effort average solving problems, the main body of a book has been introduced almost growing structure method in common use, application and a few laws that process hits the target in solving problems if structure function law , analogy structure law , structure artwork law , structure complex number law , tax righteousness structure law , structure embody constructivity thought coming opposing example law, and finding the solution by a few representative examples analysis.
【Key words】Structure; Mathematics; Solve problems; Thought
所谓构造性思维是指当某些数学问题使用通常方法、按定势思维去解决很难奏效时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点观察、分析、解释对象，抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，把握问题的外形、数值、位置等特征，以已知条件中的元素为“元件”，用已知数学关系作“支架”，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造的数学对象中清楚地展现出来，从而借助该数学对象简捷地解决数学问题的思维方式。
构造性思维属于非常规思维，其本质特征是“构造”运用构造性思维解题，没有固定的程序和模式，表现出思维的试探性、不规则性和创造性，其关键是借助对问题特征的敏锐观察，展开丰富的联想，实施正确的转化。因此，我们应当向学生提供接受构造训练的机会，发展学生的构造能力。下面就解题教学中如何教学构造方法谈点体会。
1. 构造函数法
函数在中学数学领域内像一根主轴，凝聚着式、方程、不等式、数列、曲线和方程等等问题。因此，为构造函数解题提供了广阔的天地，构造函数法就是由题设条件及数量关系，构想、组合成一个新的函数关系，使问题在新的关系下实现转化。
例1：已知a、b、c、d均为实数，求证：(a2+b2) (c2+d2) ≥ (ac+bc) 2
分析：由结论联想到一元二次函数判别式，于是构造函数y = (a2+b2)x2-2 ( ac+bd ) x + (c2+d2 ) (a、b至少有一个不为零 )，问题转化为证明函数y的Δ≤0，事实上，y = ( a2x2 +2acx + c2) + ( b2x - 2bdx + d2 ) = ( ax-c)2 + ( bx - d )2 ≥ 0，而a2+b2 > 0，故二次函数y的判别式 Δ≤0。
例2：判别方程sinx = lgx 实数根的个数。
分析：题设方程是一超越方程，用初等的方法无法解答。但若根据方程的特征，可构造三角函数y1=sinx 和对数函数y2=lgx，这样方程sinx = lgx的实数根的个数就等于函数y1 和y2图象交点的个数，作出图象易知，有3个交点。故原方程有3个实数根。
2. 类比构造法
数学解题时，不妨先看看比比，察觉面对的问题与头脑中的“已知”之间在结构、规律等方面的相似因素。通过联想，类比构造出数学模型，找到解决问题的路径。
用类比构造法解题是目前普遍引起师生们重视的一种解题方法。
例：解方程组y=4x3-3xz=4y2-3xx=4z2-3z
分析：观察方程组中每个方程式的结构特征，有似曾相似之感，再注意每个方程式有右边的三个数字“4，3，3”，容易联想到公式cos3θ = 4cosθ - 3cosθ，于是设想构造三倍角公式求解。
解：若∣x∣> 1，则∣y∣=∣x3 + 3(x3 - x)∣=∣x2+3(x2-1)∣>∣x∣，同理可得∣z ∣>∣y∣，∣x∣>∣z∣，这是互相矛盾的。所以，∣x∣ ≤ 1，同理可证∣y∣≤1, ∣z∣≤1。
这样可设x = cos θ (0≤θ≤π)，则y = 4cos3 θ- 3cosθ=cos3θ,z = cos9θ,x =cos27θ，故cosθ- cos27θ= 0，易得到2sin13θ·sin14θ=0，在［0,π］内，θ有27个解：θ＝Kπ13（Ｋ＝ 0,1,2,……,13），θ＝Kπ14（Ｋ＝1,2,3,……,13）