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摘 要：有效教学，是数学课堂永恒的追求。我们应把握好教学的主旋律，让课堂设计透着灵动的美，关注起点，把握目标，落实四基，并能科学地进行预设，有效地处理生成。如《数学课程标准》中所提倡的：鼓励学生运用猜测、探索、体验、实践等多种方式进行自主学习，在学生积极主动的建构学习中，实现有效教学，活跃学生多向思维，引领反思，推进内省，用灵性启迪学生的悟性，充分演绎有生命力的实效课堂。
关键词：灵动设计；课堂教学；多向思维；实效性
有效教学是数学课堂永恒的追求，怎样的教学才称得上有效呢？正如课标所说的：数学源于生活，又应用于生活。我们应该让学生积极地参与到教学活动中，更好地体现新课标的要求。只有学生全身心地投入到教学活动中，学生成为学习的主人才能得以体现，课堂教学的实效性才能得以提高，这样才能让学生真正因数学而智慧。
一、灵动设计——有效教学的主旋律
一堂好课需要一个好的教学设计支撑，教学设计之于课堂就如同建筑设计之于建筑，是重中之重，更是提高教学实效性的重要保证。如果说教材是音符，那么好的教学设计就如同优美的旋律。笔者喜欢让这样的旋律唱响在课堂。
1. 关注起点——灵活把握，提高效益
美国教育心理学家奥苏尔说过：“影响学习最主要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生现有的知识状况去进行教学。”作为授业者，我们应当根据学生学习的起点，选择相应的教学方法，引发、创造学生认知上的困惑与矛盾，动态地生成精彩的课堂，使学生的学习少走弯路。
课前应了解学生的“最近发展区”，找准教学的起点。包括由旧知迁移到新知的生成点和学生原先掌握程度如何。比如，教学《7的乘法口诀》，在备课时，应该理清这些问题：①学生是否已经掌握了进行新的学习所必须掌握的知识和技能——掌握已经学过的乘法口诀（如5的乘法口诀，6的乘法口诀等）的产生推导过程，还是只知其然不知其所以然？②哪些知识学生自己能学会，哪些知识需要教师的引导和点拨？——让学生在编口诀的过程中，逐步发现一些简单的规律，初步培养观察、分析、推理的能力。③学生是否已经掌握或部分掌握教学目标中要求学会的知识和技能？掌握的程度怎样？——编口诀，应用乘法口诀解决生活中的实际问题。了解了以上三方面，在自主探究、自编乘法口诀这一环节就可“省点笔墨”， 至于用什么方法记住这些口诀并进行拓展延伸，发现规律及培养学生的推理能力和综合运用能力，则应多下一些功夫。
了解学生学习起点的途径与方式有许多，可以是课前问卷、访谈，也可以通过作业分析，还可以是课中观察与把握，如在课堂中通过发言、独立练习等观察学生的情况，并根据这些情况及时调整自己的教学设计，灵活地把握，以提高整体效益。
2. 把握目标——落实四基，提升素养
《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求课程目标应注重过程性和结果性相结合，使学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，即所谓的“四基”。基础知识和基本技能是显性的，基本思想和基本活动经验的积累是隐性的，但却是数学课堂教学中应当特别重视的，是数学素养的重要标志。它们不仅是学生当前学习和发展的需要，更是学生未来学习和终身发展所必需的。因为学生在离开学校后，真正能留存于脑海中的基础数学知识、技能往往很少，但数学思想方法、策略、活动经验却常常以更为内敛、潜在的方式沉积于他们的内心深处，成为他们进行数学思考的重要支撑。可见，真正让学生终身受益的是数学思想方法和活动经验，所以教师应当让学生在知识建构中感受其芬芳，使学习更具持久性。
