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【摘 要】 研究非线性复杂动态网络的牵引自适应同步问题。通过使用李雅普诺夫方法、数学分析方法以及脉冲系统的比较原理，给出了非线性复杂动态网络同步的充分条件。最后用数值例子说明所设计控制器的有效性。
【关键词】 自适应同步性;牵引控制同步性;非线性复杂网络;时变延迟
Pinning Adaptive Synchronization of Nonlinear Complex Dynamic
Networks with Time-varying Delay
Li Lei
（Huaibei Normal University，Huaibei 235000， China）
【Abstract】 In this paper， the pinning adaptive synchronization of nonlinear complex dynamic networks is studied. By using Lyapunov method， mathematical analysis method and comparison principle of impulse system， sufficient conditions for dynamic network’s synchronization with the same coupling delay between nodes are given. Finally， a numerical example is given to illustrate the effectiveness of the proposed controller.
【Key words】 adaptive synchronization; pinning synchronization; nonlinear complex networks; time-varying delay
〔中图分类号〕 O175 〔文献标识码〕 A 〔文章编号〕 1674 - 3229（2021）02- 0060 - 04
0 引言
同步是复杂网络的一个重要特性，在自然、社会、物理和生物等领域都有广泛的应用。近年来，因为复杂网络的建模需要考虑时滞和随机扰动的影响，复杂随机网络的同步问题引起了人们的广泛关注[1]。 在网络自身无法同步的情况下，为了驱动网络同步，已经报道了许多有效的控制技术，如反馈控制、采样数据控制、自适应控制、牵引控制、脉冲控制和间歇控制[2-6]。 脉冲控制策略由于其相对于一般连续控制方案的潜在优势，已被广泛应用于耦合混沌动力系统的同步。Edgar N[7]利用递归高阶神经网络进行辨识，提出了一种新的变耦合强度复杂网络的牵引控制方案，实现了网络的同步。Wang[8]利用Lyapunov泛函和Barbalat引理分析了多加权复杂网络的输出同步问题。还提出了基于节点和边缘的牵引控制策略，以保证多权值复杂网络的输出同步并讨论了多加权复杂网络的H∞输出同步问题。Wang[9]研究了分数阶耦合时滞复杂网络的自适应牵引投影同步问题。 Su[10]通过在每个节点上引入这种局部自适应策略，证明了网络可以利用弱耦合强度和小反馈增益同步。 Liang[11]对于可约和不可约耦合矩阵，利用Lasalle不变性原理研究了具有无延迟和可变延迟耦合的复杂网络中的自适应牵引同步问题。
另外，脉冲控制器通常具有相对简单的结构。从这个意义上说，脉冲同步策略在实际中是非常有用的。同时牵引脉冲控制策略只需控制一小部分节点就可以使整个动态网络达到同步。本文在上述讨论的基础上，研究了时滯复杂网络的牵引控制同步问题。通过使用李雅普诺夫函数以及一些数学分析技术，得到了使复杂网络同步的充分条件。
1 预备知识
