论文部分内容阅读
“螺旋式上升”的课程设计和教材编排起源于“螺旋式课程”。“螺旋式课程”理论是美国著名教育学家、心理学家布鲁纳在20世纪60年代提出的，它是指根据某一学科知识的“概念结构”，实现促进学生们认知能力得到发展为目标的一种在课程上面的设计。螺旋式上升的基本假设是，任何一种教材都能够用一种相对合理的方式来教给某一发展阶段的学生。
在上海二期课改中，初中数学几何教学内容按“螺旋式上升”的方式编排，六年级为几何直观认识的阶段；七年级为实验几何阶段；八年级面临着由实验几何到论证几何的转折；九年级真正进入几何论证和几何计算阶段。教材的编排应服务于教学目标，而在我踏上教师岗位的最初几年却无从了解这两者之间的紧密联系，甚至懷疑教材有些内容的编排是否过于碎片化，有些知识点在六、七年级浅尝过，却戛然而止，而到了八九年级又重拾这一部分的知识，这样缺失连续性的教学模式，真的能提高学生的思维，锻炼学生的能力吗？
这个疑问虽然不至于影响我对教材的使用程度，但却一直盘旋在我脑海中，直到我上了那一课，然后又遇见了那一题，我突然有种醍醐灌顶的觉悟，我感觉自己在那时才学会如何去“教”。
在七年级第一学期学生已经学过图形的三种基本运动：平移、翻折与旋转的基础下，沪教版七年级第二学期数学教材第114页上有这样一个例题：
如图1，在等边三角形ABC的边BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，联结AD、BE，试说明BE=AD的理由。
我当时是这样设计并实施教学的：
（一）以题改题，激起学生思维火花
学生根据演绎推理的指导方法，获得了“通过证明两个三角形全等从而证明全等三角形对应线段相等”的解题思路。
而后我提出问题：“刚才我们在三角形ABC的边BC上任取一点D，这个点D还可能在三角形的什么位置？”
给予学生适当思考时间后，学生找到了点D的另外两个位置：1.点D可能在三角形ABC内部；2.点D可能在三角形ABC的外部。
接着，学生小组合作，把书本上的原始题目改为两个变式题，如下所示：
如图2，在等边三角形ABC的内部任取一点D，以CD为边作等边三角形CDE，联结AD、BE，试说明BE=AD的理由。
如图3，D是等边三角形ABC外部一点，以CD为边作等边三角形CDE，联结AD、BE，试说明BE=AD的理由。
（二）以题比题，培养学生归纳能力
让学生改题，是为了让学生经历自己编写条件、结论和作图过程了解题目的条件与结论之间的联系。接着我提问：“刚才三道题目，有哪些相同点和不同点？”
经过小组充分的讨论，学生得到了初步的结论，整理如下：
相同点：
1.三个题目都是在两个等边三角形的背景下；
2.都是证明线段相等；
3.都能利用全等三角形证明，而且都是证明△ACD≌△DCE；
4.都用了S.A.S的判定定理；
5.证明全等时三个条件完全一样：AC=BC、∠ACD=∠BCE、DC
=EC。
不同点：
1.三道题目中D的位置不同，从而图形不一样；
2.虽然书写过程都是∠ACD=∠BCE，但是三道题目中这个条件的证明方法有所不同。
经过讨论，学生更深层次的观察到三道题目的表象，当然数学问题的研究要从表象深入到本质，所以我又提问：“这些相同点或不同点产生的原因是什么？”经过引导和启发，学生发现可以把这三个题目的变化看做：将△DCE绕着点C旋转，在旋转的过程中，两组对应边的长度没有发生改变，但是对应的夹角发生了如下改变：
1.当点D在边BC上时，∠ACD=∠BCE=60°；
2.当点D在△ABC内部时，∠ACD=∠BCE=60°-∠BCD；
3.当点D在△ABC外部时，∠ACD=∠BCE=60°+∠BCD。
我继续提问到：“通过这三个题目，同学们有没有获得什么经验？”这是一个开放度很大的问题，给予学生自由发言的空间，我从中截取几个精彩的、典型的经验作为小结：
1.当题目以等边三角形为背景时，我们要善于抓住等边三角形边相等和角等于60°的共性，为证明全等提供条件；
2.在图形绕着某个点旋转的过程中，边长没有改变，角度发生了规律性的变化。
在三道题目的对比过程中，通过这样一连串的问题链，我引导学生层层递进的扒去题目的粉饰，深入到问题的根源，再抽丝剥茧地让题目展露“真颜”，学生获得了较好的学习感受，并把一道看似极为简单的证明题活化为解决这类题目的方法和思路，培养了学生边学习边归纳的良好习惯。
（三）以题生题，促进学生发散思维
为了检验学生经历了前两个环节后获得了哪些经验，我又发问：“如果按照刚才小结的结论，我们能不能把等边三角形换成其他图形？”一问既出，课堂氛围再次热烈不已。最后，在各小组的激烈讨论和教师的引导中，又拓展出了许多典型题目，整理如下： 题组一：
如图4，在等腰Rt△ABC的边BC上任取一点D，以CD为边作等腰Rt△CDE，联结AD、BE，试说明BE=AD的理由。
如图5，在等腰RT△ABC的内部任取一点D，以CD为边作等腰 Rt△CDE，联结AD、BE，试说明BE与AD的数量关系和位置关系.