比如，教学《长方形与正方形》时，先让学生说说长方形有什么特征，教师板书了这些特征之后，说这只是大家的猜想，得加上个“？”，要把问号去掉，必须经过验证。
师：有什么方法可以证明长方形的2条长相等，2条宽相等？
生：可以量一量。
生：也可以对折。
生：还可以比一比。
学生的方法真多，通过不同方法的比较，让学生真切地感受到不同方法的优劣。但在研究长方形的4个角的特征时，由于急于求成，当学生说可以用三角板的直角量每一个角，教师紧接着问：那要量几次？有没有更好的办法，只要量一次？当然有些优秀的学生一下子就领悟了对折后把4个角重叠在一起，只量1次。这看似是最好的方法，又能节省课堂时间，不过这对于优秀生来说是恍然大悟，但对于中等生就缺少了数学活动经验的积累过程，有的只是结果的接受，没有过程的经历，没有进行优劣比较、对比感悟。看来还是得有充足的时间让学生经历推敲，享受过程，感受差异，最后谨慎下结论。这样无论经过多长时间，这一过程都能存留于脑海中，才可提升学生的数学素养。
3. 科学预设——有效应对，精彩生成
预设指的是解决问题的一种方案、设想、构思、策划，它意味着教师要针对教学过程中存在或可能发生的问题，提出假设性预案。学情分析是科学预设的有效保证，了解学生原有知识与经验，学生的认知结构、心理特点、思维特征等，这些特性有时会决定生成的品质，即可能会有什么价值的生成。再对这些生成适当诱导，弹性处理课前预设，让课堂上层出不穷的问题或“节外生枝”步入正轨，灵活处理生成，将它们的生成资源转化为学生理解问题的关键，方可柳暗花明。如一年级《桌子有多长——认识厘米》中的一个“小插曲”：让学生选择自己喜欢的测量工具量一量桌子有多长，学生各显身手，所选择的工具五花八门（当然这更能体现出以学生为主体），这是意料之中的。但由于要求不够严密，有的学生把文具盒里的铅笔都拿出来，首尾相连，虽统一了工具，但毕竟不是同一个工具，结果可想而知。学生的独到见解之处，有时也是我们事先無法预料的，可课堂终因学生而精彩，数学课堂成为多种智力火花竞相辉映的天空，就需要我们踏雪无痕地引导：“用了很多支不同的铅笔，但仍没办法知道桌子有多长，得怎么办才好呢？”“得用同一支铅笔，看量了几次。”这时学生就能领悟到同一工具的必要性。有效的应对，才可生成精彩，将一些无法预见的教学情境转化为激励力量。笔者一直感悟：困惑的问题在课堂实证中渐渐明晰，生成的处理在教学实践中自然而有实效。 二、灵活实施——有效教学的进行曲
设计的灵活独到之处，不是四平八稳地写在纸上，终须在课堂教学中的灵活处理，才是优美的进行曲，犹如珠玉落银盘的清脆响亮。
1. 引发兴趣——充满活力，激活思维
“学好数学，兴趣是关键。”中国当代著名数学家“陈省身奖”获得者杨乐如是说。如果一个人对某事物有了浓厚的兴趣，就会主动地去探索、尝试，并在探索中产生愉快的情绪，这样的情绪能推动他进一步学习。如《倍数与因数的复习》这节课，当学生弄清了倍数和因数等概念之间的联系，建立了一个比较科学的知识网络时，他们的兴致就会变高。这时，巧妙地过渡：“看到同学们这么棒，老师很想和你们交朋友（由于是借班上课），你们愿意吗？为了方便联系，现在我把我的QQ号留给你们。”这句话刚说完，学生的兴趣便急剧高涨，急着拿笔抄下，但见大屏幕上显示“QQ：ABCDEFGHJ”后，一下子就很失望。这个QQ号码能上网吗？那当然不行，“因为我给它设置了密码，你们得帮它解密才行，你们有信心解开它吗？”“有！”学生回答的音量是这堂课达到高潮的见证。只见屏幕上显示密码：
