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所谓数学方法,就是解决数学问题的根本程序,是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂,数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程,当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃,从而上升为数学思想。所谓数学思想,就是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认识。初中数学的教育目的,就是要全面提高初中学生的数学素质,而加强数学思想方法的教学是增强学生的数学观念,形成良好数学素养的有效途径,因此,初中数学教学中重视数学思想方法的教学具有十分重要的意义。下面浅谈几点粗浅的认识。
1、在知识发生过程中渗透数学思想方法
由于初中学生数学知识比较贫乏,抽象思想能力也较为薄弱,把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体,把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机,重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程,知识的形成、发展过程,解决问题和规律的概括过程,使学生在这些过程中展开思维,从而发展他们的科学精神和创新意识,形成获取、发展新知识,运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程,一味灌输知识的结论,就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。数学概念既是数学思维的基础,又是数学思维的结果。所以概念教学不应简单给出定义,应当引导学生感受或领悟隐含于概念形成之中的数学思想。数学定理、公式、法则等结论都是具体的判断,而判断则可视为压缩了知识链。教学中要恰当地拉长这一知识链,引导学生参与结论的探索、发现、推导的过程,弄清每个结论的因果关系,探讨它与其他知识的关系,领悟引导思维活动的数学思想。例如有理数加法法则的教学,我们通过设计若干问题,有意识地渗透或再现一些重要的数学思想方法。在讨论两个有理数相加有多少种可能的情形中,渗透分类思想;在寻找各种具体的有理数运算的结果的规律中,渗透归纳、抽象概括思想;在“两个相反数相加得零”写在“异号两个数相加”的法则里,渗透特殊与一般思想。
2、在思维教学活动过程中,揭示数学思想方法
数学课堂教学必须充分暴露思维过程,让学生参与教学实践活动,揭示其中隐含的数学思想,才能有效地发展学生的数学思想,提高学生的数学素养,例如:用加减法解二元一次方程组的学习,可引导学生如下分析:
前面,我们学习了一种解二元一次方程组的方法——代入消元法,这种方法的基本思想是设法消去一个未知数,将“二元”转化为“一元”,从而使方程组得以求解。对于二元一次方程组,是否还有其他方法可以消去一个未知数,达到将“二元”转化为“一元”的目的呢?我们看下面的方程组:
可以看到,这个方程组的两个方程中,未知数y的系数一个是2,一个是-2,它们是互为相反数。如果把这两个方程左边与左边相加,右边与右边相加,就可以消去一个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解。
这样分析就把消元转化的思想介绍得非常清楚,学生学会分析的方法养成分析的习惯,便可以在分析中真正领会数学思想方法。
3、对不同类型的数学思想方法采取不同的教法
对于宏观型的数学思想方法,应着重让学生理解其思想实质,认识到它的重大作用。例如,对发现方法还应指出所得结果的偶然性,还需经过严格的论证;对有些类比应及时进行否定。对于逻辑型的思想方法,应着重讲清逻辑结构,注意正确使用逻辑推理形式。对于技巧型的数学思想方法,应着重阐述各种方法适用的问题类型,使用这种方法的技巧、操作程序,训练学生运用这类方法的能力
4、对不同类型的数学思想方法在解题中相结合使用。
初中数学中蕴含多种的数学思想方法,但最基本的数学思想方法是数形结合的思想,分类讨论思想、化归的思想、函数的思想。教学中需要注意这些思想方法结合传授,突出这些基本思想方法结合传授,就相当于抓住了中学数学知识的精髓。
下面以“数形结合与化归两种基本数学思想相结合的传授”为例,简要说明。