符号：本文将使用标准符号，[I]表示n阶单位矩阵，[λmax（?）]表示实对称矩阵的最大特征值，[Rn]表示n维欧几里得空间，[Rn×n]表示[n×n]的实矩阵，上标“T”表示转置。矩阵如果没有明确说明，假定具有兼容的维数。[||x||]表示欧几里得范数，[x∈Rn]。考虑如下N个节点的复杂动态网络模型：
[xi（t）=f（xi（t），xi（t-τ（t）））+cj=1，j≠iNaijΓxj（t-τ（t）），t≥0xi（t）=?i（t），-τ?≤t≤0 ]
（1）
其中[xi（t）=（xi1（t），xi2（t），…，xin（t））T∈Rn]是第[i]个节点在[t]时刻的状态向量;[f ： Rn×Rn→Rn]是光滑的连续函数;[τ（t）]为时间延迟满足[0≤τ（t）≤τ]，[τ]为正常数;[c>0]为耦合强度。[Γ=（γij（t））N×N]为拓扑结构的耦合矩阵;矩阵[A=（aij）N×N]表示复杂网络的外部耦合矩阵，其每个元素均非负，若[aij≠0]，表示节点[i]对节点[j]的动力学行为有影响。矩阵[A]的对角元素满足耗散条件：
[aii=-j=1，j≠iNaij<0，i=1，2，…，N]
[?i（t）∈C[（-τ，0），Rn]]为初始状态。
定义1：[D+v（t）=limh→0+supv（t+h）-v（t）h] 定义2：复杂动态网络与目标状态[s（t）]同步，如果满足[limt→∞||xi（t）-s（t）||=0，i=1，2，…，N]
这里[s（t）∈Rn]为单个孤立节点的解，即满足[s（t）=f（s（t），s（t-τ（t）））]，其中[s（t）]可以是平衡点、周期轨道或是混沌轨迹。
为了实现自适应同步目标，对系统做出以下假设并给出几个引理。
假设1：对于网络系统，假设存在正的常數[l1]和[l2]满足[||f（x，u）-f（y，v）||≤l1||x-y||+l2||u-v||]
假设2：对任意的向量[x，y∈Rn]，存在正定矩阵[G∈Rn×n]，有以下不等式成立
[2xTy≤xTGx+yTG-1y]
引理1[13]：对于任意的向量[x，y∈Rn]和正定矩阵[C]，有以下不等式成立
[-2xTy≤infC>0{xTCx+yTC-1y}]
牵引脉冲控制自适应同步性。
令[ei（t）=xi（t）-s（t），i=1，2，…，N]为当前状态与目标状态的误差状态，则带有控制的误差状态为：[ei（t）=f（xi（t），xi（t-τ（t）））-f（s（t），s（t-τ（t）））+ cj=1NaijΓej（t-τ（t））-di（t）ei（t）， t∈（tk-1，tk）ei（t）=ei（t-）+Bei（t-）=（I+B）ei（t-）， t=tk ] （2）
其中[di（t）=ξieTi（t）ei（t）]且[λmax（（I+B）T（I+B））≤1]。
通过添加牵引脉冲控制器使得非线性动态网络全局指数稳定。为了实现动态网络的同步性，设计如下形式的脉冲控制器，其中控制的节点数[l?N]：
[ui（t）=k=1∞Bei（t）δ（t-tk）]
其中[i=1，2，…，N]，脉冲瞬时序列[tk∞k=1]为满足条件[0<t1<t2<…<tk<…]，[limk→∞tk=∞]的严格递序列，并令[t0=0]。[B=Rn×n]为控制强度矩阵。定义需要脉冲控制的[l]个节点的指标集[?（t）]：对[t]时刻的误差状态向量[e1（t），e2（t），…，eN（t）]进行重新排序得到[||ep1（t）||≥||ep2（t）||≥L≥||epl（t）||≥L||epN（t）||，][，?（t）={p1，p2，][…，pl}]。
2 主要结论
令[ρmin]是矩阵[Γ+ΓT2]的最小特征值，假定[ρmin≠0]以及[||Γ||=ρ>0]，令[AS=A+AT2]，[A]是用[ρminρaii]替换[A]的对角元素[aii]后修正的矩阵。接下来通过设计合适的控制器从而使受控动态网络能够实现同步性。
引理2：若假设1成立，且时变时滞有界，则在上述设计的脉冲控制器下的误差状态网络是牵引控制自适应同步。
