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【摘 要】数形结合是一种重要的数学思想，它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于学生把握数学问题的本质。因此在高中数学教学中应该有效渗透数形结合思想，提高学生的思维能力和数学素养。本文结合自己的教学实践，阐述了如何使用教材对数形结合思想进行有效渗透，使学生逐步提高数形结合的能力。
【关键词】高中数学 数形结合 应用
“数形结合”就是以数学问题的条件和结论之间的内在联系为依据，在分析其代数意义的同时揭示其几何的直观意义的解决数学问题的方法。因此，“数形结合”这一数学方法的有效运用在高中数学教学中发挥着非常奇妙的巨大作用。数形结合思想其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性和形象性，使问题化难为易，化抽象为具体。数学思想方法很多，以下我结合自己的教学实践，以数形结合思想为例，谈谈我在教学中是如何使用教材使学生的数形结合能力逐步得到提高的。
一、利用直观图示理解抽象概念，体会数形结合的思想
在讲人教版必修1第一章集合的运算这一节时，由于学生刚接触集合这一概念，对集合之间的关系的理解感到困难，因此在教学过程中我做了如下处理。我先让学生试着从字面上理解“交”“并”“补”的含义，然后让他们利用维恩（Venn）图，从直观上感受“交”“并”“补”的意义，最后再以集合语言加以阐述，让学生从各个不同的角度体会集合的“交”“并”“补”运算，再次渗透数形结合的思想。
为了考查学生能否运用数形结合思想解决集合的有关问题，在本章的最后我出了一道这样的练习题：“某班有50名学生，先有32人参加电脑绘画比赛，后有24人参加电脑排版比赛，如果有3名学生这两项比赛都没参加，求这个班有多少同学同时参加了两项比赛？”从答题的结果来看，大部分学生都能运用维恩（Venn）图，以形助数，求出正确答案，对数形结合这一数学思想有了初步体会。
二、通过对函数解析式的代数分析，初步形成数形结合的思想
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法。因此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形和绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换。在解题中，我们应根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将形的信息全部转化成代数信息，削弱或消除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论。
三、数形结合在基本概念和基本原理讲解中的应用
高中数学新课程标准中指出：高中数学课程的目标之一是“使学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用”。随着时代和数学知识的发展，高中数学中的“双基”也在发生变化。例如统计、概率、导数、向量、算法等内容已成为高中数学的基础知识。对原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学。如立体几何的教学可以从不同视角展开。从整体到局部，从具体到抽象，从一般到特殊，而且应注意用向量方法（代数方法）处理有关问题；不等式教学要关注它的几何背景及应用；三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明……由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分挖掘它的教学功能和解题功能。新课标强调将一些核心概念和基本思想（如函数，空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）都要贯穿高中教学的始终。由于数学的高度抽象性，要注重体现概念的来龙去脉，在教学中要引导学生经历从具体实例中抽象出数学概念的过程。另外，新的高中数学课程将精选出代数、几何等基础知识综合为一门学科，这样做一是有利于精简数学内容；二是有利于数学各部分内容相互联系；三是有利于数学思想方法的相互渗透。新教材充实了平面向量和空间向量 ，这些改革都有利于“形”与“数”的结合。
四、数形结合思想在解析几何中的应用
解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的。
例、若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，求k的取值范围。
解：曲线x=是单位圆x2+y2=1的右半圆（x≥0）， k是直线y=x+k在y轴上的截距。由数形结合知：直线与曲线相切时，k=-，由图形：可得k=-，或-1 学生要真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，所以我们要引导学生认真上好每一堂课，深入学习新教材的系统知识，掌握各种函数的图象特点，理解各种几何图形的性质。