“化归”是转化和归结的简称。我们在处理和解决数学问题时,总的指导思想是把问题转化为能够解决的问题,这就是化归思想, 实质上就是一种转化的思想,它是分析问题解决问题的有效途径,是数学发现的重要策略和方法。有利于我们在解决问题的过程中思维通畅、方法得当,从而达到事半功倍的效果。在初中数学学习中运用这种化归的思维方法解决问题的例子非常多。例如,在代数学习中,方程求解时大多采用“化归”的思路,它是解决方程(组)问题的最基本的思想,其主要途径是降次和消元。在图形的变换学习中,均转化为最基本的點的变换知识来研究等。
一般地,人们把代数称为“数”,而把几何称为“形”,数与形表面看是相互独立,其实在一定条件下它们可以相互转化,数量问题可以转化为图形问题,图形问题也可以转化为数量问题。在数学教学中,由数想形,以形助数的数形结合思想,具有可以使问题直观呈现的优点,有利于加深学生对知识的识记和理解;在解答数学题时,数形结合,有利于学生分析题中数量之间的关系,丰富表象,引发联想,启迪思维,拓宽思路,迅速找到解决问题的方法,从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学,不仅能够提高学生数形转化能力,还可以提高学生迁移思维能力。
由此可见,以上两种基本数学思想经常在数学解题中相结合使用,教师不容忽视。在二次函数和图形的变换教学中,更应该达到“突出”的程度,这种意识要存于心中。例如,抛物线和的图像和性质的学习就是最典型的课例。不管是整合在一起的学习,还是分开的学习,都离不开图象的画法,因为离开了“形”就无法顺利学习。因此学生的动手操作是非常必要的,不能因为麻烦而简略。而在抛物线性质(开口方向、对称轴、顶点坐标、平移等)的获得上面,较多教师采取了探索讨论猜想的办法,向学生渗透数形结合思想,达到了突出的程度。然而,很多教师却忽略了化归思想在此的渗透。虽然借助了课件的动态效应,也总结了图象平移的规律(h正右移,h负左移;k正上移,k负下移),似乎学生掌握的情况也很好,达到了教学目标。殊不知时间一久情况又会如何呢?教师都需要琢磨一下才不会错,更何况是普通学生。图形的平移最终可以化归为点的平移,而抛物线的顶点就是最特殊的点,一切问题均可围绕此点做文章。首先让学生充分作图,描出顶点并写出坐标。学生通过观察讨论,顶点坐标与抛物线
中的h与k的关系,从而得出抛物线
这种形式的顶点坐标,顺利的得出对称轴,至于开口方向一带而过,不成问题。其次是根据顶点的平移特征来解决整条抛物线的平移特征。让学生牢牢抓住这种化归思想,结合抛物线的图象,来确定平移的方向与距离,使得问题就在这种最原始的、最为有效的通性通法中解决。
数学思想不可能向数学知识那样一步到位,它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。这一个过程中是从个别到一般,从具体到抽象,从感性到理性,从低级到高级的螺旋上升过程。在过程中,需要我们教师做一个“过程”的加强者,不断的用我们的数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中,不断的积累、不断的感悟、不断的明朗,直到最后的主动应用。
1、在知识发生过程中渗透数学思想方法
由于初中学生数学知识比较贫乏,抽象思想能力也较为薄弱,把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体,把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机,重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程,知识的形成、发展过程,解决问题和规律的概括过程,使学生在这些过程中展开思维,从而发展他们的科学精神和创新意识,形成获取、发展新知识,运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程,一味灌输知识的结论,就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。数学概念既是数学思维的基础,又是数学思维的结果。所以概念教学不应简单给出定义,应当引导学生感受或领悟隐含于概念形成之中的数学思想。数学定理、公式、法则等结论都是具体的判断,而判断则可视为压缩了知识链。教学中要恰当地拉长这一知识链,引导学生参与结论的探索、发现、推导的过程,弄清每个结论的因果关系,探讨它与其他知识的关系,领悟引导思维活动的数学思想。例如有理数加法法则的教学,我们通过设计若干问题,有意识地渗透或再现一些重要的数学思想方法。在讨论两个有理数相加有多少种可能的情形中,渗透分类思想;在寻找各种具体的有理数运算的结果的规律中,渗透归纳、抽象概括思想;在“两个相反数相加得零”写在“异号两个数相加”的法则里,渗透特殊与一般思想。
2、在思维教学活动过程中,揭示数学思想方法
数学课堂教学必须充分暴露思维过程,让学生参与教学实践活动,揭示其中隐含的数学思想,才能有效地发展学生的数学思想,提高学生的数学素养,例如:用加减法解二元一次方程组的学习,可引导学生如下分析:
前面,我们学习了一种解二元一次方程组的方法——代入消元法,这种方法的基本思想是设法消去一个未知数,将“二元”转化为“一元”,从而使方程组得以求解。对于二元一次方程组,是否还有其他方法可以消去一个未知数,达到将“二元”转化为“一元”的目的呢?我们看下面的方程组:
可以看到,这个方程组的两个方程中,未知数y的系数一个是2,一个是-2,它们是互为相反数。如果把这两个方程左边与左边相加,右边与右边相加,就可以消去一个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解。
这样分析就把消元转化的思想介绍得非常清楚,学生学会分析的方法养成分析的习惯,便可以在分析中真正领会数学思想方法。
3、对不同类型的数学思想方法采取不同的教法
对于宏观型的数学思想方法,应着重让学生理解其思想实质,认识到它的重大作用。例如,对发现方法还应指出所得结果的偶然性,还需经过严格的论证;对有些类比应及时进行否定。对于逻辑型的思想方法,应着重讲清逻辑结构,注意正确使用逻辑推理形式。对于技巧型的数学思想方法,应着重阐述各种方法适用的问题类型,使用这种方法的技巧、操作程序,训练学生运用这类方法的能力
4、对不同类型的数学思想方法在解题中相结合使用。
初中数学中蕴含多种的数学思想方法,但最基本的数学思想方法是数形结合的思想,分类讨论思想、化归的思想、函数的思想。教学中需要注意这些思想方法结合传授,突出这些基本思想方法结合传授,就相当于抓住了中学数学知识的精髓。
下面以“数形结合与化归两种基本数学思想相结合的传授”为例,简要说明。
“化归”是转化和归结的简称。我们在处理和解决数学问题时,总的指导思想是把问题转化为能够解决的问题,这就是化归思想, 实质上就是一种转化的思想,它是分析问题解决问题的有效途径,是数学发现的重要策略和方法。有利于我们在解决问题的过程中思维通畅、方法得当,从而达到事半功倍的效果。在初中数学学习中运用这种化归的思维方法解决问题的例子非常多。例如,在代数学习中,方程求解时大多采用“化归”的思路,它是解决方程(组)问题的最基本的思想,其主要途径是降次和消元。在图形的变换学习中,均转化为最基本的點的变换知识来研究等。
一般地,人们把代数称为“数”,而把几何称为“形”,数与形表面看是相互独立,其实在一定条件下它们可以相互转化,数量问题可以转化为图形问题,图形问题也可以转化为数量问题。在数学教学中,由数想形,以形助数的数形结合思想,具有可以使问题直观呈现的优点,有利于加深学生对知识的识记和理解;在解答数学题时,数形结合,有利于学生分析题中数量之间的关系,丰富表象,引发联想,启迪思维,拓宽思路,迅速找到解决问题的方法,从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学,不仅能够提高学生数形转化能力,还可以提高学生迁移思维能力。
由此可见,以上两种基本数学思想经常在数学解题中相结合使用,教师不容忽视。在二次函数和图形的变换教学中,更应该达到“突出”的程度,这种意识要存于心中。例如,抛物线和的图像和性质的学习就是最典型的课例。不管是整合在一起的学习,还是分开的学习,都离不开图象的画法,因为离开了“形”就无法顺利学习。因此学生的动手操作是非常必要的,不能因为麻烦而简略。而在抛物线性质(开口方向、对称轴、顶点坐标、平移等)的获得上面,较多教师采取了探索讨论猜想的办法,向学生渗透数形结合思想,达到了突出的程度。然而,很多教师却忽略了化归思想在此的渗透。虽然借助了课件的动态效应,也总结了图象平移的规律(h正右移,h负左移;k正上移,k负下移),似乎学生掌握的情况也很好,达到了教学目标。殊不知时间一久情况又会如何呢?教师都需要琢磨一下才不会错,更何况是普通学生。图形的平移最终可以化归为点的平移,而抛物线的顶点就是最特殊的点,一切问题均可围绕此点做文章。首先让学生充分作图,描出顶点并写出坐标。学生通过观察讨论,顶点坐标与抛物线
中的h与k的关系,从而得出抛物线
这种形式的顶点坐标,顺利的得出对称轴,至于开口方向一带而过,不成问题。其次是根据顶点的平移特征来解决整条抛物线的平移特征。让学生牢牢抓住这种化归思想,结合抛物线的图象,来确定平移的方向与距离,使得问题就在这种最原始的、最为有效的通性通法中解决。
数学思想不可能向数学知识那样一步到位,它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。这一个过程中是从个别到一般,从具体到抽象,从感性到理性,从低级到高级的螺旋上升过程。在过程中,需要我们教师做一个“过程”的加强者,不断的用我们的数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中,不断的积累、不断的感悟、不断的明朗,直到最后的主动应用。