证明：
构造如下的Lyapunov函数
[V（t）=12i=1NeiT（t）ei（t）+i=1N12ξi（di（t）-d?i）2] [?t∈（tk-1，tk）]，从而有
[D+V（t）=i=1NeiT（t）[f（xi（t），xi（t-τ（t）））-f（s（t），s（t-τ（t）））+cj=1NaijΓej（t-τ（t））-di（t）ei（t）] +i=1N1ξi（di（t）-d?i）ξieTi（t）ei（t）≤i=1NeiT（t）[l1||xi（t）-s（t）||+l2||xi（t-τ（t））-s（t-τ（t））||]]
[+ci=1Nj=1NaijΓeiT（t）ej（t-τ（t））-i=1Ndi（t）eiT（t）ei（t）+i=1N（di（t）-d?i）eTi（t）ei（t）≤i=1NeiT（t）[l1ei（t）+l2ei（t-τ（t））]+12ci=1Nj=1NaijΓeiT（t）ei（t）+12ci=1Nj=1NaijΓejT（t-τ（t））ej（t-τ（t））-i=1Ndi（t）eiT（t）ei（t）+i=1N（di（t）-d?i）eTi（t）ei（t）][ ≤l1i=1NeiT（t）ei（t）+12l2i=1NeiT（t）ei（t）+12l2i=1NeiT（t-τ（t））ei（t-τ（t）） +12ci=1Nj=1NaijΓeiT（t）ei（t）+12i=1Nj=1NaijΓejT（t-τ（t））ej（t-τ（t）） -i=1Ndi（t）eiT（t）ei（t）+i=1N（di（t）-d?i）eTi（t）ei（t）≤l1i=1NeiT（t）ei（t）+ 12l2i=1NeiT（t）ei（t）+12l2i=1NeiT（t-τ（t））ei（t-τ（t））+ 12ci=1Nj=1，j≠iNaijΓeiT（t）ei（t）+12ci=1NaiiρmineiT（t）ei（t）+ 12i=1Nj=1，j≠iNaijΓejT（t-τ（t））ej（t-τ（t））+12ci=1NaiiρmineiT（t-τ（t）） ei（t-τ（t））-i=1Nd?ieTi（t）ei（t） ≤i=1N[l1+12l2+12cj=1，j≠iNaijΓ+12caiiρmin-d?i]eiT（t）ei（t） +i=1N[12l2+12cj=1，j≠iNaijΓ+12caiiρmin]eiT（t-τ（t））ei（t-τ（t）） +12i=1Nj=1，j≠iNaijΓejT（t-τ（t））ej（t-τ（t）） ≤[（2l1+l2）IN+cρAS-2D]eT（t）e（t）+[（l2+a1）IN+cρAS]eT （t-τ（t））e（t-τ（t））] 其中[（2l1+l2）IN+cρAs-2D=0]，[D=diag{d?1，]
[d?2，…，d?N}]。所以[V（t）≤0]。
当[t=tk]时，有
[V（tk）=12i=1NeTi（tk）ei（tk）+i=1N12ξi（di（tk）-d?i）2=12i∈?（tk）（I+B）T（I+B）eTi（t-k）ei（t-k）+12i??（tk）eTi（t-k）ei（t-k）+i=1N12ξi（di（t-k）-d?i）2≤12i∈?（tk）eTi（t-k）ei（t-k）+12i??（tk）eTi（t-k）ei（t-k）+i=1N12ξi（di（t-k）-d?i）2=V（t-k）]
从而可以得到[?t≥t0，V（t）≤V（t0）]。综上所述，所以由LaSalle不变性原理知[V（t）]有限，从而受控网络可达到同步状态。
注1：文献[12]使用广义的Barbalat引理和一些分析技术，讨论了分数阶复杂动态网络牵引自适应脉冲同步性问题。因为在实际网络时滞是不可避免的，所以本文基于李雅普诺夫方法、LaSalle不变性原理以及一些数学分析方法讨论了时变时滞非线性复杂动态网络的牵引自适应同步问题。
3 数值例子
考虑动力系统的每个节点都是混沌洛伦兹系统的情形。
