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【摘要】高三数学复习课中，往往存在：老师讲解多，学生思考少；一问一答多，研讨交流少；操练记忆多，鼓励创新少；强求一致多，发展个性少；照本宣科多，智力活动少；显性内容多，隐性内容少；应付任务多，精神乐趣少等现象。通过变式教学，使一题多解、一题多变，唤起学生的好奇心和求知欲，由浅入深、体现梯度、形成系统，把知识从一个问题迁移到另一个问题，从而达到举一反三，触类旁通之效果。使不同程度的学生都有所发展。
【关键词】高三复习课 变式教学 一题多解 一题多变
高三数学复习课中，往往存在：老师讲解多，学生思考少；一问一答多，研讨交流少；操练记忆多，鼓励创新少；强求一致多，发展个性少；照本宣科多，智力活动少；显性内容多，隐性内容少；应付任务多，精神乐趣少等现象。由于缺乏新信息刺激，学生思维难以兴奋，成了解题的机器，发散思维受到了抑制，好奇心、想象力和创新能力逐渐削弱，复习效果可想而知。为了克服以上弊端，高三复习笔者尝试了变式教学。
所谓数学变式教学练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法。通过变式教学，使一题多解、一题多变、一题多思，唤起学生的好奇心和求知欲，由浅入深、体现梯度、形成系统，把知识从一个问题迁移到另一个问题，从而达到举一反三，触类旁通之效果。使不同程度的学生都有所发展。
1.一题多解，触类旁通
例：已知x+2y=1，求x2+y2的最小值。
本题分析时，侧重引导学生从方程、函数、数形结合等不同的角度去思索、探讨，得到了以下解法：
解法一（利用方程的思想）：
设x2+y2=t ，∵x,y 满足x+2y=1，∴由方程组x+2y=1x2+y2=t ，
得5y2-4y+1-t=0。要使方程组有解，必须△≥ 0，即16-20（1-t）≥0 ，
∴t≥15 ，∴x2+y2 的最小值是 15
解法二（利用函数的思想）：
设t=x2+y2 ，∵x+2y=1 ，∴x=1-2y，
∴t=x2+y2=(1-2y)2+y2=5y2-4y+1=5(y-25) 2+15，
∴x2+y2 的最小值是15
解法三（利用数形结合的思想）：
由x2+y2=((x-0)2+(y-0)2) ，可知求x2+y2的最小值就转化为求直线x+2y=1上的一点到原点的距离的最小值，即求原点到直线的距离。
∴(x-0)2+(y-0)2=|0+2×0-1|5=15 ，
∴x2+y2=15 ，即x2+y2 的最小值是15 。
解法四（还是利用数形结合的思想）：
设x2+y2=a2，∵x2+y2=a2 的图像是以原点为圆心，a为半径的圆，而这个圆必须与直线x+2y=1有交点，只有当圆x2+y2=a2与直线x+2y+1相切时，圆的半径a取得最小值，则a2也最小，即x2+y2的值最小，
∴求x2+y2 的最小值就转化为求直线x+2y=1与圆x2+y2=a2相切时，圆的半径a的大小，因此半径的大小就是原点到直线x+2y=1的距离。
∴a=|0+2×0-1|5=15 ，∴x2+y2=a2=15 ，即x2+y2的最小值是15 。
这里解法三与解法四最终都落在求原点到直线x+2y=1的距离，但思维的角度不同，所用的知识也不同。从而有利于开阔学生的思路，也有利于学生创造性思维的培养。
通过一题多解的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路。使不同的知识得以综合运用，并能从多种解法的对比中优选最佳解法，总结解题规律，使分析问题、解决问题的能力提高，使思维的发散性和创新性增强。
2.一题多变，横向联想
例：画出函数y=x2-5x-6的图象，并根据图象说出函数y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上函数y=f(x)是增函数是减函数。
2.1 条件特殊化。
条件特殊化是指将原题中一般条件，改为具有特定性的条件，使题目具有特殊性。将课本习题条件特殊化，引导学生挖掘条件,考察特定概念。例如，将原题改为：
变式1：画出函数y=|x2-5x-6|的图象，并根据图象说出函数y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上函数y=f(x)是增函数是减函数。
这不仅考察了绝对值的概念,也考察了解一元二次方程，这符合由一般到特殊的认识规律，学生容易接受。
2.2 改变背景。
改变背景是指在某些条件不变的情况下，改变另一些条件的形式，使问题得到进一步深化。在教学过程中，变换习题的形式，可激发学生的探求欲望，从而提高学生的创新能力。例如，将原题改为：
变式2：画出函数y=x2-5|x|-6的图象，并根据图象说出函数y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上函数y=f(x)是增函数是减函数。
这样变式不仅考察了函数的图象，而且考察了偶函数的定义和性质；
变式3：求函数y=x2-5|x|-6在区间［-3,5］ 上的最值。
变式4：求函数y=log(x2-5x-6)2 单调区间。
这样的变式练习，学生可以画图得出，也可以通过数学方法得出，通过这样的练习一定能提高学生学习数学的兴趣，且能巩固基础知识，熟练常规解题，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维。从而达到教学目的。
在高三数学复习中，我们可以通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，改变以往“老师讲解多、学生思考少，一问一答多、交流少，记忆多、操作少……”的现象；运用变式教学的观点，我们可以对教学中定理、命题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，采用“一题多解”、“一题多变”的方法进行教学设计。这样的教学集知识性与趣味性于一体，不仅能使学生看到事物的表象，更能让他们自觉地探索事物的本质，使他们明白复杂问题都是从简单转变而来的，消除了学生们的定势思维和学习数学的畏难情绪，同时也提高了学生的数学研究和创新能力，使学生真正系统全面地复习好高中数学知识。
