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研究背景
初中数学教学中，面向全体学生全面发展的同时，兼顾学生未来的发展需要，适度拓展数学知识。拓展型课程在开阔学生的视野，增长他们的数学兴趣方面起到了很好的载体作用。所以要立足教材，并对教材进行剖析和重新组织，用联系、运动、变化的观点去研究各知识点之间的转化，展示给学生一个动态的“知识生长”过程，促进学生认知结构的形成和发展。
拓展型课程的实施实现了学生知识的深度和广度的提升，是培养学生个性发展和能力发展的辅助途径。数学拓展课程的开展则有助于改善基础课程的，拓展知识的不足。拓展课程相对基础课程而言，最显著的特点就是知识点的拓展，知识点是构成学习内容的相对独立的最小单元，依据学生所需具备的技能可将知识点学习的程度分成不同的水平：有的只需要知道，有的需要认识、了解，有的需要理解，有的需要掌握，有的需要运用。在基础课程里，数学教材中的教学内容是由必须要学习的知识所组成，它要求知识点的学习程度以理解和掌握为主，了解和应用也比较重要。基础课程将知识点简化和精细后便于学生学习和掌握，然而仅仅通过基础课程来学习数学会给学生留下偏离数学本质的印象，这样的现状难以满足学生学习数学的需求，更达不到接受数学文化熏陶的效果。以下结合初中数学相关知识对“勾股定理”的知识点进行适度拓展，本文将从“勾股定理”的教学入手探讨知识点拓展的方法，以上海版教材为指导。
一、知识点的拓展要立足于学生的知识基础
知识点的拓展要立足于学生的知识基础，所以在确定拓展的知识点目标的时候首要明确的就是学生通过基础课程已经掌握的知识有哪些，《勾股定理》是教材19.9的内容，学生通过课本的学习已经能够理解用面积割补的方法证明勾股定理，初步掌握了勾股定理，能用勾股定理解决基本的有关计算或证明的问题。比并从学习中获得“探索—研究—运用—反思”的过程经理，现将思路总结如下
教材从七年级第二学期关于“无理数 ”的的相关知识引入，引发学生研究勾股定理的兴趣。让学生初步体会面积割补方法，层层递进引导学生观察图形（从图1到图3）从特殊到一般的变化，帮助学生形成研究的思路。最后得出勾股定理的结论。这种证法，就是赵爽的证法。这对学生理解割补证明勾股定理提供了思路，也为勾股定理的证明大多与图形的面积有关做了铺垫。
二、知识点的拓展要符合学生数学学习的认知结构
本文作者受到这一思路的启发，立足于学生现有知识点开设了这节数学拓展课下面为拓展知识教学片段（授课对象为八年级学生）
问题一：如图4探索：现有一张很大的格点坐标纸，其中有一个格，直角三角形，以直角三角形的三条边向外作正方形，请同学们计算三个正方形的面积？（此问题来自课后习题）
结论：图4学生通过数出格子的面积容易正方形A与正方形B的面积，但正方形C的面积学生得出较为困难，可引导学生将其放置在更大的正方形中利用图形的割补求出其面积，这样学生可得到得到大正方形的面积等于其他两个小正方形面积的和即得到结论 拓展课由此引入，因为除了以直角三角形各边为底所做的正方形满足结论外，所做的其他图形也满足结论，目的是由此可以拓展出新的知识：给定一个直角三角形，以它的斜边上所画的任何图形的面积，等于在它两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和.