A——最小的奇数。
B——3的最大因数。
C——它只有一个因数。
D——最小的合数。
E——5的最小倍数。
F——它既是2的倍数也是3的倍数。
G——既不是质数也不是合数。
H——它是最小奇数的5倍。
J——它比最小的质数大1。
经过思考，同学们很容易得出这个QQ号码就是131456153，个个脸上都洋溢着笑容。有趣的学习能让教学充满趣味、活力，更充满“诱惑”，极大激活学生的自主思维，拓展学生解决问题的能力，在智慧的碰撞中激活思维，使教学的有效性得到充分体现。
2. 感知体验——经历过程，探索验证
教师应努力促使操作活动数学化，外部活动内部化，让体验活动步入理性轨道，引领学生在充满数学意义的活动中参与、经历、思考、反思、发展，从而积累真实有效的数学活动经验，加深对数学事实与经验的理性认知，并留足时间与空间让学生真实经历活动，真切提高课堂教学实效。比如，《圆的周长》这节课中，笔者思索着把大部分时间让给圆周率，如果对圆周率的本质意义理解了，那么解决圆的周长就唾手可得了。
学生明白周长和半径有关——半径大周长长，半径小周长短。
师：直径跟周长之间藏着什么秘密呢？今天我们就来探究它。拿出你们已剪好的圆，现在请你们测量出它的周长与直径，并记录在表格中。
随机抽取学生填写的数据，根据回答进行板书。学生看着数据一脸茫然，不知有何关系，教师引导正方形的周长是边长的4倍。借助这个思维，类推圆的周长与直径也可能存在一种倍数关系。带着期盼，学生忙碌计算周长/直径的结果，然后让他们汇报，发现却都是3倍多一些。教师故意自言自语：“都是三点几，可每个又都不一样，那要怎么办呢？是不是真的没规律呀？”学生思索片刻，有人嘀咕：“测量有误差呀！”一语道破天机，教师趁此说：“是呀，这个数据本该相同，却被我们算成了五花八门。其实早在公元前，古人就研究了圆的周长与直径的大小关系了，他们也是3倍多一些，他们给它取了一个很好听的名字，叫圆周率，其实它是一个倍数，是谁与谁的倍数呢？”板书：周长/直径=圆周率=3.14。
在明白了圆周率的意义后，为了加深理解，教师在刚才画的圆上，用得出的结论，用直线表示出周长，如图1，并告诉学生曲线和直线一样长。学生半信半疑，这时用绕线的测量法来验证，紧接着同桌相互合作，模仿教师的画法来证明周长大约是直径的3.14倍，最后还用滚动测量法（教具）来再次证明。有了这些充分的表象及操作，从刚才的图中，学生很快便理解了“直径*3.14=周长”。这一模型将在学生的脑海中打下深深的烙印。正如孔子说的：吾听，吾忘；吾看，吾记；吾做，吾悟。
3. 概括提升——建立模型，启迪悟性
史宁中教授认为“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。它鲜明地表述了这样的意义：建立模型思想的本质就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系。
比如五年级上册的《数学与交通——相遇》，先用“送材料”的情境呈现题目，由两个学生表示面包车和小轿车，现场模拟表演。学生运用已有的生活经验，理解、体会相遇问题，从形象直观的演示中明白了“相遇问题”的4个关键词：“同时”“相对”“相遇”“相距”， 突破了本课教学的一个难点，为“相遇问题”的研究做好了铺垫。这样虽能轻而易举地化难为易，但还不够，让学生利用铅笔、尺子分别表示面包车和小轿车，一边读题，一边演示。如此反复操作、演练，调动学生全身心地投入数学活动中，积累数学活动经验，初步建立相遇问题的模型雏形，为建立数学模型做好准备。同样，说一说在什么地方相遇，也是在现场模拟中感受、理解，为学生的后续学习做好充足准备，又让学生在不知不觉中理解了相遇中的数学知识。在此基础上，由学生直观形象的表演，上升到用线段图表示题目的数量关系，直观形象地帮助学生理解数量关系，实现质的飞跃，也为建构方程这个数学模型做好、做足铺垫。虽然是第一次遇到这种类型题，但学生的悟性已受到启迪。可见，有效地引导学生进行概括与提升是教学的关键，只有这样才能使数学课堂精彩而有效，有效而生动。
