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摘 要：新课标把几何直观和空间观念这两个核心词融入核心素养中，明确指出在小学数学教学中要重点培养学生的几何直观能力，发展学生的空间观念，提升学生的核心素养。在小学数学教学中，可借助几何画板这一款现代最智能的数学专用课件制作软件，善用几何画板，掌握几何画板的实用功能，在此基础上进行巧妙运用，可以大大提升小学生的“几何直观”这一数学核心素养。
关键词：小学数学;几何画板;核心素养;几何直观
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2019-06-24 文章编号：1674-120X（2019）33-0076-03
一、善用：培养几何直观
目前，几何画板在中学数学教学中被广泛使用，但在小学数学教学中还不够流行。或许是因为许多教师先学会了PPT，而后才接触几何画板，缺乏使用几何画板的能力，抑或部分教师认为不使用几何画板，其他软件照样也可以制作出好的数学课件。但是，近几年，笔者在外出听课的过程中发现，几何画板应用得越来越多了，效果也比PPT好一些，功能更加强大，特别是在一些创新教学点上。软件再强大，如果不会用，也发挥不了优势。故，会用是前提。那么，此款软件有哪些优于同类软件的功能呢？
（一）以生为本，自主操作
新课标指出，教学是教与学之间的互动。与其他多媒体软件相比，几何画板有个强大的功能，即在动态的过程中仍然可以保持几何关系不变。利用这一优点，教师可以引导学生自主操作，有效实现人机互动。像其他多媒体软件都是事先设定，若遇现场生成的数据，操作较为麻烦。
如图1，三角形的顶点和底边分别在两条平行线上，顶点和底边之间有一条高，学生可以自主操作，用鼠标拖动顶点。左右拖动几次后，教师可引导学生观察，并说说自己的发现。通过亲身操作、亲眼所见、直观体验，学生会发现等底等高的三角形是可以有很多种形状的，底边上的高可以在三角形内部，也可以在三角形外部，尽管形状一直在变，但由于三角形的底和高不变，所以面积始终相同。学生体会了变与不变的数学思想。学生的自主操作，让索然无味的数学变得生动活泼，抽象难明的知识变得直观形象。小学生年龄小，数学思维尚未形成，空间观念淡薄，立体感欠缺，加上传统的PPT播放模式形式单一，无法有效地锻炼学生的思维能力，导致小学数学教学效率不高。
实践证明，这款专门为数学而生的专业软件，不仅具有PPT的所有功能，而且更加专业，既适用于“几何与图形”，也适用于“数与代数”“统计与概率”“综合与实践”等知识，更适用于电子白板之类的新型课堂，能大大地满足小学数学教学的需求，尤其是在培养学生“几何直观”这一数学核心素养方面更有显著的效果。
（二）输入参数，自动生成
几何画板优于其他软件，允许用户设置系统参数并实时测量和显示准确的数据。小学数学教师经常需要绘制大小适宜、比例得当的几何图形，而几何画板就是最好的作图工具。在几何画板里，可以知道所画图形的各项准确数据。
如图2，可以知道平行四边形对边的长短、角度的大小，在试卷命制时，可以在几何画板中事先编辑好图形，再插入Word文档中，保证图形的真实性。不仅如此，要想改变图形的形状与大小，几何画板参数功能也能迅速显示最新测量数据。又如图3，在教学“推导圆的面积公式”时，教师根据教材安排，让学生动手剪一剪、拼一拼，但平均分为4份、8份、16份的就很难手工操作了，如果使用PPT，也要耗费很多时间才能做出剪拼的动画效果。若利用几何画板中的“迭代”功能，可以轻轻松松将圆平均分成若干份，还可以在现场由学生自主输入参数，自动生成对应的扇形的任意等分。学生会见证奇妙的现象，体会随着等分的份数越多、扇形数量的增加，形成的图形会越来越接近矩形，甚至圆形也可以改变大小，从而渗透极限的数学思想。