如图6，D是等腰RT△ABC外部一点，以CD为边作等腰Rt△CDE，联结AD、BE，试说明BE与AD的数量关系和位置关系。
题组二：
如图7，在正方形ABCD的边BC上任取一点E，以CE为边作正方形CEFG，联结AE、BG，试说明BE=BG的理由。
如图8，在正方形ABCD的内部任取一点E，以CE为边作正方形CEFG，联结AE、BG，试说明AE、BG的数量关系和位置关系。
如图9，E是正方形ABCD的外部一点，以CE为边作正方形CEFG，联结AE、BG，试说明AE、BG的数量关系和位置关系。
由以上两个题组可知，学生知道了这类题目的形成过程是将特殊图形和图形的旋转运动结合在一起，并抓住了此类题的解题策略：两条对应边和一个对应夹角相等。把握好这一点，学生自然会用等腰直角三角形和正方形这样的特殊图形去取代例题中的等边三角形，因为等腰直角三角形和正方形与等边三角形一样，具有边相等，角都相等的共性。回顾这节课，学生们发现这些看似不尽相同的图片，原来他们的条件有着特殊之处，解题方法也遵循着一定的规律，在变化无穷的题目中，找到了其中不变的规律，自然就能以不变应万变。同时，学生在以题改题、以题比题和以题生题的过程中，体会到自己是如何将题目归纳小结，建构自己的知识体系，令自己的知识体系有机健康的发展壮大。
一节课上完，师生的收获都颇丰，达到了预期的教学目标，我觉得这节课的完整度很高，最大限度地概括了这类题目的特征，基本完成了从特殊到一般的抽象过程，不会再有什么引申题组了。我，信心满满。
时光荏苒，学生在九年级又学习了图形的第四种基本运动：放缩运动，以及相似形。在上“相似形三角形”这一章内容时，在课本第32页的课后练习中出现了这样一题：
这是我从教以来第二次担任九年级教学任务。我清楚的记得上一轮教到相似三角形这一节课时，学生在攻克这一题上出现了很大的问题，具体表现在：第一次做时，大部分学生不会把已知的相似三角形的两组对应边的比转化为目标的相似三角形的对应边的比，但是我只要稍加提示，学生又能很快反应过来，快速的完成这道题的证明，怪就怪在，隔一段时间如果再次做到这一题，原本那些学会的学生又会回到最初的迷茫状态，完全看不出图形中的边是如何转化的。上一次我并没有找到改进的措施，所以这一次这个问题亟待解决。
我一讲学生就会，说明这个题目并不是什么难题，可为什么过一段时间学生会遗忘呢？问题到底出在哪里？这种感觉似曾相识，仿佛曾经也遇到过类似的题目，一讲就会，可一过就忘。突然，我想起了七年级的那一节变式训练课，之所以有那节课的生成，就是因为也出现了我一讲学生就会，可过一段时间学生就忘记的情况，于是才诱导我引导学生展开了那次深入的探究活动。而学生之所以一讲就会，一过就忘，是因为他们被题目的表象蒙蔽，看不见题目的本质啊。我幡然醒悟，再一次审阅这道题目，突然，一道灵光乍现，这道题目，不就是七年级那道例题的又一组变式题吗？只不过把具有邻边相等的特殊的多边形拓展到边没有特殊关系的多边形，再在单一的旋转运动中加入了新学的放缩运动，然而刨去这些花哨的变化，它固有的规律却没有变：从旋转中心出发，各取两个初始图形的一条边，组成两个新的图形。我知道该怎么教这道题了！
在讲这道课后题目前，我带领学生回顾了七年级的那一堂课，没想到学生也和我一样，对那堂课的几组变式记忆犹新，果然不是机械记忆，而是理解型记忆。等学生的已有知识储备的差不多时，我知道支架已搭成。于是再让学生解决这道课后习题。一部分学生能轻松完成，有小部分学生有困难。于是我发动学生组内结对子，但是我要求学生在教同学时先教会他怎么将这道题目与前面的题目进行类比，说清楚异同点。最后，我请同学们谈谈感受。学生总结出了两条结论：
1.将任意一个三角形繞着它的一个顶点旋转α（0°<α< 360°），并放缩一定比例，将得到两个新的相似三角形；
2.将任意一个三角形绕着它的一个顶点旋转α（0°<α< 360°），将得到两个新的相似的等腰三角形；