[x1=a（x2-x1）x2=bx1-x2-x1x3x3=x1x2-cx3]
其中当[a=10，b=28，c=83]时，系统为混沌系统。系统平衡点为：
[（0，0，0），（8.49，8.49，27），（-8.49，-8.49，27）]
为了将Lorenz系统的所有节点状态都控制到平衡点，对网络中部分节点施加牵引控制。则受控网络的状态方程为
[xi1=a（xi2-xi1）+cj=1NaijΓxj1（t）-Nd（xi1-x1）xi2=bxi1-xi2-xi1xi3+cj=1NaijΓxj2（t）-Nd（xi2-x2）xi3=xi1xi2-cxi3+cj=1NaijΓxj3（t）-Nd（xi3-x1）]
研究控制节点个数[l]以及牵制强度[d]对网络稳定性的影响。选取节点总数[N=20]。
3.1 讨论控制节点个数[l]对网络稳定性的影响
选择控制目标[（0，0，0）]，耦合强度[c=30]以及牵制强度[d=10]固定不变。控制节点个数[l]分别选取[1，2，3，4]，从而得到如下网络状态图（图1）。
根据上述网络状态可知当网络节点数小于3个时，网络无法达到目标状态。比较发现控制节点数目越多，达到目标状态时间越短。
3.2 讨论牵制强度[d]对网络稳定性的影响
选择控制目标[（0，0，0）]，耦合强度[c=130]以及节点[l=1]固定不变，牵制强度[d]分别选取[5，10，30]，从而得到如下网络状态图（图2）。
根据上述网络状态可知，当耦合强度以及网络节点数固定时，牵制强度越大，网络达到目标状态越快，所用时间越短。
4 结论
本文研究了非线性复杂动态网络的牵引自适应同步问题。牵引脉冲控制策略因其只需控制一小部分节点就可以使整个动态网络达到同步而得到广泛研究。通过使用李雅普诺夫方法、数学分析方法以及脉冲系统的比较原理，得到了保证非线性动态网络同步标准。最终发现所得的标准与节点比例、脉冲强度、脉冲区间、时滞密切相关。
[参考文献]
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[13] WU J S，JIAO L C. Synchronization in complex delayed dynamical networks with nonsymmetric coupling[J]. Physica A： Statistical Mechanics and its Applications，2007，
386（1）：513-530.
【关键词】 自适应同步性;牵引控制同步性;非线性复杂网络;时变延迟
Pinning Adaptive Synchronization of Nonlinear Complex Dynamic
Networks with Time-varying Delay
Li Lei
（Huaibei Normal University，Huaibei 235000， China）
【Abstract】 In this paper， the pinning adaptive synchronization of nonlinear complex dynamic networks is studied. By using Lyapunov method， mathematical analysis method and comparison principle of impulse system， sufficient conditions for dynamic network’s synchronization with the same coupling delay between nodes are given. Finally， a numerical example is given to illustrate the effectiveness of the proposed controller.