二、实用：发展空间观念
新课标指出，在图形与几何的学习领域，应借助直观的、可感知的空间世界，通过多种方式发展学生的空间观念。几何图形是非常抽象的，而几何画板软件在制作动态几何方面的功能非常强大。若能掌握这些实用的功能，凸显直观教学，便可以有效发展学生的空间观念。
（一）化静态为动态，突破知识难点
在过去的教学经验中，笔者经常花费大量的时间和精力来突出关键点，并突破困难点。即便如此，学生仍然没有深刻的印象，甚至有时会感到恐惧或无聊。如果能把静态、抽象的情境变换成学生能看、能调的动态情境，让学生在直观体验中理解和应用，学生的空间观念将自然生长。
如图4所示，计算出边长为4cm的矩形内涂色部分的面积。题目一出示，明显能感觉到此题对学生来说，难度巨大。此时，若借助几何画板，化靜态为动态，通过旋转功能，把4块阴影部分旋转到正方形的4个角落处，就可以发现中间空白部分形成了一个圆，学生很容易直观理解，只需使用“大区域面积-圆形区域=涂色区域”的公式就可求出面积。此类题型，若都能化静为动，长此以往，学生便能自主积累活动经验，即使是空间想象能力较弱的学生，数学能力也不会太低。
（二）化抽象为具体，演绎有效课堂
小学生的数学思维具有强烈的特定形象，新课标表明，“数形组合”是培养学生逻辑思维和形象思维的最佳途径。充分利用几何画板的动态演示功能，能将抽象知识形象化，充分调动学生的学习兴趣，演绎有效课堂。
如图5所示，当教授“带小数”时，理解小数的含义是本课最难的部分。通过几何画板制作如下课件，可以做到数形结合，化抽象为具体。学生通过独立操作，改变小数的大小并反复察觉：小数的变化导致阴影区域的变化。在这种情绪体验和认知实践中，学生已经积累了丰富的表征，建立了思考的起点。
（三）化平面为空间，搭建想象桥梁
几何画板除了具备其他多媒体课件拥有的平移、旋转功能，还增加了叠加、渐变、缩放与迭代等动态效果，可以清晰呈现平面转化为空间的过程，为学生搭建想象的桥梁。 小学数学内容中的“观察物体”部分，不管对哪个学段的学生都是非常有难度的。但是使用“几何画板”软件，可以化静态的平面图形为动态的三维图形，再引导学生从不同角度（正面、侧面、顶部）观察立方体的三维图形就显得容易许多。如图6，对低年级学生而言，准确地数出个数是有一定难度的，动手拼搭也是一种方式。当然，若先让学生数个数，再通过“缩放”功能进行个数验证，既能使学生在直观的体验中观察三维图形的数量，减少空间想象的难度，又能增加其学习数学的兴趣。
三、妙用：构建知识表象
小学数学的图形部分有许多知识点，利用PPT课件也很难为学生提供深刻的直观体验，知识表象难以构建。这个名为几何画板的软件一被推出，就被称为21世纪的动态几何。顾名思义，这款软件是为几何而生的，笔者认为，若能在问题的重点处、关键处、难点处妙用几何画板，可以帮助学生深刻构建知识表象，有效彰显其作用。
（一）追寻轨迹，印证猜想
笔者在引导学生理解“由面到体”时，让学生自主创造发明圆柱体，一学生提出把一张圆形纸上下平移或者立着从左到右平移获得圆柱。准确地说，是平移过程中通过的空间大小。笔者认为，此时如果仅仅是语言解释、动手绘制或者PPT动态演示，想象能力较弱的学生肯定无法深刻理解，而实物操作又难以呈现平移的轨迹。使用几何画板软件，可以呈现圆形纸的运动轨迹，很好地解决了这个难题。（如图7）之后引导学生类推想象“如果这个面是三角形、长方形、正方形，平移过程中通过的空间大小是什么形状呢？除此之外，若是旋转呢？”学生不难理解矩形旋转一个圆圈得到一个圆柱体，三角形旋转一周得到一个圆锥体。呈现轨迹，学生轻松理解了图形变化前后的关系。动态几何直观教学，让教学达到事半功倍的效果。