那一堂课小结中的“特殊图形”最终被这一道题小结中的“任意三角形”取代，从特殊到任意，学生完成了“从特殊到一般”的思维飞跃，这不就是数学核心素养的养成记吗？值得一提的是，这两条结论对于中考题的18题也具有一定的价值。原来数学题还可以这么“玩”改变！
我曾经怀疑过教材编排的科学性，而经历了那一课与那一题，我才明白我起初的怀疑恰恰是教材的合理之处。试想，如果放缩运动与另外三种运动同时间呈现给学生，那么学生在作图时不仅要搞清每种运动的运动过程，还要兼顾边长的变化，对于七年级刚刚接触几何的学生而言，这个难度已经违背了学生对事物认知水平的发展规律，根本不利于学生自身知识体系的建构，而如果按照教材的编排，先学三种基本运动，再由三种运动的组合得到全等三角形，使得学生能明晰每组全等三角形通过怎么样的运动可以重合，再加以辨别对应角和对应边就是水到渠成的事情。而后，利用前期的学习成果为后期内容搭建支架，在学生已有水平的基础上，再去学习放缩运动的相似形，为学生自主构建知识体系提供了助力，这不就是从特殊到一般的数学抽象能力吗？时间的跨度可能略长，思维的深度却在潜移默化中拓宽加深，教书育人焉能拔苗助长，给学生成长的时空，才是教育的精髓所在。
犹记得数学家丘成桐将数学史的目的归纳为三点：求因、明变、评论。其中，求因和明变是指寻求事物变化的原因，找到事物变化的规律，几何学习正当如此。螺旋式上升，不急于求成，对于知识这片沃土，我们不必挖得多快，但是我们尽量挖得够深。
那一课，那一题，教会了我如何去教。
在上海二期课改中，初中数学几何教学内容按“螺旋式上升”的方式编排，六年级为几何直观认识的阶段；七年级为实验几何阶段；八年级面临着由实验几何到论证几何的转折；九年级真正进入几何论证和几何计算阶段。教材的编排应服务于教学目标，而在我踏上教师岗位的最初几年却无从了解这两者之间的紧密联系，甚至懷疑教材有些内容的编排是否过于碎片化，有些知识点在六、七年级浅尝过，却戛然而止，而到了八九年级又重拾这一部分的知识，这样缺失连续性的教学模式，真的能提高学生的思维，锻炼学生的能力吗？
这个疑问虽然不至于影响我对教材的使用程度，但却一直盘旋在我脑海中，直到我上了那一课，然后又遇见了那一题，我突然有种醍醐灌顶的觉悟，我感觉自己在那时才学会如何去“教”。
开端——那一课，结合特殊图形与图形的旋转运动，我培养了学生的化归思想
在七年级第一学期学生已经学过图形的三种基本运动：平移、翻折与旋转的基础下，沪教版七年级第二学期数学教材第114页上有这样一个例题：
如图1，在等边三角形ABC的边BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，联结AD、BE，试说明BE=AD的理由。
我当时是这样设计并实施教学的：
（一）以题改题，激起学生思维火花
学生根据演绎推理的指导方法，获得了“通过证明两个三角形全等从而证明全等三角形对应线段相等”的解题思路。
而后我提出问题：“刚才我们在三角形ABC的边BC上任取一点D，这个点D还可能在三角形的什么位置？”
给予学生适当思考时间后，学生找到了点D的另外两个位置：1.点D可能在三角形ABC内部；2.点D可能在三角形ABC的外部。
接着，学生小组合作，把书本上的原始题目改为两个变式题，如下所示：
如图2，在等边三角形ABC的内部任取一点D，以CD为边作等边三角形CDE，联结AD、BE，试说明BE=AD的理由。
如图3，D是等边三角形ABC外部一点，以CD为边作等边三角形CDE，联结AD、BE，试说明BE=AD的理由。
（二）以题比题，培养学生归纳能力
让学生改题，是为了让学生经历自己编写条件、结论和作图过程了解题目的条件与结论之间的联系。接着我提问：“刚才三道题目，有哪些相同点和不同点？”
经过小组充分的讨论，学生得到了初步的结论，整理如下：
相同点：
1.三个题目都是在两个等边三角形的背景下；
2.都是证明线段相等；