【关键词】高三复习课 变式教学 一题多解 一题多变
高三数学复习课中，往往存在：老师讲解多，学生思考少；一问一答多，研讨交流少；操练记忆多，鼓励创新少；强求一致多，发展个性少；照本宣科多，智力活动少；显性内容多，隐性内容少；应付任务多，精神乐趣少等现象。由于缺乏新信息刺激，学生思维难以兴奋，成了解题的机器，发散思维受到了抑制，好奇心、想象力和创新能力逐渐削弱，复习效果可想而知。为了克服以上弊端，高三复习笔者尝试了变式教学。
所谓数学变式教学练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法。通过变式教学，使一题多解、一题多变、一题多思，唤起学生的好奇心和求知欲，由浅入深、体现梯度、形成系统，把知识从一个问题迁移到另一个问题，从而达到举一反三，触类旁通之效果。使不同程度的学生都有所发展。
1.一题多解，触类旁通
例：已知x+2y=1，求x2+y2的最小值。
本题分析时，侧重引导学生从方程、函数、数形结合等不同的角度去思索、探讨，得到了以下解法：
解法一（利用方程的思想）：
设x2+y2=t ，∵x,y 满足x+2y=1，∴由方程组x+2y=1x2+y2=t ，
得5y2-4y+1-t=0。要使方程组有解，必须△≥ 0，即16-20（1-t）≥0 ，
∴t≥15 ，∴x2+y2 的最小值是 15
解法二（利用函数的思想）：
设t=x2+y2 ，∵x+2y=1 ，∴x=1-2y，
∴t=x2+y2=(1-2y)2+y2=5y2-4y+1=5(y-25) 2+15，
∴x2+y2 的最小值是15
解法三（利用数形结合的思想）：
由x2+y2=((x-0)2+(y-0)2) ，可知求x2+y2的最小值就转化为求直线x+2y=1上的一点到原点的距离的最小值，即求原点到直线的距离。
∴(x-0)2+(y-0)2=|0+2×0-1|5=15 ，
∴x2+y2=15 ，即x2+y2 的最小值是15 。
解法四（还是利用数形结合的思想）：
设x2+y2=a2，∵x2+y2=a2 的图像是以原点为圆心，a为半径的圆，而这个圆必须与直线x+2y=1有交点，只有当圆x2+y2=a2与直线x+2y+1相切时，圆的半径a取得最小值，则a2也最小，即x2+y2的值最小，
∴求x2+y2 的最小值就转化为求直线x+2y=1与圆x2+y2=a2相切时，圆的半径a的大小，因此半径的大小就是原点到直线x+2y=1的距离。
∴a=|0+2×0-1|5=15 ，∴x2+y2=a2=15 ，即x2+y2的最小值是15 。
这里解法三与解法四最终都落在求原点到直线x+2y=1的距离，但思维的角度不同，所用的知识也不同。从而有利于开阔学生的思路，也有利于学生创造性思维的培养。
通过一题多解的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路。使不同的知识得以综合运用，并能从多种解法的对比中优选最佳解法，总结解题规律，使分析问题、解决问题的能力提高，使思维的发散性和创新性增强。
2.一题多变，横向联想
例：画出函数y=x2-5x-6的图象，并根据图象说出函数y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上函数y=f(x)是增函数是减函数。
2.1 条件特殊化。
条件特殊化是指将原题中一般条件，改为具有特定性的条件，使题目具有特殊性。将课本习题条件特殊化，引导学生挖掘条件,考察特定概念。例如，将原题改为：
变式1：画出函数y=|x2-5x-6|的图象，并根据图象说出函数y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上函数y=f(x)是增函数是减函数。
这不仅考察了绝对值的概念,也考察了解一元二次方程，这符合由一般到特殊的认识规律，学生容易接受。
2.2 改变背景。
改变背景是指在某些条件不变的情况下，改变另一些条件的形式，使问题得到进一步深化。在教学过程中，变换习题的形式，可激发学生的探求欲望，从而提高学生的创新能力。例如，将原题改为：
变式2：画出函数y=x2-5|x|-6的图象，并根据图象说出函数y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上函数y=f(x)是增函数是减函数。
这样变式不仅考察了函数的图象，而且考察了偶函数的定义和性质；
变式3：求函数y=x2-5|x|-6在区间［-3,5］ 上的最值。
变式4：求函数y=log(x2-5x-6)2 单调区间。
这样的变式练习，学生可以画图得出，也可以通过数学方法得出，通过这样的练习一定能提高学生学习数学的兴趣，且能巩固基础知识，熟练常规解题，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维。从而达到教学目的。
在高三数学复习中，我们可以通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，改变以往“老师讲解多、学生思考少，一问一答多、交流少，记忆多、操作少……”的现象；运用变式教学的观点，我们可以对教学中定理、命题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，采用“一题多解”、“一题多变”的方法进行教学设计。这样的教学集知识性与趣味性于一体，不仅能使学生看到事物的表象，更能让他们自觉地探索事物的本质，使他们明白复杂问题都是从简单转变而来的，消除了学生们的定势思维和学习数学的畏难情绪，同时也提高了学生的数学研究和创新能力，使学生真正系统全面地复习好高中数学知识。