（二）即时演示，见证奇妙
大多数多媒体课件在交互性和即时性方面都很弱，常常只能按照预先设计好的教学设计进行反馈，如果课堂出现预设不全的生成，无法即时演示，就会留下很多遗憾。几何画板有很强大的即时性。课件预设可以根据学生的情况或在现场或在课堂上进行，或者学生可以自己进行更改。几何画板可以在动图中即时更改，这是其他教学软件无法超越的。如图8，笔者在学习刘德武老师执教的与圆周有关的问题时，让学生想想正方形是否可以通过旋转和平移变成右边的花瓶，学生觉得非常不可思议。借助几何画板，把正方形旋转，做一个内切圆，把左右下的三个角拉到瓶口，旋转，就成了花瓶。学生亲眼见证奇妙的变化过程，各个拍手叫绝。
四、精用：体验数学之美
几何画板是为教学目标服务的，本着有利于教学目标的实现的目的而使用，切忌为了使用而使用。在小学数学教学中，若能精用几何画板，则可以让学生体验数学形体的美感，还能增强数学思维的美感。
（一）视觉刺激，体验形体之美
数学之美不仅有著名的黄金分割所带来的美，也有古埃及金字塔、翻译和对称之美。通过百度或许也能下载到很美的图片插入PPT中，但图片毕竟是静止不变的，没有动态生成的效果，无法看到形体美的数学图形是如何形成的。应用几何画板的“迭代”“平移”“旋转”等功能，即可轻松勾勒出这些美的图形。如图9，通过旋转等边三角形，即可得到美的图案。还可以把三角形换成正方形、线段，这样也可以获得旋转类似的效果图。此外，还可以用迭代的方法制作勾股数、分行草等，虽然这些与小学数学没有必然的联系，但利用视觉刺激，让小学生早点体验数学的形体之美，照样可以引发学生的学习内驱力，提高其核心素养。
（二）模拟随机，强化思维之美
这款从美国引进的几何画板，不仅适用于几何领域，在“综合实践”领域也有发挥的空间。都说数学本身是一门试验科学，在小学数学教材中有大量的模拟试验，如掷硬币、掷骰子等有关可能性大小的案例，这些均可以应用几何画板，让学生亲自经历统计的全过程。如统计可能性事件出现的次数，借助几何画板进行验证试验，在此基础上，让学生通过观察数据，去发现隐藏在数据背后的规律。如图10所示，通过“打电话”，学生可以创建一个验证体验的机会，一边想象，一边在几何画板上进行实验，验证思路，这打破传统教师讲，学生听、模仿记忆的教学模式，而改为进行实验—观察分析—得出结论的新型教学模式。学生从静态的眼光认识几何，从动态的思维去辨识几何，学习变成了一个创造性的过程。
五、结语
综上所述，通过课题研究，笔者深刻感受到，幾何画板作为新型的教学软件，为小学数学教学提供了极大的便利，尤其在几何初步知识的教学中大有用武之地。但医学界有句话：“妙用治病，滥用致病，误用致命。”虽然几何画板不是药，但道理是相通的，善用是前提，实用是根本，妙用是目标，精用是固本。若能将几何画板应用到小学数学教学中，确保正确操作，以“妙”用为宜，“滥”用为忌，那么，几何画板将在小学数学教学中发挥更强大的功能，培养学生的几何直观和空间观念，提高学生的核心素养。
参考文献：
[1]朱滇生.几何画板与小学数学[M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]陶维林.几何画板实用范例教程[M].北京：清华大学出版社，2008.
[3]邵新虎，王凤进，罗新展.利用几何画板探究数学问题[M].北京：北京师范大学出版社，2016.
