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摘要：复变函数理论推动了许多学科的发展，它已经成为理工科很多专业的必修课程，但是由于复变函数的抽象性，大部分学生在学习过程中感觉这门课程的概念以及定理非常难懂，尤其是在复变函数积分方面更是无从下手，本文就是对我们复变函数的积分进行分类，然后对每一类积分给出处理的方法，让学生对积分问题有一个清晰的把握。
关键词：复变函数积分发展历史柯西积分高阶导数
中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1673-9795(2012)01(b)-0000-00
数学学科发展到现在,已成为了分支众多的学科之一,复变函数则是其中一个非常重要的分支，复变函数现在是大学理工科专业的一门重要的基础科，但是复变函数的学习要有高等数学的基础，如果没有这方面的知识，学习复变函数无疑会非常困难，因为这门课程在初学者看来非常抽象，理论性太强。作为复变函数的教学工作者，如何使得这门课程的课堂变得生动有趣，而且使学生在学习过程中容易理解，是我们不得不思考的问题。在这篇论文中，我们将对复变函数中难度最大的积分问题进行分类阐述，使我们对复变函数的积分这种问题变得不再桀骜难驯。
1 复变函数的发展历史
在讲一门课之前，应当将这门课程的历史说一说，使得学生能对这门课程有个初步了解，便于学生对这门课程有个整体把握。在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程x(10-x)=40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为。在当时包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a+ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。
柯西写于1814年的关于定积分的论文是他创立复变函数论的第一步。文中给出了所谓柯西－黎曼方程；讨论了改变二重积分的次序问题，提出了被积函数有无穷型间断点时主值积分的观念并计算了许多广义积分。柯西写于1825年的关于积分限为虚数的定积分的论文，是一篇力作。文中提出了作为单复变函数论基础的“柯西积分定理”。柯西本人用变分方法证明了这条定理，证明中曲线连续变形的思想，可以说是“同伦”观念的萌芽。文中还讨论了被积函数出现一阶与m阶极点时广义积分的计算。从此以后复变函数的积分有了长足的发展。
2 复变函数积分的方法
复变函数的积分一直是学生学习这门课程当中的一个难点，就是很多学生面对一个积分时感觉无从下手，其实很简单，只要掌握了其中的技巧，我们就可以轻松应付。首先复变函数的积分分为两大类，一类是被积函数是解析的情况，我们暂且将这种积分记为A类积分；另一种是被积函数有奇点的情况，简记为B类积分。
2.1 对于A类积分
我们又可以分为A1类非闭曲线积分和A2类闭曲线积分。
（1）A1类积分：我们处理的方法是有两种：一种是参数方程方法，即：，或者另一种方法，如果被积函数在单连通区域区域内解析，那么对此单连通区域的任意两点，我们有。
对于A2类积分，如果积分曲线是闭的，而且被积函数在积分曲线所围成的单连通区域内解析，那么我们就可以由柯西-古莎定理直接得出此A2类积分为零。
2.2 对于B类积分
（1）如果被积函数在闭曲线C所围成的区域内只有一个奇点，采用的方法有两个，第一种方法是柯西积分，也就是：。如果被积函数的分母是(n>1)的话，那么我们需要用高阶导数公式。
（2）如果被积函数在闭曲线C所围成的区域内有两个或两个以上的奇点，那么我们这时候要先用一下复合闭路定理，具体的操作步骤就是首先要在积分曲线C内画几个互不相交，也互不包含的小圆周，使得每一个小圆周只包含一个奇点，然后由复合闭路定理可知道，只要求出每个小圆周的积分就可以，这时只需要再用一下柯西积分或者高阶导数公式即可。
（3）对于实变函数的积分，我们一般是用留数公式处理，我们的教材中已经给了很好的分类，我们就不再赘述。
从上面我们总结的看来，我们面对一个积分时，首先应判断这个被积函数在积分曲线所围成的区域内是不是解析的，然后看看积分曲线是不是闭的，最后根据以上的判断看看这个积分应该属于我们所说的A类还是B类，选择适当的办法就可以求出最后结果。
3 复变函数积分的应用性
我们知道，在实变函数性质的研究中，积分是一个非常重要的工具，那么复变函数的积分同样有很多的实际意义。积分的理论和方法在自然科学和工程技术的许多领域有着广泛的应用。复变函数积分是解决流体力学、电磁学、热学等理论中平面问题的有力工具。因此，学好复变函数的积分将为我们学习其它科目提供强有力的理论基础。
参考文献
[1] 王锦森.复变函数[M].高等教育出版社,2008.