问题二：给定一个直角三角形，以它的三条边为基准向形外分别作圆（以边长为直径）、扇形（以边作为扇形的半径画圆心角为 的扇形），以三边为斜边做等腰直角三角形，图形A、B、C是否存在 ？
到此笔者观查到，选用探究格点三角形面积作为辅助，学生很容易就可以得到既定的结论。这无疑加快了学生研究问题的进程。同时对课后练习125页第3题学生的解答提供了帮助。容易接受，又可以使拓展课是对课堂教学内容的拓展这一利益凸显。通过问题二学生已经感受到结论是成立的，学生任然能够得出相应的结论德国数学家希尔伯特說过：在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.把一般问题特殊化，抽象问题具体化，是使问题快速获解的重要策略。
研究的过程继续深入
问题三：如果想得到 这一结论，对于以直角三角形三边为边向外延伸的图形的形状都什么要求吗？说说你的猜想
学生观察得出结论：只要形状相同三角形的三边为基准都可以得到 这个结论，这里引申了相似性的定义，为学生今后所要学习的面积的比等于相似比的平方埋下伏笔。
三、知识点的拓展要结合生活中的实际应用
数学知识在实际生活中的应用，是数学知识点拓展的一个重要方面，能激发学生学习数学的兴趣，掌握数学原理的实质内涵。本节课上，通过两个案例来说明数学知识的实际作用：
例1 我国大约成书于西汉时期（公元前1世纪）的数学书《周髀算经》上说，夏禹在实际大地测量中已经初步运用这个定理。这本书上还记载，有个叫陈子的数学家，应用这个定理来测量太阳的高度、太阳的直径和天地的长阔等。
例2 日常生活中的家庭装修时，工人为了判断一个墙角是否标准直角，可以分别在墙角向两个墙面量出3米，4米，并标记在一个点，然后量这两点间距离是否是5米。如果超出一定误差，则说明墙角不是直角。再例如要在 A点树立一电线杆，保证电线杆是垂直地面的，可以在A点附近B、C两点把从杆顶引下来的两根绳固定在B、C各点，并按照勾股定理算出绳子的长度，就能保证电线杆是垂直地面了。
从上述可知，关于勾股定理知识点的拓展是拓展课教学的一个很好的例子。当然勾股定理的拓展也不仅仅是笔者应用的这一种方法。教师在备课时可以从不用的角度给出相应的主题。一个知识点的增加可以在空间及思维上进行无限地拓展，由此形成一个专题。拓展课程知识点的选取可参照教材内容，注重课内基础知识的衔接与延伸，链接生活实际，把相关数学知识作为一个整体展示给学生以弥补教材的不足。只要我们长期坚持，不断积累和摸索就会使教师和学生都从中有所收获。
初中数学教学中，面向全体学生全面发展的同时，兼顾学生未来的发展需要，适度拓展数学知识。拓展型课程在开阔学生的视野，增长他们的数学兴趣方面起到了很好的载体作用。所以要立足教材，并对教材进行剖析和重新组织，用联系、运动、变化的观点去研究各知识点之间的转化，展示给学生一个动态的“知识生长”过程，促进学生认知结构的形成和发展。
拓展型课程的实施实现了学生知识的深度和广度的提升，是培养学生个性发展和能力发展的辅助途径。数学拓展课程的开展则有助于改善基础课程的，拓展知识的不足。拓展课程相对基础课程而言，最显著的特点就是知识点的拓展，知识点是构成学习内容的相对独立的最小单元，依据学生所需具备的技能可将知识点学习的程度分成不同的水平：有的只需要知道，有的需要认识、了解，有的需要理解，有的需要掌握，有的需要运用。在基础课程里，数学教材中的教学内容是由必须要学习的知识所组成，它要求知识点的学习程度以理解和掌握为主，了解和应用也比较重要。基础课程将知识点简化和精细后便于学生学习和掌握，然而仅仅通过基础课程来学习数学会给学生留下偏离数学本质的印象，这样的现状难以满足学生学习数学的需求，更达不到接受数学文化熏陶的效果。以下结合初中数学相关知识对“勾股定理”的知识点进行适度拓展，本文将从“勾股定理”的教学入手探讨知识点拓展的方法，以上海版教材为指导。
一、知识点的拓展要立足于学生的知识基础
