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【摘要】笔者认为，改变当前中学的应试教育，让学生适当地参与到数学竞赛中来，通过认识一定的竞赛题，开拓自己的思路，提高学生的综合素质，是非常有必要的举措.许多竞赛题，初看时不知它属于哪一个数学分支，有一种云里雾里的感觉，学生在解答题目时，无从下手.其实，竞赛题中用到的数学知识非常简单，笔者试图通过对一类竞赛题建立数学模型，抛砖引玉，让学生们能举一反三、游刃有余地解决更多的竞赛题.
【关键词】数学竞赛；数学模型；问题解决
在中学教育中加入数学竞赛的教育，有着现实意义和深远的历史意义.众所周知，数学最引人注目的特点是思维的抽象性、推理的严谨性和应用的广泛性.这是在数学发展的漫长的历程中逐渐形成的.对其中有关的空间结构、数量关系的共性不断地抽象、升华而形成当今的数学.数学的广泛应用性则为各门学科以及人们的生产、生活和社会活动在定量方面向深层次发展奠定了基础.数学模型是应用数学知识和计算机解决实际问题的一种有效的重要工具.
数学提供给人类的不仅仅是现成的知识和工具，更重要的是提供给人类的思想和方法.在数学方法中，从宏观层面上看，具有典型数学特征、影响和作用最大的是公理化方法和数学模型方法以及随机思想方法.“数学模型方法”(Mathematical Model Method)简称MM方法，它不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，而且是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法.数学模型方法是根据研究的目的，采用数学形式化语言将研究的某种事物系统的特征和数量关系抽象成数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法.
数学竞赛的测试点与义务教育不同，它不是考学生的数学知识的系统性，而是考学生的能力，考灵活性与创造性，这是由数学竞赛的要求决定的.笔者认为，改变当前中学的应试教育，让学生适当地参与到数学竞赛中来，通过认识一定的竞赛题，可以开拓学生的思路，提高学生的综合素质.许多竞赛题初看时不知它属于哪一个数学分支，题型从未见过，其实它用到的数学知识却非常简单，基本上都学过，有些题甚至只用到小学的算术，有些题目可以是将中学数学知识综合在一起，表现出较深的思维和巧妙的特点.
数学来源于人们生产和生活的需要.相当的一部分竞赛题目源自实际生活，看不出有多少数学味道，更谈不上属于哪个分支，需要什么知识.这些题目首先要由学生自己去建立数学模型再加以解决.其中一些问题是本来实际生活中就经常出现的，另一些却是先有数学问题，再把它变成一个实际问题，这样做，除了增加竞赛的趣味性之外，更重要的是要考学生数学联系实际的能力.一个实际问题可以建立不同的数学模型，这些不同的数学模型可以有相同的思路，也可以是思路各不相同，但一般说来，一旦建立了模型，思路就几乎出来了.即使是一个纯数学问题，也可以有不同的数学模型.我们常说的一题多解实际也有这种意思.对数学竞赛而言，意思更广.
建立数学模型，就是把问题的条件（或已知数据）和结论（或未知量）用数学语言表示，这就是“翻译”工作，不同的数学模型有不同的数学语言.这样就把一个实际问题变成一个等价的数学问题.但要认识到数学模型不是对现实系统的简单的模拟，有的问题经过这样的翻译就变成熟知的基本数学问题，从而问题更易解决.数学竞赛的部分考题中就是考查学生这种翻译能力.假如学生能熟知和建立各种形式的数学模型，那么思路必然就开阔得多.
请看下面三个题目，它们表面差别很大，却是出于同一个数学模型.
例1 任意剪六个圆形纸片放在桌上，使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上，或被另一纸片盖住.然后用一枚针扎这些纸片.说明：不论针尖落在哪一点，总是不能一次把六个纸片全部扎中.
这个题目又被改编为：
例2 从100个城市（有的写成n个城市，n>5）同时各起飞一架飞机，飞往离本市最近的城市降落.证明：在任一个城市中降落的飞机都不超过6架.
后来又改编为纯数学题：
例3 令n为大于5的整数，n个共面的点中，每两个的距离均不相等.将每个点与和它的距离最近的点用线段相连.证明：没有一个点与多于5个点相连.
这三个问题只用到这样的几何知识：三角形三内角之和为180°及大边对大角.只要会证一个题，其他两题即迎刃而解.以例1为例，证明如下：
用反证法，设针尖落在点P上，而P落在六个圆之内，六个圆的圆心分别为O1，O2，…，O6，为方便，设它们的排号是PO1，PO2，…，PO6，按顺时针方向排列.因P点在圆⊙O1，⊙O2内，故O1O2>PO1，O1O2>PO2.否则，O1，O2必有一点在另一点所在圆的内部.根据三角形三内角的性质知∠O1PO2>60°，同理∠O2PO3，…，∠O6PO1也大于60°，这是不可能的，可知反证法假设不成立，问题得证.