三、引导反思——有效教学的助推剂
荷兰著名的教育家弗赖登塔尔强调：“反思是教学思维活动的核心与动力，学生是否具有反思能力，反映了学生元认知水平的高低，体现了学生主体意识的强弱。”新加坡数学教育关于“元认知”有比较明确的界定，主要有三点：监控自己思维的过程；问题解决之后要探究有没有不同的解法；检查答案是不是合理。正如《论语》里说的“吾日三省吾身”。
每次的探究新知后，或者做了相应的练习后，都要引导学生回头看一看，进行自我反思：“我解决问题的方法简捷有效吗？”“还有更好用的方法吗？”“其他的同学用了什么策略分析问题，和我的方法比较怎么样？”等等。比如在《数学与交通——相遇》中，问：“他们在哪儿相遇？相遇点离谁的出发点比较近？”有的同学弄错了，等他知晓之后，问他：“有什么启发？”“刚才怎么弄错了？”让学生感受到审题的重要性。学习数学“就意味着解题”（波利亚语），让学生在解决问题后反思解决问题的策略与策略的运用过程，“引领反思，推进内省”，在学习中反思，在反思中学习，也为后续的学习积累更多的数学活动经验和方法。当然，这是一项艰巨的任務，只有教师坚持不懈，把握时机，不断地引导学生去反思，细水长流，学生才能乐思、巧思、善思，水到渠成，感受到“思，我之所欲也”的最高境界。
平时，我们有必要经常深思：你的课堂，有用真正的数学体验去丰富学生的数学活动经验吗？有用灵动的美启迪学生的悟性吗？有引领学生反思吗？如果没有，这能是一堂扎实有效的数学课吗？切实提高课堂教学的有效性，用灵性启迪学生的悟性，提高学生的数学素养，这是我们的梦想，为了梦想，我们一直在路上。
关键词：灵动设计；课堂教学；多向思维；实效性
有效教学是数学课堂永恒的追求，怎样的教学才称得上有效呢？正如课标所说的：数学源于生活，又应用于生活。我们应该让学生积极地参与到教学活动中，更好地体现新课标的要求。只有学生全身心地投入到教学活动中，学生成为学习的主人才能得以体现，课堂教学的实效性才能得以提高，这样才能让学生真正因数学而智慧。
一、灵动设计——有效教学的主旋律
一堂好课需要一个好的教学设计支撑，教学设计之于课堂就如同建筑设计之于建筑，是重中之重，更是提高教学实效性的重要保证。如果说教材是音符，那么好的教学设计就如同优美的旋律。笔者喜欢让这样的旋律唱响在课堂。
1. 关注起点——灵活把握，提高效益
美国教育心理学家奥苏尔说过：“影响学习最主要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生现有的知识状况去进行教学。”作为授业者，我们应当根据学生学习的起点，选择相应的教学方法，引发、创造学生认知上的困惑与矛盾，动态地生成精彩的课堂，使学生的学习少走弯路。