[4]曹爱婷.几何画板在小学数学教学中的应用研究[D].杭州：杭州师范大学，2016.
[5]钟梨花. 几何画板辅助小学数学课堂教学的应用研究[J]. 小学教学研究（教研版），2018（5）：73-74.
关键词：小学数学;几何画板;核心素养;几何直观
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2019-06-24 文章编号：1674-120X（2019）33-0076-03
一、善用：培养几何直观
目前，几何画板在中学数学教学中被广泛使用，但在小学数学教学中还不够流行。或许是因为许多教师先学会了PPT，而后才接触几何画板，缺乏使用几何画板的能力，抑或部分教师认为不使用几何画板，其他软件照样也可以制作出好的数学课件。但是，近几年，笔者在外出听课的过程中发现，几何画板应用得越来越多了，效果也比PPT好一些，功能更加强大，特别是在一些创新教学点上。软件再强大，如果不会用，也发挥不了优势。故，会用是前提。那么，此款软件有哪些优于同类软件的功能呢？
（一）以生为本，自主操作
新课标指出，教学是教与学之间的互动。与其他多媒体软件相比，几何画板有个强大的功能，即在动态的过程中仍然可以保持几何关系不变。利用这一优点，教师可以引导学生自主操作，有效实现人机互动。像其他多媒体软件都是事先设定，若遇现场生成的数据，操作较为麻烦。
如图1，三角形的顶点和底边分别在两条平行线上，顶点和底边之间有一条高，学生可以自主操作，用鼠标拖动顶点。左右拖动几次后，教师可引导学生观察，并说说自己的发现。通过亲身操作、亲眼所见、直观体验，学生会发现等底等高的三角形是可以有很多种形状的，底边上的高可以在三角形内部，也可以在三角形外部，尽管形状一直在变，但由于三角形的底和高不变，所以面积始终相同。学生体会了变与不变的数学思想。学生的自主操作，让索然无味的数学变得生动活泼，抽象难明的知识变得直观形象。小学生年龄小，数学思维尚未形成，空间观念淡薄，立体感欠缺，加上传统的PPT播放模式形式单一，无法有效地锻炼学生的思维能力，导致小学数学教学效率不高。
实践证明，这款专门为数学而生的专业软件，不仅具有PPT的所有功能，而且更加专业，既适用于“几何与图形”，也适用于“数与代数”“统计与概率”“综合与实践”等知识，更适用于电子白板之类的新型课堂，能大大地满足小学数学教学的需求，尤其是在培养学生“几何直观”这一数学核心素养方面更有显著的效果。
（二）输入参数，自动生成
几何画板优于其他软件，允许用户设置系统参数并实时测量和显示准确的数据。小学数学教师经常需要绘制大小适宜、比例得当的几何图形，而几何画板就是最好的作图工具。在几何画板里，可以知道所画图形的各项准确数据。
如图2，可以知道平行四边形对边的长短、角度的大小，在试卷命制时，可以在几何画板中事先编辑好图形，再插入Word文档中，保证图形的真实性。不仅如此，要想改变图形的形状与大小，几何画板参数功能也能迅速显示最新测量数据。又如图3，在教学“推导圆的面积公式”时，教师根据教材安排，让学生动手剪一剪、拼一拼，但平均分为4份、8份、16份的就很难手工操作了，如果使用PPT，也要耗费很多时间才能做出剪拼的动画效果。若利用几何画板中的“迭代”功能，可以轻轻松松将圆平均分成若干份，还可以在现场由学生自主输入参数，自动生成对应的扇形的任意等分。学生会见证奇妙的现象，体会随着等分的份数越多、扇形数量的增加，形成的图形会越来越接近矩形，甚至圆形也可以改变大小，从而渗透极限的数学思想。
二、实用：发展空间观念