[2] 郑建华.复变函数[M].清华大学出版社,2005.
[3] 闻国椿,殷慰萍.首都师范大学出版社,1999.
关键词：复变函数积分发展历史柯西积分高阶导数
中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1673-9795(2012)01(b)-0000-00
数学学科发展到现在,已成为了分支众多的学科之一,复变函数则是其中一个非常重要的分支，复变函数现在是大学理工科专业的一门重要的基础科，但是复变函数的学习要有高等数学的基础，如果没有这方面的知识，学习复变函数无疑会非常困难，因为这门课程在初学者看来非常抽象，理论性太强。作为复变函数的教学工作者，如何使得这门课程的课堂变得生动有趣，而且使学生在学习过程中容易理解，是我们不得不思考的问题。在这篇论文中，我们将对复变函数中难度最大的积分问题进行分类阐述，使我们对复变函数的积分这种问题变得不再桀骜难驯。
1 复变函数的发展历史
在讲一门课之前，应当将这门课程的历史说一说，使得学生能对这门课程有个初步了解，便于学生对这门课程有个整体把握。在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程x(10-x)=40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为。在当时包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a+ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。
柯西写于1814年的关于定积分的论文是他创立复变函数论的第一步。文中给出了所谓柯西－黎曼方程；讨论了改变二重积分的次序问题，提出了被积函数有无穷型间断点时主值积分的观念并计算了许多广义积分。柯西写于1825年的关于积分限为虚数的定积分的论文，是一篇力作。文中提出了作为单复变函数论基础的“柯西积分定理”。柯西本人用变分方法证明了这条定理，证明中曲线连续变形的思想，可以说是“同伦”观念的萌芽。文中还讨论了被积函数出现一阶与m阶极点时广义积分的计算。从此以后复变函数的积分有了长足的发展。
2 复变函数积分的方法
复变函数的积分一直是学生学习这门课程当中的一个难点，就是很多学生面对一个积分时感觉无从下手，其实很简单，只要掌握了其中的技巧，我们就可以轻松应付。首先复变函数的积分分为两大类，一类是被积函数是解析的情况，我们暂且将这种积分记为A类积分；另一种是被积函数有奇点的情况，简记为B类积分。
2.1 对于A类积分
我们又可以分为A1类非闭曲线积分和A2类闭曲线积分。
（1）A1类积分：我们处理的方法是有两种：一种是参数方程方法，即：，或者另一种方法，如果被积函数在单连通区域区域内解析，那么对此单连通区域的任意两点，我们有。
对于A2类积分，如果积分曲线是闭的，而且被积函数在积分曲线所围成的单连通区域内解析，那么我们就可以由柯西-古莎定理直接得出此A2类积分为零。
2.2 对于B类积分
（1）如果被积函数在闭曲线C所围成的区域内只有一个奇点，采用的方法有两个，第一种方法是柯西积分，也就是：。如果被积函数的分母是(n>1)的话，那么我们需要用高阶导数公式。
（2）如果被积函数在闭曲线C所围成的区域内有两个或两个以上的奇点，那么我们这时候要先用一下复合闭路定理，具体的操作步骤就是首先要在积分曲线C内画几个互不相交，也互不包含的小圆周，使得每一个小圆周只包含一个奇点，然后由复合闭路定理可知道，只要求出每个小圆周的积分就可以，这时只需要再用一下柯西积分或者高阶导数公式即可。
（3）对于实变函数的积分，我们一般是用留数公式处理，我们的教材中已经给了很好的分类，我们就不再赘述。
从上面我们总结的看来，我们面对一个积分时，首先应判断这个被积函数在积分曲线所围成的区域内是不是解析的，然后看看积分曲线是不是闭的，最后根据以上的判断看看这个积分应该属于我们所说的A类还是B类，选择适当的办法就可以求出最后结果。
3 复变函数积分的应用性
我们知道，在实变函数性质的研究中，积分是一个非常重要的工具，那么复变函数的积分同样有很多的实际意义。积分的理论和方法在自然科学和工程技术的许多领域有着广泛的应用。复变函数积分是解决流体力学、电磁学、热学等理论中平面问题的有力工具。因此，学好复变函数的积分将为我们学习其它科目提供强有力的理论基础。
参考文献
[1] 王锦森.复变函数[M].高等教育出版社,2008.
[2] 郑建华.复变函数[M].清华大学出版社,2005.
[3] 闻国椿,殷慰萍.首都师范大学出版社,1999.