课前应了解学生的“最近发展区”，找准教学的起点。包括由旧知迁移到新知的生成点和学生原先掌握程度如何。比如，教学《7的乘法口诀》，在备课时，应该理清这些问题：①学生是否已经掌握了进行新的学习所必须掌握的知识和技能——掌握已经学过的乘法口诀（如5的乘法口诀，6的乘法口诀等）的产生推导过程，还是只知其然不知其所以然？②哪些知识学生自己能学会，哪些知识需要教师的引导和点拨？——让学生在编口诀的过程中，逐步发现一些简单的规律，初步培养观察、分析、推理的能力。③学生是否已经掌握或部分掌握教学目标中要求学会的知识和技能？掌握的程度怎样？——编口诀，应用乘法口诀解决生活中的实际问题。了解了以上三方面，在自主探究、自编乘法口诀这一环节就可“省点笔墨”， 至于用什么方法记住这些口诀并进行拓展延伸，发现规律及培养学生的推理能力和综合运用能力，则应多下一些功夫。
了解学生学习起点的途径与方式有许多，可以是课前问卷、访谈，也可以通过作业分析，还可以是课中观察与把握，如在课堂中通过发言、独立练习等观察学生的情况，并根据这些情况及时调整自己的教学设计，灵活地把握，以提高整体效益。
2. 把握目标——落实四基，提升素养
《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求课程目标应注重过程性和结果性相结合，使学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，即所谓的“四基”。基础知识和基本技能是显性的，基本思想和基本活动经验的积累是隐性的，但却是数学课堂教学中应当特别重视的，是数学素养的重要标志。它们不仅是学生当前学习和发展的需要，更是学生未来学习和终身发展所必需的。因为学生在离开学校后，真正能留存于脑海中的基础数学知识、技能往往很少，但数学思想方法、策略、活动经验却常常以更为内敛、潜在的方式沉积于他们的内心深处，成为他们进行数学思考的重要支撑。可见，真正让学生终身受益的是数学思想方法和活动经验，所以教师应当让学生在知识建构中感受其芬芳，使学习更具持久性。
比如，教学《长方形与正方形》时，先让学生说说长方形有什么特征，教师板书了这些特征之后，说这只是大家的猜想，得加上个“？”，要把问号去掉，必须经过验证。
师：有什么方法可以证明长方形的2条长相等，2条宽相等？
生：可以量一量。
生：也可以对折。
生：还可以比一比。
学生的方法真多，通过不同方法的比较，让学生真切地感受到不同方法的优劣。但在研究长方形的4个角的特征时，由于急于求成，当学生说可以用三角板的直角量每一个角，教师紧接着问：那要量几次？有没有更好的办法，只要量一次？当然有些优秀的学生一下子就领悟了对折后把4个角重叠在一起，只量1次。这看似是最好的方法，又能节省课堂时间，不过这对于优秀生来说是恍然大悟，但对于中等生就缺少了数学活动经验的积累过程，有的只是结果的接受，没有过程的经历，没有进行优劣比较、对比感悟。看来还是得有充足的时间让学生经历推敲，享受过程，感受差异，最后谨慎下结论。这样无论经过多长时间，这一过程都能存留于脑海中，才可提升学生的数学素养。
3. 科学预设——有效应对，精彩生成
预设指的是解决问题的一种方案、设想、构思、策划，它意味着教师要针对教学过程中存在或可能发生的问题，提出假设性预案。学情分析是科学预设的有效保证，了解学生原有知识与经验，学生的认知结构、心理特点、思维特征等，这些特性有时会决定生成的品质，即可能会有什么价值的生成。再对这些生成适当诱导，弹性处理课前预设，让课堂上层出不穷的问题或“节外生枝”步入正轨，灵活处理生成，将它们的生成资源转化为学生理解问题的关键，方可柳暗花明。如一年级《桌子有多长——认识厘米》中的一个“小插曲”：让学生选择自己喜欢的测量工具量一量桌子有多长，学生各显身手，所选择的工具五花八门（当然这更能体现出以学生为主体），这是意料之中的。但由于要求不够严密，有的学生把文具盒里的铅笔都拿出来，首尾相连，虽统一了工具，但毕竟不是同一个工具，结果可想而知。学生的独到见解之处，有时也是我们事先無法预料的，可课堂终因学生而精彩，数学课堂成为多种智力火花竞相辉映的天空，就需要我们踏雪无痕地引导：“用了很多支不同的铅笔，但仍没办法知道桌子有多长，得怎么办才好呢？”“得用同一支铅笔，看量了几次。”这时学生就能领悟到同一工具的必要性。有效的应对，才可生成精彩，将一些无法预见的教学情境转化为激励力量。笔者一直感悟：困惑的问题在课堂实证中渐渐明晰，生成的处理在教学实践中自然而有实效。 二、灵活实施——有效教学的进行曲