善于和发现数学竞赛中各类题目的共性，是为它们建立数学模型的基础，在这方面教师有义务对学生做出引导，让学生在循序渐进的过程中享受数学带来的乐趣，为可持续发展奠定基础.
【关键词】数学竞赛；数学模型；问题解决
在中学教育中加入数学竞赛的教育，有着现实意义和深远的历史意义.众所周知，数学最引人注目的特点是思维的抽象性、推理的严谨性和应用的广泛性.这是在数学发展的漫长的历程中逐渐形成的.对其中有关的空间结构、数量关系的共性不断地抽象、升华而形成当今的数学.数学的广泛应用性则为各门学科以及人们的生产、生活和社会活动在定量方面向深层次发展奠定了基础.数学模型是应用数学知识和计算机解决实际问题的一种有效的重要工具.
数学提供给人类的不仅仅是现成的知识和工具，更重要的是提供给人类的思想和方法.在数学方法中，从宏观层面上看，具有典型数学特征、影响和作用最大的是公理化方法和数学模型方法以及随机思想方法.“数学模型方法”(Mathematical Model Method)简称MM方法，它不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，而且是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法.数学模型方法是根据研究的目的，采用数学形式化语言将研究的某种事物系统的特征和数量关系抽象成数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法.
数学竞赛的测试点与义务教育不同，它不是考学生的数学知识的系统性，而是考学生的能力，考灵活性与创造性，这是由数学竞赛的要求决定的.笔者认为，改变当前中学的应试教育，让学生适当地参与到数学竞赛中来，通过认识一定的竞赛题，可以开拓学生的思路，提高学生的综合素质.许多竞赛题初看时不知它属于哪一个数学分支，题型从未见过，其实它用到的数学知识却非常简单，基本上都学过，有些题甚至只用到小学的算术，有些题目可以是将中学数学知识综合在一起，表现出较深的思维和巧妙的特点.
数学来源于人们生产和生活的需要.相当的一部分竞赛题目源自实际生活，看不出有多少数学味道，更谈不上属于哪个分支，需要什么知识.这些题目首先要由学生自己去建立数学模型再加以解决.其中一些问题是本来实际生活中就经常出现的，另一些却是先有数学问题，再把它变成一个实际问题，这样做，除了增加竞赛的趣味性之外，更重要的是要考学生数学联系实际的能力.一个实际问题可以建立不同的数学模型，这些不同的数学模型可以有相同的思路，也可以是思路各不相同，但一般说来，一旦建立了模型，思路就几乎出来了.即使是一个纯数学问题，也可以有不同的数学模型.我们常说的一题多解实际也有这种意思.对数学竞赛而言，意思更广.
建立数学模型，就是把问题的条件（或已知数据）和结论（或未知量）用数学语言表示，这就是“翻译”工作，不同的数学模型有不同的数学语言.这样就把一个实际问题变成一个等价的数学问题.但要认识到数学模型不是对现实系统的简单的模拟，有的问题经过这样的翻译就变成熟知的基本数学问题，从而问题更易解决.数学竞赛的部分考题中就是考查学生这种翻译能力.假如学生能熟知和建立各种形式的数学模型，那么思路必然就开阔得多.
请看下面三个题目，它们表面差别很大，却是出于同一个数学模型.
例1 任意剪六个圆形纸片放在桌上，使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上，或被另一纸片盖住.然后用一枚针扎这些纸片.说明：不论针尖落在哪一点，总是不能一次把六个纸片全部扎中.
这个题目又被改编为：
例2 从100个城市（有的写成n个城市，n>5）同时各起飞一架飞机，飞往离本市最近的城市降落.证明：在任一个城市中降落的飞机都不超过6架.
后来又改编为纯数学题：
例3 令n为大于5的整数，n个共面的点中，每两个的距离均不相等.将每个点与和它的距离最近的点用线段相连.证明：没有一个点与多于5个点相连.
这三个问题只用到这样的几何知识：三角形三内角之和为180°及大边对大角.只要会证一个题，其他两题即迎刃而解.以例1为例，证明如下：
用反证法，设针尖落在点P上，而P落在六个圆之内，六个圆的圆心分别为O1，O2，…，O6，为方便，设它们的排号是PO1，PO2，…，PO6，按顺时针方向排列.因P点在圆⊙O1，⊙O2内，故O1O2>PO1，O1O2>PO2.否则，O1，O2必有一点在另一点所在圆的内部.根据三角形三内角的性质知∠O1PO2>60°，同理∠O2PO3，…，∠O6PO1也大于60°，这是不可能的，可知反证法假设不成立，问题得证.
善于和发现数学竞赛中各类题目的共性，是为它们建立数学模型的基础，在这方面教师有义务对学生做出引导，让学生在循序渐进的过程中享受数学带来的乐趣，为可持续发展奠定基础.