【Key words】 adaptive synchronization; pinning synchronization; nonlinear complex networks; time-varying delay
〔中图分类号〕 O175 〔文献标识码〕 A 〔文章编号〕 1674 - 3229（2021）02- 0060 - 04
0 引言
同步是复杂网络的一个重要特性，在自然、社会、物理和生物等领域都有广泛的应用。近年来，因为复杂网络的建模需要考虑时滞和随机扰动的影响，复杂随机网络的同步问题引起了人们的广泛关注[1]。 在网络自身无法同步的情况下，为了驱动网络同步，已经报道了许多有效的控制技术，如反馈控制、采样数据控制、自适应控制、牵引控制、脉冲控制和间歇控制[2-6]。 脉冲控制策略由于其相对于一般连续控制方案的潜在优势，已被广泛应用于耦合混沌动力系统的同步。Edgar N[7]利用递归高阶神经网络进行辨识，提出了一种新的变耦合强度复杂网络的牵引控制方案，实现了网络的同步。Wang[8]利用Lyapunov泛函和Barbalat引理分析了多加权复杂网络的输出同步问题。还提出了基于节点和边缘的牵引控制策略，以保证多权值复杂网络的输出同步并讨论了多加权复杂网络的H∞输出同步问题。Wang[9]研究了分数阶耦合时滞复杂网络的自适应牵引投影同步问题。 Su[10]通过在每个节点上引入这种局部自适应策略，证明了网络可以利用弱耦合强度和小反馈增益同步。 Liang[11]对于可约和不可约耦合矩阵，利用Lasalle不变性原理研究了具有无延迟和可变延迟耦合的复杂网络中的自适应牵引同步问题。
另外，脉冲控制器通常具有相对简单的结构。从这个意义上说，脉冲同步策略在实际中是非常有用的。同时牵引脉冲控制策略只需控制一小部分节点就可以使整个动态网络达到同步。本文在上述讨论的基础上，研究了时滯复杂网络的牵引控制同步问题。通过使用李雅普诺夫函数以及一些数学分析技术，得到了使复杂网络同步的充分条件。
1 预备知识
符号：本文将使用标准符号，[I]表示n阶单位矩阵，[λmax（?）]表示实对称矩阵的最大特征值，[Rn]表示n维欧几里得空间，[Rn×n]表示[n×n]的实矩阵，上标“T”表示转置。矩阵如果没有明确说明，假定具有兼容的维数。[||x||]表示欧几里得范数，[x∈Rn]。考虑如下N个节点的复杂动态网络模型：
[xi（t）=f（xi（t），xi（t-τ（t）））+cj=1，j≠iNaijΓxj（t-τ（t）），t≥0xi（t）=?i（t），-τ?≤t≤0 ]
（1）
其中[xi（t）=（xi1（t），xi2（t），…，xin（t））T∈Rn]是第[i]个节点在[t]时刻的状态向量;[f ： Rn×Rn→Rn]是光滑的连续函数;[τ（t）]为时间延迟满足[0≤τ（t）≤τ]，[τ]为正常数;[c>0]为耦合强度。[Γ=（γij（t））N×N]为拓扑结构的耦合矩阵;矩阵[A=（aij）N×N]表示复杂网络的外部耦合矩阵，其每个元素均非负，若[aij≠0]，表示节点[i]对节点[j]的动力学行为有影响。矩阵[A]的对角元素满足耗散条件：
[aii=-j=1，j≠iNaij<0，i=1，2，…，N]
[?i（t）∈C[（-τ，0），Rn]]为初始状态。
定义1：[D+v（t）=limh→0+supv（t+h）-v（t）h] 定义2：复杂动态网络与目标状态[s（t）]同步，如果满足[limt→∞||xi（t）-s（t）||=0，i=1，2，…，N]
这里[s（t）∈Rn]为单个孤立节点的解，即满足[s（t）=f（s（t），s（t-τ（t）））]，其中[s（t）]可以是平衡点、周期轨道或是混沌轨迹。
为了实现自适应同步目标，对系统做出以下假设并给出几个引理。
假设1：对于网络系统，假设存在正的常數[l1]和[l2]满足[||f（x，u）-f（y，v）||≤l1||x-y||+l2||u-v||]
假设2：对任意的向量[x，y∈Rn]，存在正定矩阵[G∈Rn×n]，有以下不等式成立