3.都能利用全等三角形证明，而且都是证明△ACD≌△DCE；
4.都用了S.A.S的判定定理；
5.证明全等时三个条件完全一样：AC=BC、∠ACD=∠BCE、DC
=EC。
不同点：
1.三道题目中D的位置不同，从而图形不一样；
2.虽然书写过程都是∠ACD=∠BCE，但是三道题目中这个条件的证明方法有所不同。
经过讨论，学生更深层次的观察到三道题目的表象，当然数学问题的研究要从表象深入到本质，所以我又提问：“这些相同点或不同点产生的原因是什么？”经过引导和启发，学生发现可以把这三个题目的变化看做：将△DCE绕着点C旋转，在旋转的过程中，两组对应边的长度没有发生改变，但是对应的夹角发生了如下改变：
1.当点D在边BC上时，∠ACD=∠BCE=60°；
2.当点D在△ABC内部时，∠ACD=∠BCE=60°-∠BCD；
3.当点D在△ABC外部时，∠ACD=∠BCE=60°+∠BCD。
我继续提问到：“通过这三个题目，同学们有没有获得什么经验？”这是一个开放度很大的问题，给予学生自由发言的空间，我从中截取几个精彩的、典型的经验作为小结：
1.当题目以等边三角形为背景时，我们要善于抓住等边三角形边相等和角等于60°的共性，为证明全等提供条件；
2.在图形绕着某个点旋转的过程中，边长没有改变，角度发生了规律性的变化。
在三道题目的对比过程中，通过这样一连串的问题链，我引导学生层层递进的扒去题目的粉饰，深入到问题的根源，再抽丝剥茧地让题目展露“真颜”，学生获得了较好的学习感受，并把一道看似极为简单的证明题活化为解决这类题目的方法和思路，培养了学生边学习边归纳的良好习惯。
（三）以题生题，促进学生发散思维
为了检验学生经历了前两个环节后获得了哪些经验，我又发问：“如果按照刚才小结的结论，我们能不能把等边三角形换成其他图形？”一问既出，课堂氛围再次热烈不已。最后，在各小组的激烈讨论和教师的引导中，又拓展出了许多典型题目，整理如下： 题组一：
如图4，在等腰Rt△ABC的边BC上任取一点D，以CD为边作等腰Rt△CDE，联结AD、BE，试说明BE=AD的理由。
如图5，在等腰RT△ABC的内部任取一点D，以CD为边作等腰 Rt△CDE，联结AD、BE，试说明BE与AD的数量关系和位置关系.
如图6，D是等腰RT△ABC外部一点，以CD为边作等腰Rt△CDE，联结AD、BE，试说明BE与AD的数量关系和位置关系。
题组二：
如图7，在正方形ABCD的边BC上任取一点E，以CE为边作正方形CEFG，联结AE、BG，试说明BE=BG的理由。
如图8，在正方形ABCD的内部任取一点E，以CE为边作正方形CEFG，联结AE、BG，试说明AE、BG的数量关系和位置关系。
如图9，E是正方形ABCD的外部一点，以CE为边作正方形CEFG，联结AE、BG，试说明AE、BG的数量关系和位置关系。
由以上两个题组可知，学生知道了这类题目的形成过程是将特殊图形和图形的旋转运动结合在一起，并抓住了此类题的解题策略：两条对应边和一个对应夹角相等。把握好这一点，学生自然会用等腰直角三角形和正方形这样的特殊图形去取代例题中的等边三角形，因为等腰直角三角形和正方形与等边三角形一样，具有边相等，角都相等的共性。回顾这节课，学生们发现这些看似不尽相同的图片，原来他们的条件有着特殊之处，解题方法也遵循着一定的规律，在变化无穷的题目中，找到了其中不变的规律，自然就能以不变应万变。同时，学生在以题改题、以题比题和以题生题的过程中，体会到自己是如何将题目归纳小结，建构自己的知识体系，令自己的知识体系有机健康的发展壮大。
一节课上完，师生的收获都颇丰，达到了预期的教学目标，我觉得这节课的完整度很高，最大限度地概括了这类题目的特征，基本完成了从特殊到一般的抽象过程，不会再有什么引申题组了。我，信心满满。
发展——那一题，我结合相似图形与图形的旋转、缩放运动，培养了学生的抽象能力