设计的灵活独到之处，不是四平八稳地写在纸上，终须在课堂教学中的灵活处理，才是优美的进行曲，犹如珠玉落银盘的清脆响亮。
1. 引发兴趣——充满活力，激活思维
“学好数学，兴趣是关键。”中国当代著名数学家“陈省身奖”获得者杨乐如是说。如果一个人对某事物有了浓厚的兴趣，就会主动地去探索、尝试，并在探索中产生愉快的情绪，这样的情绪能推动他进一步学习。如《倍数与因数的复习》这节课，当学生弄清了倍数和因数等概念之间的联系，建立了一个比较科学的知识网络时，他们的兴致就会变高。这时，巧妙地过渡：“看到同学们这么棒，老师很想和你们交朋友（由于是借班上课），你们愿意吗？为了方便联系，现在我把我的QQ号留给你们。”这句话刚说完，学生的兴趣便急剧高涨，急着拿笔抄下，但见大屏幕上显示“QQ：ABCDEFGHJ”后，一下子就很失望。这个QQ号码能上网吗？那当然不行，“因为我给它设置了密码，你们得帮它解密才行，你们有信心解开它吗？”“有！”学生回答的音量是这堂课达到高潮的见证。只见屏幕上显示密码：
A——最小的奇数。
B——3的最大因数。
C——它只有一个因数。
D——最小的合数。
E——5的最小倍数。
F——它既是2的倍数也是3的倍数。
G——既不是质数也不是合数。
H——它是最小奇数的5倍。
J——它比最小的质数大1。
经过思考，同学们很容易得出这个QQ号码就是131456153，个个脸上都洋溢着笑容。有趣的学习能让教学充满趣味、活力，更充满“诱惑”，极大激活学生的自主思维，拓展学生解决问题的能力，在智慧的碰撞中激活思维，使教学的有效性得到充分体现。
2. 感知体验——经历过程，探索验证
教师应努力促使操作活动数学化，外部活动内部化，让体验活动步入理性轨道，引领学生在充满数学意义的活动中参与、经历、思考、反思、发展，从而积累真实有效的数学活动经验，加深对数学事实与经验的理性认知，并留足时间与空间让学生真实经历活动，真切提高课堂教学实效。比如，《圆的周长》这节课中，笔者思索着把大部分时间让给圆周率，如果对圆周率的本质意义理解了，那么解决圆的周长就唾手可得了。
学生明白周长和半径有关——半径大周长长，半径小周长短。
师：直径跟周长之间藏着什么秘密呢？今天我们就来探究它。拿出你们已剪好的圆，现在请你们测量出它的周长与直径，并记录在表格中。
随机抽取学生填写的数据，根据回答进行板书。学生看着数据一脸茫然，不知有何关系，教师引导正方形的周长是边长的4倍。借助这个思维，类推圆的周长与直径也可能存在一种倍数关系。带着期盼，学生忙碌计算周长/直径的结果，然后让他们汇报，发现却都是3倍多一些。教师故意自言自语：“都是三点几，可每个又都不一样，那要怎么办呢？是不是真的没规律呀？”学生思索片刻，有人嘀咕：“测量有误差呀！”一语道破天机，教师趁此说：“是呀，这个数据本该相同，却被我们算成了五花八门。其实早在公元前，古人就研究了圆的周长与直径的大小关系了，他们也是3倍多一些，他们给它取了一个很好听的名字，叫圆周率，其实它是一个倍数，是谁与谁的倍数呢？”板书：周长/直径=圆周率=3.14。