新课标指出，在图形与几何的学习领域，应借助直观的、可感知的空间世界，通过多种方式发展学生的空间观念。几何图形是非常抽象的，而几何画板软件在制作动态几何方面的功能非常强大。若能掌握这些实用的功能，凸显直观教学，便可以有效发展学生的空间观念。
（一）化静态为动态，突破知识难点
在过去的教学经验中，笔者经常花费大量的时间和精力来突出关键点，并突破困难点。即便如此，学生仍然没有深刻的印象，甚至有时会感到恐惧或无聊。如果能把静态、抽象的情境变换成学生能看、能调的动态情境，让学生在直观体验中理解和应用，学生的空间观念将自然生长。
如图4所示，计算出边长为4cm的矩形内涂色部分的面积。题目一出示，明显能感觉到此题对学生来说，难度巨大。此时，若借助几何画板，化靜态为动态，通过旋转功能，把4块阴影部分旋转到正方形的4个角落处，就可以发现中间空白部分形成了一个圆，学生很容易直观理解，只需使用“大区域面积-圆形区域=涂色区域”的公式就可求出面积。此类题型，若都能化静为动，长此以往，学生便能自主积累活动经验，即使是空间想象能力较弱的学生，数学能力也不会太低。
（二）化抽象为具体，演绎有效课堂
小学生的数学思维具有强烈的特定形象，新课标表明，“数形组合”是培养学生逻辑思维和形象思维的最佳途径。充分利用几何画板的动态演示功能，能将抽象知识形象化，充分调动学生的学习兴趣，演绎有效课堂。
如图5所示，当教授“带小数”时，理解小数的含义是本课最难的部分。通过几何画板制作如下课件，可以做到数形结合，化抽象为具体。学生通过独立操作，改变小数的大小并反复察觉：小数的变化导致阴影区域的变化。在这种情绪体验和认知实践中，学生已经积累了丰富的表征，建立了思考的起点。
（三）化平面为空间，搭建想象桥梁
几何画板除了具备其他多媒体课件拥有的平移、旋转功能，还增加了叠加、渐变、缩放与迭代等动态效果，可以清晰呈现平面转化为空间的过程，为学生搭建想象的桥梁。 小学数学内容中的“观察物体”部分，不管对哪个学段的学生都是非常有难度的。但是使用“几何画板”软件，可以化静态的平面图形为动态的三维图形，再引导学生从不同角度（正面、侧面、顶部）观察立方体的三维图形就显得容易许多。如图6，对低年级学生而言，准确地数出个数是有一定难度的，动手拼搭也是一种方式。当然，若先让学生数个数，再通过“缩放”功能进行个数验证，既能使学生在直观的体验中观察三维图形的数量，减少空间想象的难度，又能增加其学习数学的兴趣。
三、妙用：构建知识表象
小学数学的图形部分有许多知识点，利用PPT课件也很难为学生提供深刻的直观体验，知识表象难以构建。这个名为几何画板的软件一被推出，就被称为21世纪的动态几何。顾名思义，这款软件是为几何而生的，笔者认为，若能在问题的重点处、关键处、难点处妙用几何画板，可以帮助学生深刻构建知识表象，有效彰显其作用。
（一）追寻轨迹，印证猜想
笔者在引导学生理解“由面到体”时，让学生自主创造发明圆柱体，一学生提出把一张圆形纸上下平移或者立着从左到右平移获得圆柱。准确地说，是平移过程中通过的空间大小。笔者认为，此时如果仅仅是语言解释、动手绘制或者PPT动态演示，想象能力较弱的学生肯定无法深刻理解，而实物操作又难以呈现平移的轨迹。使用几何画板软件，可以呈现圆形纸的运动轨迹，很好地解决了这个难题。（如图7）之后引导学生类推想象“如果这个面是三角形、长方形、正方形，平移过程中通过的空间大小是什么形状呢？除此之外，若是旋转呢？”学生不难理解矩形旋转一个圆圈得到一个圆柱体，三角形旋转一周得到一个圆锥体。呈现轨迹，学生轻松理解了图形变化前后的关系。动态几何直观教学，让教学达到事半功倍的效果。