时光荏苒，学生在九年级又学习了图形的第四种基本运动：放缩运动，以及相似形。在上“相似形三角形”这一章内容时，在课本第32页的课后练习中出现了这样一题：
这是我从教以来第二次担任九年级教学任务。我清楚的记得上一轮教到相似三角形这一节课时，学生在攻克这一题上出现了很大的问题，具体表现在：第一次做时，大部分学生不会把已知的相似三角形的两组对应边的比转化为目标的相似三角形的对应边的比，但是我只要稍加提示，学生又能很快反应过来，快速的完成这道题的证明，怪就怪在，隔一段时间如果再次做到这一题，原本那些学会的学生又会回到最初的迷茫状态，完全看不出图形中的边是如何转化的。上一次我并没有找到改进的措施，所以这一次这个问题亟待解决。
我一讲学生就会，说明这个题目并不是什么难题，可为什么过一段时间学生会遗忘呢？问题到底出在哪里？这种感觉似曾相识，仿佛曾经也遇到过类似的题目，一讲就会，可一过就忘。突然，我想起了七年级的那一节变式训练课，之所以有那节课的生成，就是因为也出现了我一讲学生就会，可过一段时间学生就忘记的情况，于是才诱导我引导学生展开了那次深入的探究活动。而学生之所以一讲就会，一过就忘，是因为他们被题目的表象蒙蔽，看不见题目的本质啊。我幡然醒悟，再一次审阅这道题目，突然，一道灵光乍现，这道题目，不就是七年级那道例题的又一组变式题吗？只不过把具有邻边相等的特殊的多边形拓展到边没有特殊关系的多边形，再在单一的旋转运动中加入了新学的放缩运动，然而刨去这些花哨的变化，它固有的规律却没有变：从旋转中心出发，各取两个初始图形的一条边，组成两个新的图形。我知道该怎么教这道题了！
在讲这道课后题目前，我带领学生回顾了七年级的那一堂课，没想到学生也和我一样，对那堂课的几组变式记忆犹新，果然不是机械记忆，而是理解型记忆。等学生的已有知识储备的差不多时，我知道支架已搭成。于是再让学生解决这道课后习题。一部分学生能轻松完成，有小部分学生有困难。于是我发动学生组内结对子，但是我要求学生在教同学时先教会他怎么将这道题目与前面的题目进行类比，说清楚异同点。最后，我请同学们谈谈感受。学生总结出了两条结论：
1.将任意一个三角形繞着它的一个顶点旋转α（0°<α< 360°），并放缩一定比例，将得到两个新的相似三角形；
2.将任意一个三角形绕着它的一个顶点旋转α（0°<α< 360°），将得到两个新的相似的等腰三角形；
那一堂课小结中的“特殊图形”最终被这一道题小结中的“任意三角形”取代，从特殊到任意，学生完成了“从特殊到一般”的思维飞跃，这不就是数学核心素养的养成记吗？值得一提的是，这两条结论对于中考题的18题也具有一定的价值。原来数学题还可以这么“玩”改变！
小结——那一课、那一题，我刷新了自己的教学策略
我曾经怀疑过教材编排的科学性，而经历了那一课与那一题，我才明白我起初的怀疑恰恰是教材的合理之处。试想，如果放缩运动与另外三种运动同时间呈现给学生，那么学生在作图时不仅要搞清每种运动的运动过程，还要兼顾边长的变化，对于七年级刚刚接触几何的学生而言，这个难度已经违背了学生对事物认知水平的发展规律，根本不利于学生自身知识体系的建构，而如果按照教材的编排，先学三种基本运动，再由三种运动的组合得到全等三角形，使得学生能明晰每组全等三角形通过怎么样的运动可以重合，再加以辨别对应角和对应边就是水到渠成的事情。而后，利用前期的学习成果为后期内容搭建支架，在学生已有水平的基础上，再去学习放缩运动的相似形，为学生自主构建知识体系提供了助力，这不就是从特殊到一般的数学抽象能力吗？时间的跨度可能略长，思维的深度却在潜移默化中拓宽加深，教书育人焉能拔苗助长，给学生成长的时空，才是教育的精髓所在。
犹记得数学家丘成桐将数学史的目的归纳为三点：求因、明变、评论。其中，求因和明变是指寻求事物变化的原因，找到事物变化的规律，几何学习正当如此。螺旋式上升，不急于求成，对于知识这片沃土，我们不必挖得多快，但是我们尽量挖得够深。
那一课，那一题，教会了我如何去教。