有效的“数形结合”方法的运用，往往会使复杂问题简单化、抽象问题直观化，从而达到优化解题途径的目的。数形结合的解题思想方法，其本质是“数”与“形”之间的相互转换。“数形结合”就是以数学问题的条件和结论之间的内在联系为依据，在分析其代数意义的同时揭示其几何的直观意义的解决数学问题的方法。从而使数量间的空间形式的直观形象和代数数据的精确和谐并巧妙的相结合。教师要认真研究教材，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，逐步渗透数形结合的思想，让学生养成数形结合的良好习惯，使它成为分析问题、解决问题的工具。
【关键词】高中数学 数形结合 应用
“数形结合”就是以数学问题的条件和结论之间的内在联系为依据，在分析其代数意义的同时揭示其几何的直观意义的解决数学问题的方法。因此，“数形结合”这一数学方法的有效运用在高中数学教学中发挥着非常奇妙的巨大作用。数形结合思想其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性和形象性，使问题化难为易，化抽象为具体。数学思想方法很多，以下我结合自己的教学实践，以数形结合思想为例，谈谈我在教学中是如何使用教材使学生的数形结合能力逐步得到提高的。
一、利用直观图示理解抽象概念，体会数形结合的思想
在讲人教版必修1第一章集合的运算这一节时，由于学生刚接触集合这一概念，对集合之间的关系的理解感到困难，因此在教学过程中我做了如下处理。我先让学生试着从字面上理解“交”“并”“补”的含义，然后让他们利用维恩（Venn）图，从直观上感受“交”“并”“补”的意义，最后再以集合语言加以阐述，让学生从各个不同的角度体会集合的“交”“并”“补”运算，再次渗透数形结合的思想。
为了考查学生能否运用数形结合思想解决集合的有关问题，在本章的最后我出了一道这样的练习题：“某班有50名学生，先有32人参加电脑绘画比赛，后有24人参加电脑排版比赛，如果有3名学生这两项比赛都没参加，求这个班有多少同学同时参加了两项比赛？”从答题的结果来看，大部分学生都能运用维恩（Venn）图，以形助数，求出正确答案，对数形结合这一数学思想有了初步体会。
二、通过对函数解析式的代数分析，初步形成数形结合的思想
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法。因此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形和绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换。在解题中，我们应根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将形的信息全部转化成代数信息，削弱或消除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论。
三、数形结合在基本概念和基本原理讲解中的应用
高中数学新课程标准中指出：高中数学课程的目标之一是“使学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用”。随着时代和数学知识的发展，高中数学中的“双基”也在发生变化。例如统计、概率、导数、向量、算法等内容已成为高中数学的基础知识。对原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学。如立体几何的教学可以从不同视角展开。从整体到局部，从具体到抽象，从一般到特殊，而且应注意用向量方法（代数方法）处理有关问题；不等式教学要关注它的几何背景及应用；三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明……由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分挖掘它的教学功能和解题功能。新课标强调将一些核心概念和基本思想（如函数，空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）都要贯穿高中教学的始终。由于数学的高度抽象性，要注重体现概念的来龙去脉，在教学中要引导学生经历从具体实例中抽象出数学概念的过程。另外，新的高中数学课程将精选出代数、几何等基础知识综合为一门学科，这样做一是有利于精简数学内容；二是有利于数学各部分内容相互联系；三是有利于数学思想方法的相互渗透。新教材充实了平面向量和空间向量 ，这些改革都有利于“形”与“数”的结合。
四、数形结合思想在解析几何中的应用
解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的。
例、若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，求k的取值范围。
解：曲线x=是单位圆x2+y2=1的右半圆（x≥0）， k是直线y=x+k在y轴上的截距。由数形结合知：直线与曲线相切时，k=-，由图形：可得k=-，或-1
有效的“数形结合”方法的运用，往往会使复杂问题简单化、抽象问题直观化，从而达到优化解题途径的目的。数形结合的解题思想方法，其本质是“数”与“形”之间的相互转换。“数形结合”就是以数学问题的条件和结论之间的内在联系为依据，在分析其代数意义的同时揭示其几何的直观意义的解决数学问题的方法。从而使数量间的空间形式的直观形象和代数数据的精确和谐并巧妙的相结合。教师要认真研究教材，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，逐步渗透数形结合的思想，让学生养成数形结合的良好习惯，使它成为分析问题、解决问题的工具。