（二）即时演示，见证奇妙
大多数多媒体课件在交互性和即时性方面都很弱，常常只能按照预先设计好的教学设计进行反馈，如果课堂出现预设不全的生成，无法即时演示，就会留下很多遗憾。几何画板有很强大的即时性。课件预设可以根据学生的情况或在现场或在课堂上进行，或者学生可以自己进行更改。几何画板可以在动图中即时更改，这是其他教学软件无法超越的。如图8，笔者在学习刘德武老师执教的与圆周有关的问题时，让学生想想正方形是否可以通过旋转和平移变成右边的花瓶，学生觉得非常不可思议。借助几何画板，把正方形旋转，做一个内切圆，把左右下的三个角拉到瓶口，旋转，就成了花瓶。学生亲眼见证奇妙的变化过程，各个拍手叫绝。
四、精用：体验数学之美
几何画板是为教学目标服务的，本着有利于教学目标的实现的目的而使用，切忌为了使用而使用。在小学数学教学中，若能精用几何画板，则可以让学生体验数学形体的美感，还能增强数学思维的美感。
（一）视觉刺激，体验形体之美
数学之美不仅有著名的黄金分割所带来的美，也有古埃及金字塔、翻译和对称之美。通过百度或许也能下载到很美的图片插入PPT中，但图片毕竟是静止不变的，没有动态生成的效果，无法看到形体美的数学图形是如何形成的。应用几何画板的“迭代”“平移”“旋转”等功能，即可轻松勾勒出这些美的图形。如图9，通过旋转等边三角形，即可得到美的图案。还可以把三角形换成正方形、线段，这样也可以获得旋转类似的效果图。此外，还可以用迭代的方法制作勾股数、分行草等，虽然这些与小学数学没有必然的联系，但利用视觉刺激，让小学生早点体验数学的形体之美，照样可以引发学生的学习内驱力，提高其核心素养。
（二）模拟随机，强化思维之美
这款从美国引进的几何画板，不仅适用于几何领域，在“综合实践”领域也有发挥的空间。都说数学本身是一门试验科学，在小学数学教材中有大量的模拟试验，如掷硬币、掷骰子等有关可能性大小的案例，这些均可以应用几何画板，让学生亲自经历统计的全过程。如统计可能性事件出现的次数，借助几何画板进行验证试验，在此基础上，让学生通过观察数据，去发现隐藏在数据背后的规律。如图10所示，通过“打电话”，学生可以创建一个验证体验的机会，一边想象，一边在几何画板上进行实验，验证思路，这打破传统教师讲，学生听、模仿记忆的教学模式，而改为进行实验—观察分析—得出结论的新型教学模式。学生从静态的眼光认识几何，从动态的思维去辨识几何，学习变成了一个创造性的过程。
五、结语
综上所述，通过课题研究，笔者深刻感受到，幾何画板作为新型的教学软件，为小学数学教学提供了极大的便利，尤其在几何初步知识的教学中大有用武之地。但医学界有句话：“妙用治病，滥用致病，误用致命。”虽然几何画板不是药，但道理是相通的，善用是前提，实用是根本，妙用是目标，精用是固本。若能将几何画板应用到小学数学教学中，确保正确操作，以“妙”用为宜，“滥”用为忌，那么，几何画板将在小学数学教学中发挥更强大的功能，培养学生的几何直观和空间观念，提高学生的核心素养。
参考文献：
[1]朱滇生.几何画板与小学数学[M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]陶维林.几何画板实用范例教程[M].北京：清华大学出版社，2008.
[3]邵新虎，王凤进，罗新展.利用几何画板探究数学问题[M].北京：北京师范大学出版社，2016.
[4]曹爱婷.几何画板在小学数学教学中的应用研究[D].杭州：杭州师范大学，2016.
[5]钟梨花. 几何画板辅助小学数学课堂教学的应用研究[J]. 小学教学研究（教研版），2018（5）：73-74.