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【摘要】用活、用好课本知识可以使高三的复习事半功倍，平面向量中涉及的三个向量和为零向量（即平面向量基本定理的变式）应用比较灵活、多变.
【关键词】课本；联想；向量；共线
题目O是三角形内部一点，且OA+2OB+3OC=0，则△AOB与AOC的面积之比为.
这道題目在各种教辅用书中出现频率很高，一种常见解法是转化为OA=-2OB-3OC利用向量合成，如图，OB′=-2OB，OC′=-3OC，然后通过探究线段比例关系来确定面积之比.这种解法思路虽很直白，但图形复杂，比例关系需多次转化，学生难以掌握.
笔者研究后发现还有更好的方法来解决这一问题，方法如下：
看到这一个向量等式，不由联想到苏教版《普通高中课程标准实验教科书》第4册第77页习题2.3第12题（2）的结论：在△ABC中，G为△ABC的重心，证明GA+GB+GC=0，比较课本结论和该题条件，不难发现，结构完全一样，只是向量前面的系数不同，故解题策略就是化异为同.
解令OB′=2OB，OC′=3OC，则在△AB′C′中，有OA+OB′+OC′=0，易得O为△AB′C′的重心，如图，由三角形重心的性质可得
S△AOB′=S△AOC′=S△B′OC′=13S△AB′C′.
记S△AOB′=S，在△AOB′中，由于B为OB′中点，
故S△AOBS△AOB′=12,即S△AOB=12S.
在△AOC′中，由于OC=13OC′,
故S△AOCS△AOC′=13,即S△AOC=13S，
故S△AOB∶S△AOC=3∶2.
不仅如此，笔者通过研究还发现平面上四点O，A，B，C若满足mOA+nOB+pOC=0且m+n+p≠0，mnp≠0，则S△AOB∶S△BOC∶S△AOC∶S△ABC=|p|∶|m|∶|n|∶|p+m+n|.
应注意的是：当m+n+p=0时，mOA+nOB+pOC=0可转化成OC=-mpOA-npOB，∵m+n+p=0，∴-mp+-np=1，故A，B，C三点共线，此时就不能构成△ABC了，这实际上就又是课本第67页例4以及课本77页习题2.3第11题的一个结论的应用了，即在平面上四点O，A，B，C满足OC=αOA+βOB，且α+β=1，则A，B，C三点共线.
事实上，课本中三个向量之和为零向量的这一等式在其他地方也有体现.如在△ABC中，设AB=a,BC=b,CA=c，则必有a+b+c=0.这一事实，在平面向量和解三角形中有更广泛的运用.
一、证明定理或等式
苏教版课本中的正弦定理和余弦定理的证明就是采用这一事实作为前提，进而构造平面向量的数量积而获得证明，这里就不再一一赘述了.
二、快速解三角形或求值
例在△ABC中，记BC=a，CA=b,AB=a,若AB=4,BC=3,CA=2.求：
(1)a•b；(2)a•b+b•c；(3)a•b+b•c+c•a.
这道题目解决方法很多，但最快捷的莫过于巧用a+b+c=0这一条件了.
解(1)∵a+b+c=0，∴a+b=-c.
∴(a+b)2=(c)2，即a•b=|c|2-|a|2-|b|22=32.
(2)a•b+b•c=b•(a+c)=-b2=-4.
(3)∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0.
a2+b2+c2+2(a•b+b•c+c•a)=0.
∴a•b+b•c+c•a=-|a|2+|b|2+|c|22=-292.
总之，在高三复习课中，我们要特别注意对课本中的结论进行变式、迁移、拓展、提升，通过联想转化等手段，返璞归真，化繁为简，化未知为已知，使得我们手中的题目，落脚点在课本，着力点在高考，提高学生的思维质量和解题能力.
（上接120页）
再次，是让学生围绕制订的计划与目标开展活动，若活动中出现问题，师生要及时研究处理意见与方案，然后让学生自己去处理与解决.通过大量的社会调查和实地考察，从而达到培养学生资料搜集与处理能力、预见构思与策划能力、多角度思考与个性化观点能力、交流展示与团队协作能力，让学生体验成功和分享研究成果给他们带来的快乐.
最后，学生在获取大量的第一手资料和积累的经验以及自己的感受、体会的基础上，写出书面总结或论文进行交流，通过交流、研讨、分享，使认识和情感得到升华，真正让学生在活动中寻求快乐，在争论中发现价值，在探究中揭示规律，在研究中积累储备，在交流中获得启迪，在应用中彰显能力.
总之，数学研究性学习重在学习过程，而非研究的结果；重在兴趣能力的培养，而非活动的红火程度；重在知识技能的应用，而非掌握知识的多少；重在亲身参与探索、感悟体验，而非接受别人传授的经验；重在全员参与，而非只关注少数数学尖子生的成长.因此，数学研究性学习的实施过程是一个不断完善的过程，也是需要一线教师和学生不断总结和积淀的过程.
【参考文献】
［1］蒋佩锦.关于开展研究性学习活动的一些思考.数学通报，2003（5）.