[2xTy≤xTGx+yTG-1y]
引理1[13]：对于任意的向量[x，y∈Rn]和正定矩阵[C]，有以下不等式成立
[-2xTy≤infC>0{xTCx+yTC-1y}]
牵引脉冲控制自适应同步性。
令[ei（t）=xi（t）-s（t），i=1，2，…，N]为当前状态与目标状态的误差状态，则带有控制的误差状态为：[ei（t）=f（xi（t），xi（t-τ（t）））-f（s（t），s（t-τ（t）））+ cj=1NaijΓej（t-τ（t））-di（t）ei（t）， t∈（tk-1，tk）ei（t）=ei（t-）+Bei（t-）=（I+B）ei（t-）， t=tk ] （2）
其中[di（t）=ξieTi（t）ei（t）]且[λmax（（I+B）T（I+B））≤1]。
通过添加牵引脉冲控制器使得非线性动态网络全局指数稳定。为了实现动态网络的同步性，设计如下形式的脉冲控制器，其中控制的节点数[l?N]：
[ui（t）=k=1∞Bei（t）δ（t-tk）]
其中[i=1，2，…，N]，脉冲瞬时序列[tk∞k=1]为满足条件[0<t1<t2<…<tk<…]，[limk→∞tk=∞]的严格递序列，并令[t0=0]。[B=Rn×n]为控制强度矩阵。定义需要脉冲控制的[l]个节点的指标集[?（t）]：对[t]时刻的误差状态向量[e1（t），e2（t），…，eN（t）]进行重新排序得到[||ep1（t）||≥||ep2（t）||≥L≥||epl（t）||≥L||epN（t）||，][，?（t）={p1，p2，][…，pl}]。
2 主要结论
令[ρmin]是矩阵[Γ+ΓT2]的最小特征值，假定[ρmin≠0]以及[||Γ||=ρ>0]，令[AS=A+AT2]，[A]是用[ρminρaii]替换[A]的对角元素[aii]后修正的矩阵。接下来通过设计合适的控制器从而使受控动态网络能够实现同步性。
引理2：若假设1成立，且时变时滞有界，则在上述设计的脉冲控制器下的误差状态网络是牵引控制自适应同步。
证明：
构造如下的Lyapunov函数
[V（t）=12i=1NeiT（t）ei（t）+i=1N12ξi（di（t）-d?i）2] [?t∈（tk-1，tk）]，从而有
[D+V（t）=i=1NeiT（t）[f（xi（t），xi（t-τ（t）））-f（s（t），s（t-τ（t）））+cj=1NaijΓej（t-τ（t））-di（t）ei（t）] +i=1N1ξi（di（t）-d?i）ξieTi（t）ei（t）≤i=1NeiT（t）[l1||xi（t）-s（t）||+l2||xi（t-τ（t））-s（t-τ（t））||]]
[+ci=1Nj=1NaijΓeiT（t）ej（t-τ（t））-i=1Ndi（t）eiT（t）ei（t）+i=1N（di（t）-d?i）eTi（t）ei（t）≤i=1NeiT（t）[l1ei（t）+l2ei（t-τ（t））]+12ci=1Nj=1NaijΓeiT（t）ei（t）+12ci=1Nj=1NaijΓejT（t-τ（t））ej（t-τ（t））-i=1Ndi（t）eiT（t）ei（t）+i=1N（di（t）-d?i）eTi（t）ei（t）][ ≤l1i=1NeiT（t）ei（t）+12l2i=1NeiT（t）ei（t）+12l2i=1NeiT（t-τ（t））ei（t-τ（t）） +12ci=1Nj=1NaijΓeiT（t）ei（t）+12i=1Nj=1NaijΓejT（t-τ（t））ej（t-τ（t）） -i=1Ndi（t）eiT（t）ei（t）+i=1N（di（t）-d?i）eTi（t）ei（t）≤l1i=1NeiT（t）ei（t）+ 12l2i=1NeiT（t）ei（t）+12l2i=1NeiT（t-τ（t））ei（t-τ（t））+ 12ci=1Nj=1，j≠iNaijΓeiT（t）ei（t）+12ci=1NaiiρmineiT（t）ei（t）+ 