知识点的拓展要立足于学生的知识基础，所以在确定拓展的知识点目标的时候首要明确的就是学生通过基础课程已经掌握的知识有哪些，《勾股定理》是教材19.9的内容，学生通过课本的学习已经能够理解用面积割补的方法证明勾股定理，初步掌握了勾股定理，能用勾股定理解决基本的有关计算或证明的问题。比并从学习中获得“探索—研究—运用—反思”的过程经理，现将思路总结如下
教材从七年级第二学期关于“无理数 ”的的相关知识引入，引发学生研究勾股定理的兴趣。让学生初步体会面积割补方法，层层递进引导学生观察图形（从图1到图3）从特殊到一般的变化，帮助学生形成研究的思路。最后得出勾股定理的结论。这种证法，就是赵爽的证法。这对学生理解割补证明勾股定理提供了思路，也为勾股定理的证明大多与图形的面积有关做了铺垫。
二、知识点的拓展要符合学生数学学习的认知结构
本文作者受到这一思路的启发，立足于学生现有知识点开设了这节数学拓展课下面为拓展知识教学片段（授课对象为八年级学生）
问题一：如图4探索：现有一张很大的格点坐标纸，其中有一个格，直角三角形，以直角三角形的三条边向外作正方形，请同学们计算三个正方形的面积？（此问题来自课后习题）
结论：图4学生通过数出格子的面积容易正方形A与正方形B的面积，但正方形C的面积学生得出较为困难，可引导学生将其放置在更大的正方形中利用图形的割补求出其面积，这样学生可得到得到大正方形的面积等于其他两个小正方形面积的和即得到结论 拓展课由此引入，因为除了以直角三角形各边为底所做的正方形满足结论外，所做的其他图形也满足结论，目的是由此可以拓展出新的知识：给定一个直角三角形，以它的斜边上所画的任何图形的面积，等于在它两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和.
问题二：给定一个直角三角形，以它的三条边为基准向形外分别作圆（以边长为直径）、扇形（以边作为扇形的半径画圆心角为 的扇形），以三边为斜边做等腰直角三角形，图形A、B、C是否存在 ？
到此笔者观查到，选用探究格点三角形面积作为辅助，学生很容易就可以得到既定的结论。这无疑加快了学生研究问题的进程。同时对课后练习125页第3题学生的解答提供了帮助。容易接受，又可以使拓展课是对课堂教学内容的拓展这一利益凸显。通过问题二学生已经感受到结论是成立的，学生任然能够得出相应的结论德国数学家希尔伯特說过：在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.把一般问题特殊化，抽象问题具体化，是使问题快速获解的重要策略。
研究的过程继续深入
问题三：如果想得到 这一结论，对于以直角三角形三边为边向外延伸的图形的形状都什么要求吗？说说你的猜想
学生观察得出结论：只要形状相同三角形的三边为基准都可以得到 这个结论，这里引申了相似性的定义，为学生今后所要学习的面积的比等于相似比的平方埋下伏笔。
三、知识点的拓展要结合生活中的实际应用
数学知识在实际生活中的应用，是数学知识点拓展的一个重要方面，能激发学生学习数学的兴趣，掌握数学原理的实质内涵。本节课上，通过两个案例来说明数学知识的实际作用：
例1 我国大约成书于西汉时期（公元前1世纪）的数学书《周髀算经》上说，夏禹在实际大地测量中已经初步运用这个定理。这本书上还记载，有个叫陈子的数学家，应用这个定理来测量太阳的高度、太阳的直径和天地的长阔等。
例2 日常生活中的家庭装修时，工人为了判断一个墙角是否标准直角，可以分别在墙角向两个墙面量出3米，4米，并标记在一个点，然后量这两点间距离是否是5米。如果超出一定误差，则说明墙角不是直角。再例如要在 A点树立一电线杆，保证电线杆是垂直地面的，可以在A点附近B、C两点把从杆顶引下来的两根绳固定在B、C各点，并按照勾股定理算出绳子的长度，就能保证电线杆是垂直地面了。
从上述可知，关于勾股定理知识点的拓展是拓展课教学的一个很好的例子。当然勾股定理的拓展也不仅仅是笔者应用的这一种方法。教师在备课时可以从不用的角度给出相应的主题。一个知识点的增加可以在空间及思维上进行无限地拓展，由此形成一个专题。拓展课程知识点的选取可参照教材内容，注重课内基础知识的衔接与延伸，链接生活实际，把相关数学知识作为一个整体展示给学生以弥补教材的不足。只要我们长期坚持，不断积累和摸索就会使教师和学生都从中有所收获。