［2］研究性学习活动教材与过程指导教师用书（高中全一册）.南京：江苏教育出版社，2005.
【关键词】课本；联想；向量；共线
题目O是三角形内部一点，且OA+2OB+3OC=0，则△AOB与AOC的面积之比为.
这道題目在各种教辅用书中出现频率很高，一种常见解法是转化为OA=-2OB-3OC利用向量合成，如图，OB′=-2OB，OC′=-3OC，然后通过探究线段比例关系来确定面积之比.这种解法思路虽很直白，但图形复杂，比例关系需多次转化，学生难以掌握.
笔者研究后发现还有更好的方法来解决这一问题，方法如下：
看到这一个向量等式，不由联想到苏教版《普通高中课程标准实验教科书》第4册第77页习题2.3第12题（2）的结论：在△ABC中，G为△ABC的重心，证明GA+GB+GC=0，比较课本结论和该题条件，不难发现，结构完全一样，只是向量前面的系数不同，故解题策略就是化异为同.
解令OB′=2OB，OC′=3OC，则在△AB′C′中，有OA+OB′+OC′=0，易得O为△AB′C′的重心，如图，由三角形重心的性质可得
S△AOB′=S△AOC′=S△B′OC′=13S△AB′C′.
记S△AOB′=S，在△AOB′中，由于B为OB′中点，
故S△AOBS△AOB′=12,即S△AOB=12S.
在△AOC′中，由于OC=13OC′,
故S△AOCS△AOC′=13,即S△AOC=13S，
故S△AOB∶S△AOC=3∶2.
不仅如此，笔者通过研究还发现平面上四点O，A，B，C若满足mOA+nOB+pOC=0且m+n+p≠0，mnp≠0，则S△AOB∶S△BOC∶S△AOC∶S△ABC=|p|∶|m|∶|n|∶|p+m+n|.
应注意的是：当m+n+p=0时，mOA+nOB+pOC=0可转化成OC=-mpOA-npOB，∵m+n+p=0，∴-mp+-np=1，故A，B，C三点共线，此时就不能构成△ABC了，这实际上就又是课本第67页例4以及课本77页习题2.3第11题的一个结论的应用了，即在平面上四点O，A，B，C满足OC=αOA+βOB，且α+β=1，则A，B，C三点共线.
事实上，课本中三个向量之和为零向量的这一等式在其他地方也有体现.如在△ABC中，设AB=a,BC=b,CA=c，则必有a+b+c=0.这一事实，在平面向量和解三角形中有更广泛的运用.
一、证明定理或等式
苏教版课本中的正弦定理和余弦定理的证明就是采用这一事实作为前提，进而构造平面向量的数量积而获得证明，这里就不再一一赘述了.
二、快速解三角形或求值
例在△ABC中，记BC=a，CA=b,AB=a,若AB=4,BC=3,CA=2.求：
(1)a•b；(2)a•b+b•c；(3)a•b+b•c+c•a.
这道题目解决方法很多，但最快捷的莫过于巧用a+b+c=0这一条件了.
解(1)∵a+b+c=0，∴a+b=-c.
∴(a+b)2=(c)2，即a•b=|c|2-|a|2-|b|22=32.
(2)a•b+b•c=b•(a+c)=-b2=-4.
(3)∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0.
a2+b2+c2+2(a•b+b•c+c•a)=0.
∴a•b+b•c+c•a=-|a|2+|b|2+|c|22=-292.
总之，在高三复习课中，我们要特别注意对课本中的结论进行变式、迁移、拓展、提升，通过联想转化等手段，返璞归真，化繁为简，化未知为已知，使得我们手中的题目，落脚点在课本，着力点在高考，提高学生的思维质量和解题能力.
（上接120页）
再次，是让学生围绕制订的计划与目标开展活动，若活动中出现问题，师生要及时研究处理意见与方案，然后让学生自己去处理与解决.通过大量的社会调查和实地考察，从而达到培养学生资料搜集与处理能力、预见构思与策划能力、多角度思考与个性化观点能力、交流展示与团队协作能力，让学生体验成功和分享研究成果给他们带来的快乐.
最后，学生在获取大量的第一手资料和积累的经验以及自己的感受、体会的基础上，写出书面总结或论文进行交流，通过交流、研讨、分享，使认识和情感得到升华，真正让学生在活动中寻求快乐，在争论中发现价值，在探究中揭示规律，在研究中积累储备，在交流中获得启迪，在应用中彰显能力.
总之，数学研究性学习重在学习过程，而非研究的结果；重在兴趣能力的培养，而非活动的红火程度；重在知识技能的应用，而非掌握知识的多少；重在亲身参与探索、感悟体验，而非接受别人传授的经验；重在全员参与，而非只关注少数数学尖子生的成长.因此，数学研究性学习的实施过程是一个不断完善的过程，也是需要一线教师和学生不断总结和积淀的过程.
【参考文献】
［1］蒋佩锦.关于开展研究性学习活动的一些思考.数学通报，2003（5）.
［2］研究性学习活动教材与过程指导教师用书（高中全一册）.南京：江苏教育出版社，2005.