12i=1Nj=1，j≠iNaijΓejT（t-τ（t））ej（t-τ（t））+12ci=1NaiiρmineiT（t-τ（t）） ei（t-τ（t））-i=1Nd?ieTi（t）ei（t） ≤i=1N[l1+12l2+12cj=1，j≠iNaijΓ+12caiiρmin-d?i]eiT（t）ei（t） +i=1N[12l2+12cj=1，j≠iNaijΓ+12caiiρmin]eiT（t-τ（t））ei（t-τ（t）） +12i=1Nj=1，j≠iNaijΓejT（t-τ（t））ej（t-τ（t）） ≤[（2l1+l2）IN+cρAS-2D]eT（t）e（t）+[（l2+a1）IN+cρAS]eT （t-τ（t））e（t-τ（t））] 其中[（2l1+l2）IN+cρAs-2D=0]，[D=diag{d?1，]
[d?2，…，d?N}]。所以[V（t）≤0]。
当[t=tk]时，有
[V（tk）=12i=1NeTi（tk）ei（tk）+i=1N12ξi（di（tk）-d?i）2=12i∈?（tk）（I+B）T（I+B）eTi（t-k）ei（t-k）+12i??（tk）eTi（t-k）ei（t-k）+i=1N12ξi（di（t-k）-d?i）2≤12i∈?（tk）eTi（t-k）ei（t-k）+12i??（tk）eTi（t-k）ei（t-k）+i=1N12ξi（di（t-k）-d?i）2=V（t-k）]
从而可以得到[?t≥t0，V（t）≤V（t0）]。综上所述，所以由LaSalle不变性原理知[V（t）]有限，从而受控网络可达到同步状态。
注1：文献[12]使用广义的Barbalat引理和一些分析技术，讨论了分数阶复杂动态网络牵引自适应脉冲同步性问题。因为在实际网络时滞是不可避免的，所以本文基于李雅普诺夫方法、LaSalle不变性原理以及一些数学分析方法讨论了时变时滞非线性复杂动态网络的牵引自适应同步问题。
3 数值例子
考虑动力系统的每个节点都是混沌洛伦兹系统的情形。
[x1=a（x2-x1）x2=bx1-x2-x1x3x3=x1x2-cx3]
其中当[a=10，b=28，c=83]时，系统为混沌系统。系统平衡点为：
[（0，0，0），（8.49，8.49，27），（-8.49，-8.49，27）]
为了将Lorenz系统的所有节点状态都控制到平衡点，对网络中部分节点施加牵引控制。则受控网络的状态方程为
[xi1=a（xi2-xi1）+cj=1NaijΓxj1（t）-Nd（xi1-x1）xi2=bxi1-xi2-xi1xi3+cj=1NaijΓxj2（t）-Nd（xi2-x2）xi3=xi1xi2-cxi3+cj=1NaijΓxj3（t）-Nd（xi3-x1）]
研究控制节点个数[l]以及牵制强度[d]对网络稳定性的影响。选取节点总数[N=20]。
3.1 讨论控制节点个数[l]对网络稳定性的影响
选择控制目标[（0，0，0）]，耦合强度[c=30]以及牵制强度[d=10]固定不变。控制节点个数[l]分别选取[1，2，3，4]，从而得到如下网络状态图（图1）。
根据上述网络状态可知当网络节点数小于3个时，网络无法达到目标状态。比较发现控制节点数目越多，达到目标状态时间越短。
3.2 讨论牵制强度[d]对网络稳定性的影响
选择控制目标[（0，0，0）]，耦合强度[c=130]以及节点[l=1]固定不变，牵制强度[d]分别选取[5，10，30]，从而得到如下网络状态图（图2）。
根据上述网络状态可知，当耦合强度以及网络节点数固定时，牵制强度越大，网络达到目标状态越快，所用时间越短。
4 结论
本文研究了非线性复杂动态网络的牵引自适应同步问题。牵引脉冲控制策略因其只需控制一小部分节点就可以使整个动态网络达到同步而得到广泛研究。通过使用李雅普诺夫方法、数学分析方法以及脉冲系统的比较原理，得到了保证非线性动态网络同步标准。最终发现所得的标准与节点比例、脉冲强度、脉冲区间、时滞密切相关。
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