在明白了圆周率的意义后，为了加深理解，教师在刚才画的圆上，用得出的结论，用直线表示出周长，如图1，并告诉学生曲线和直线一样长。学生半信半疑，这时用绕线的测量法来验证，紧接着同桌相互合作，模仿教师的画法来证明周长大约是直径的3.14倍，最后还用滚动测量法（教具）来再次证明。有了这些充分的表象及操作，从刚才的图中，学生很快便理解了“直径*3.14=周长”。这一模型将在学生的脑海中打下深深的烙印。正如孔子说的：吾听，吾忘；吾看，吾记；吾做，吾悟。
3. 概括提升——建立模型，启迪悟性
史宁中教授认为“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。它鲜明地表述了这样的意义：建立模型思想的本质就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系。
比如五年级上册的《数学与交通——相遇》，先用“送材料”的情境呈现题目，由两个学生表示面包车和小轿车，现场模拟表演。学生运用已有的生活经验，理解、体会相遇问题，从形象直观的演示中明白了“相遇问题”的4个关键词：“同时”“相对”“相遇”“相距”， 突破了本课教学的一个难点，为“相遇问题”的研究做好了铺垫。这样虽能轻而易举地化难为易，但还不够，让学生利用铅笔、尺子分别表示面包车和小轿车，一边读题，一边演示。如此反复操作、演练，调动学生全身心地投入数学活动中，积累数学活动经验，初步建立相遇问题的模型雏形，为建立数学模型做好准备。同样，说一说在什么地方相遇，也是在现场模拟中感受、理解，为学生的后续学习做好充足准备，又让学生在不知不觉中理解了相遇中的数学知识。在此基础上，由学生直观形象的表演，上升到用线段图表示题目的数量关系，直观形象地帮助学生理解数量关系，实现质的飞跃，也为建构方程这个数学模型做好、做足铺垫。虽然是第一次遇到这种类型题，但学生的悟性已受到启迪。可见，有效地引导学生进行概括与提升是教学的关键，只有这样才能使数学课堂精彩而有效，有效而生动。
三、引导反思——有效教学的助推剂
荷兰著名的教育家弗赖登塔尔强调：“反思是教学思维活动的核心与动力，学生是否具有反思能力，反映了学生元认知水平的高低，体现了学生主体意识的强弱。”新加坡数学教育关于“元认知”有比较明确的界定，主要有三点：监控自己思维的过程；问题解决之后要探究有没有不同的解法；检查答案是不是合理。正如《论语》里说的“吾日三省吾身”。
每次的探究新知后，或者做了相应的练习后，都要引导学生回头看一看，进行自我反思：“我解决问题的方法简捷有效吗？”“还有更好用的方法吗？”“其他的同学用了什么策略分析问题，和我的方法比较怎么样？”等等。比如在《数学与交通——相遇》中，问：“他们在哪儿相遇？相遇点离谁的出发点比较近？”有的同学弄错了，等他知晓之后，问他：“有什么启发？”“刚才怎么弄错了？”让学生感受到审题的重要性。学习数学“就意味着解题”（波利亚语），让学生在解决问题后反思解决问题的策略与策略的运用过程，“引领反思，推进内省”，在学习中反思，在反思中学习，也为后续的学习积累更多的数学活动经验和方法。当然，这是一项艰巨的任務，只有教师坚持不懈，把握时机，不断地引导学生去反思，细水长流，学生才能乐思、巧思、善思，水到渠成，感受到“思，我之所欲也”的最高境界。
平时，我们有必要经常深思：你的课堂，有用真正的数学体验去丰富学生的数学活动经验吗？有用灵动的美启迪学生的悟性吗？有引领学生反思吗？如果没有，这能是一堂扎实有效的数学课吗？切实提高课堂教学的有效性，用灵性启迪学生的悟性，提高学生的数学素养，这是我们的梦想，为了梦想，我们一直在路上。